折叠问题专题

PAGEPAGE3折叠问题专题【轴对称（折叠）思考层次全貌】1.全等变换：对应边相等、对应角相等．2.对称轴性质：对称轴上的点到对应点的距离相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分．3.组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形、两次折叠常出现直角，60°角、折叠会出现圆弧等．4.作图：核心是找到对应点，作对应点连线的垂直平分线（折痕），补全图形．【要求】①读一读操作要领，按照操作要领去做题，思路受阻时回头再看操作要领，做完题对照操作要领思考一步步是如何进行操作的；②做题时，需要执行读题标注（如目标、条件），观察特征，验证取舍等动作．【第一次训练操作要领：遇折叠，考虑全等变换；找折痕（对称轴），利用对应边相等，对应角相等转移条件，表达线段长，利用勾股定理（或相似、三角函数）建方程；做题时常借助背景图形提供的角度、线段长，对条件进行转移、表达．ADMFNBEC【例题1】如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为M，则线段CNADMFNBEC分析思路：1.读题标注、转化；正方形，折叠，中点，目标，如右图所示2.背景图形；边长为8的正方形；3.分析条件，组合特征；折叠是全等变换 对应边相等，对应角相等；E=D； +N=D+N=8，转移，表达 设C=，则E=D= 4.求解目标：勾股定理列方程在Rt△ 中，勾股定