第08讲弧长及扇形面积（7类题型）

第08讲弧长及扇形面积（7类题型）课程标准学习目标1.弧长公式；2.扇形面积；理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。知识点01：弧长及扇形的面积设的半径为，圆心角所对弧长为，（一）弧长的计算（1）弧长公式：（2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角所对弧长时，不要错写成（2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。【即学即练1】1．（2023·浙江·九年级假期作业）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】据弧长公式计算即可．【详解】解：该扇形的弧长.故选：D．【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式：，n为弧所对的圆心角，r为弧所在圆的半径．【即学即练2】2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接、，由圆内接四边形性质可得的度数，再由及三角形内角和定理可求得的度数，由圆周角定理可得的度数，最后由弧长公式即可求得结果．【详解】解：如图，连接、，∵四边形是圆内接四边形，，∴，∵，∴，∴，∴，∵的半径为，∴，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是解题的关键．（二）扇形面积的计算（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。（2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。（3）公式推导：①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是②即其中为扇形的弧长，为半径。点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是（3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。（4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。【即学即练3】3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴．故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．【即学即练4】4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等六边形的性质计算出的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．【详解】解：过B点作垂线，垂足为G根据正六边形性质可知，∴∴，∴故选：A．【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，含30度角的直角三角形等知识，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．题型01求弧长1．（2023春·湖南常德·九年级校考阶段练习）如图，点A、B、C是半径为6的上的三点．如果，那么的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可；【详解】解：如图，连接，∵，∴，∵，∴的长是：，故选：C．【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式．2．（2023·浙江·九年级假期作业）圆心角为的扇形面积为，则该扇形的弧长等于．【答案】2π【分析】设扇形的半径是，先根据扇形面积计算公式求得，再根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：设扇形的半径是，由题意得：，解得：，∴扇形的弧长＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算等知识点，掌握扇形面积计算公式，弧长的计算公式是解答本题的关键．3．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在中，弦，相交于点E，连结，已知．(1)求证：；(2)连结、，若，的半径为2，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可；（2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】（1）证：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵的半径为2，∴．【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．题型02求扇形面积1．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【答案】B【分析】设扇形的半径为r，根据扇形面积等于（为扇形弧长）进行求解即可【详解】解：设扇形的半径为r，由题意得，，解得，故选B．【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，熟知扇形面积等于扇形弧长和半径乘积的一半是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是．【答案】【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．【详解】设扇形的半径为，则解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图问题，解答本题的关键是确定“底面周长=展开图的弧长”这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．3．（2022秋·九年级单元测试）弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径．【答案】18【分析】设弧所在的圆的半径为，由弧长公式计算即可得到答案．【详解】解：设弧所在的圆的半径为，由弧长公式得：，解得：，弧所在的圆的半径为18．【点睛】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．题型03求圆心角1．（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（

）A．． B．． C．． D．．【答案】D【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解．【详解】解：设，，，解得：，圆心角的度数为：故选：D．【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．2．（2023·浙江杭州·统考一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是．【答案】/210度【分析】用圆的周长减去已知扇形弧长，求出另一个扇形的弧长，设另一个扇形的圆心角为，利用弧长公式求解．【详解】解：∵圆的周长为，∴另一个扇形的弧长为，设另一个扇形的圆心角为，根据弧长公式得，解得，即另一个扇形的圆心角度数为．故答案为：．【点睛】本题考查扇形的圆心角、弧长，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？【答案】【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：，，∴．∴这个圆心角为．【点睛】本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键．题型04求某点的弧形运动路径长1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】顶点从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点为圆心，为半径的圆弧，旋转的角度是，所以根据弧长公式可得．【详解】解：在含有角的直角三角板中，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．2．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为．【答案】【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．【详解】解：,,转动一次的路线长是：转动第二次的路线长是：转动第三次的路线长是：转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点转动四次经过的路线长为：,顶点转动四次经过的路线长为：故答案为：【点睛】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．3．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图所示，扇形从图①无滑动绕着点A旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴直线运动到图③，已知，．(1)求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留）(2)点O所走过的路径与直线l围成的面积是多少？（结果保留π）【答案】(1)(2)【分析】（1）点的运动路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧，根据弧长公式即可求解；（2）如图，找出点的完整运动路径是由三段组成，分别求出面积即可求解．【详解】（1）解：由图①到图②：．（2）解：如图，，，．答：点O所走过的路径与直线l围成的面积是．【点睛】本题考查旋转产生的点的路径问题，重点考查了弧长公式，掌握弧长公式，并能找出点的运动路径是解题的关键．题型05求扇形面积1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出是解答的关键．2．（2023·吉林松原·统考一模）如图所示，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）【答案】【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和．【详解】解：四边形是矩形，图中阴影部分的面积为：，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为，另外两个扇形的圆心角度数的比为．(1)求另外两个扇形的圆心角；(2)若圆的半径是，求圆心角为的扇形的面积（结果保留）．【答案】(1)和(2)【分析】（1）设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度，根据周角为，即可求得x的值，从而求得另外两个扇形圆心角度数；（2）利用扇形面积公式计算即可．【详解】（1）解：设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度，由题意得：，解得：，另外两个扇形的圆心角分别为：答：另外两个扇形的圆心角分别为和．（2）解：由扇形面积公式得：，答：圆心角为的扇形的面积．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、求扇形面积等知识，题目较简单，是基础题，掌握这些知识是关键．题型06求弓形面积1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案．【详解】解：连接，∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．2．（2022春·九年级课时练习）如图，点A，B，C，在半径为6的圆上，∠ACB=45°，则图中阴影部分的面积为（结果保留）．【答案】9π18/18+9π【分析】根据圆周角定理求出∠BOA，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：连接OA、OB，由圆周角定理得，∠BOA=2∠ACB=90°，∴△BOA为等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积=×6×6=9π18，故答案为：9π18．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．3．（2022秋·安徽淮南·九年级淮南实验中学校考阶段练习）如图所示，以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点．(1)求证：；(2)若，，求阴影部分弓形的面积．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）要证明，则要证明，由平行四边形的性质以及半径相等能够证明之；（2）先证明是等边三角形，利用，即可得到结论．【详解】（1）证明：连接．∵A为圆心，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴是等边三角形，过点A作于点H，则，∴，，∴．【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆周角定理，扇形面积公式等知识点的应用，关键是求出．题型07求其他不规则图形的面积1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据旋转的性质知，则，，再根据进行计算即可得到答案．【详解】解：在中，，，，根据旋转的性质知，则，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积计算公式是解题的关键．2．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为．【答案】【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形的面积公式求解即可．【详解】解：正方形，∴，，∴，∵正方形的边长为2，∴∴阴影部分的面积为扇形的面积，即，故答案为：．【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．3．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．(1)求证：；(2)若，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论；（2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直线，∵点是的中点，∴，∵，∴，∴．（2）解：如图所示，连结，∵，，∴是等边三角形，∵，∴，∴，，∴．【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．A夯实基础1．（2023秋·浙江·九年级校考开学考试）在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据弧长的公式进行解答．【详解】解：根据弧长的公式，得到：．故选：C．【点睛】本题考查弧长的计算，熟记弧长公式是解题关键，属于基础题．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知扇形半径为6，弧长为，则扇形面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据扇形面积公式，计算即可．【详解】解：故选：B．【点睛】本题考查扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式或是解题的关键．3．（2023春·山西·九年级专题练习）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A，B两点．若厘米，则的长度为（

）A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米【答案】B【分析】直接根据弧长公式进行计算即可．【详解】，，故选：B．【点睛】本题考查了弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径，圆心角，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是cm．【答案】4【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径．【详解】解：扇形的弧长为，解得，，故答案为：4．【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式．6．（2023·浙江温州·统考二模）一扇形面积是，半径为，则该扇形圆心角度数是．【答案】/120度【分析】设扇形圆心角的度数为，然后根据扇形的面积公式得到，解关于的方程即可得到的值．【详解】解：设扇形圆心角的度数为，，．即扇形圆心角度数为．故答案为：．【点睛】本题考查了扇形的面积公式：为圆心角的度数，为半径）．7．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了cm．【答案】【分析】利用弧长公式计算即可．【详解】解：重物上升的高度为：，故答案为：．【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．8．（2023秋·宁夏石嘴山·九年级校考期末）如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是与，则阴影部分的面积是（结果保留）．【答案】【分析】根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：扇形半径为6，圆心角为，则扇形面积为，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积公式：．9．（2023秋·湖南永州·七年级校考开学考试）如图是一个半圆，已如，阴影部分的面积是，求图中三角形的高．（取）【答案】【分析】利用可得三角形的面积，在利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：圆的半径为：，，，，解得：，三角形的高为．【点睛】本题考查了三角形的面积及扇形的面积，熟练掌握其公式是解题的关键．10．（2023春·九年级课时练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．(1)将向右平移个单位长度得到，请画出；(2)画出与关于点对称的；(3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度．【答案】(1)作图见详解(2)作图见详解(3)【分析】（1）根据图示，可知各点的坐标，向右平移个单位长度，则各点的坐标的横坐标加，由此得到对应点的坐标，连接各点即为所有图形；（2）由（1）可知各点的坐标，关于原点对称的点，则对称图形的坐标变为原来坐标的相反数，由此得到对应图形点的坐标，连接各点即为所求图形；（3）根据各点坐标的特点与各点的特点，以及旋转的性质，即可求出对应点的弧长．【详解】（1）解：根据图示可知，，，，向右平移个单位长度得，∴，，，如图所示，连接点，∴即为所求图形．（2）解：∵中点，，，关于原点对称得，∴，，，如图所示，连接，∴即为所求图形．（3）解：∵中，，，中点，，，如图所示，连接对应点，交于点，如图所示，当绕点顺时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为；当绕点逆时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为，∴，∴点到点所经过的路径长．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，图形结合，理解并掌握平移，对称，旋转的性质，弧长的计算公式是解题的关键．B能力提升1．（2023·江苏盐城·校联考二模）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？计算可知，这块田的面积是（

）A．60平方步 B．90平方步 C．120平方步 D．240平方步【答案】C【分析】根据扇形面积公式，即进行计算即可．【详解】由题意可知，扇形的弧长为30步，扇形所在的圆直径为16步，所以扇形的面积为（平方步），故选：C．【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的前提．2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由所对的圆周角，可求得所对的圆心角，再根据弧长公式计算即可得出答案．【详解】解：，又，由弧长公式得的长，故选：A．【点睛】本题考查了求弧的长度，熟练掌握弧长的计算公式是解题关键．3．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，将直径为4的半圆形分别沿，折叠使得直径两端点，的对应点都与圆心重合，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，可推出是边长为2的等边三角形，进一步可得，即可求解．【详解】解：连接，如图所示：由折叠可知：∵∴是边长为2的等边三角形∴∴∴也是边长为2的等边三角形∵∴∵∴∴∵∴故选：A【点睛】本题考查了圆中不规则图形面积的求解．得出是解题关键．4．（2023·河北沧州·模拟预测）图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可．【详解】∵四边形中，，，∴，∵车轮的直径为24英寸，约，∴需要的铁皮面积约是，故选A．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．（2023春·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知点C在以为直径的半圆上，连接，，阴影部分的面积为．【答案】【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积，根据，，可以求得，的长，再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算．【详解】解：为直径，，，设，，即，解得：，，．故答案为：．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．6．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，已知线段经过的中点，若，则阴影部分的周长为．【答案】【分析】连接，根据为的中点，扇形的圆心角，得出，求出，证明，根据求出结果即可．【详解】解：连接，如图所示：∵为的中点，扇形的圆心角，∴，∵，∴，∴，根据平移可知，，∴，∴，∴，∴阴影部分的周长为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平移的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握平移的性质是解题的关键．7．（2023·江苏盐城·校考二模）如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为【答案】【分析】根据扇形的面积公式可知，，进而可得扇环形的面积．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．8．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，点A，B，C，D在半径为5的上，连接，，，．若，则劣弧的长为．【答案】【分析】先利用圆内接四边形的对角互补求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数，最后利用弧长公式求解即可．【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，，∴，∴，∴劣弧的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长公式，熟练运用这些知识是解题的关键．9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是等边内的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段和扇形，连接、、．(1)若，求阴影部分的面积；（结果保留根号和）(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用扇形面积公式和三角形面积公式求得即可；（2）由证可得，证为等边三角形，则，继而得出答案．【详解】（1）解：，，是等边三角形，，；（2）是等边三角形，，，线段绕点顺时针旋转，得到线段，，，，，在和中，，，，，，为等边三角形，，．【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证得三角形的全等是解题的关键．10．（2023春·山西·九年级专题练习）阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期日作三角形的高线已知：如图1，．求作：的高线．今天，我们组的小明和小红的作法和我不同．小明：如图2，①作线段的垂直平分线找到线段的中点O；②以点O为圆心，的长为半径作圆；③延长交于点D；③连接．则线段就是的高线。小红：如图3，①以点B为圆心，的长为半径作弧；②以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线，延长与相交于点D．则线段就是的高线．我有如下思考：以上两种办法依据的数学原理是什么呢？任务：(1)填空：小明的作法依据的一个数学定理是______；(2)根据小红的操作过程，求证：是的高线；(3)在图2中，若延长线段交于点E，，，，请你直接写出的长．【答案】(1)直径所对的圆周角是直角；(2)见解析(3)【分析】（1）根据作图，结合直径所对的圆周角是直角即可作答；（2）根据作图，证明是线段的垂直平分线即可作答；（3）连接、，先求出，，即有，即可得半径，根据弧长公式，问题得解．【详解】（1）解：根据作图可知：线段是的直径，即，即有，则是的高线，故作法依据的一个数学定理是直径所对的圆周角是直角；（2）连接，，如图由作图过程可知：，，∴点B，点C都在的垂直平分线上，∴是的垂直平分线，即，∴是的高线；（3）连接、，如图，∵，，∴，，∵，，∴，∴，∴半径，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，求解弧长以及垂直平分线的判定与性质等知识，掌握圆周角定理是解答本题的关键．C综合素养1．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．【详解】解：连接，∵四边形是的内接四边形，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，D为的中点，连接，以点D为圆心，长为半径作弧，若于点E，于点F．则图中阴影部分的周长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，，得，又D为的中点，有，根据，，，得到四边形是矩形，从而可得，，然后得到，即得阴影部分的周长．【详解】解：在中，，，∴，∵D为的中点，∴，∵，，，∴四边形是矩形，∴，∴，，，∵，∴阴影部分的周长为，故选：C．【点睛】本题考查阴影周长，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，解题的关键是掌握弧长公式，证明四边形是矩形．3．（2023·山西长治·统考模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，分别以点、、为圆心，的长为半径画弧，交线段、于点、、、，若点、是线段的三等分点时，图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，由等腰三角形的性质可得，，由题意可得，由勾股定理可得，再由代入进行计算即可．【详解】解：如图，连接，

，，，点是的中点，，，分别以点、、为圆心，的长为半径画弧，交线段、于点、、、，点、是线段的三等分点，，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、扇形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式是解题的关键．4．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，是的直径，点C为上一点，将沿翻折得到的弧恰好经过圆心O，连接，若，则图中阴影部分的面积为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积扇形的面积，然后根据题目中的数据，计算出的面积即可．【详解】解：连接，作于点D，根据对称性可知，弓形与弓形面积相等，∴阴影部分的面积的面积，根据垂径定理，∴∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴∵点O是的中点，∴的面积是的面积一半，∴的面积是：，即阴影部分的面积是，故选：C．

【点睛】本题考查求不规则图形的面积、垂径定理、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2023春·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图，半径为3的中，点A、B、C都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为.【答案】【分析】连接，由平行四边形的性质可证是等边三角形，可得，再由，可知，再利用扇形的面积公式即可求解．【详解】解：连接，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】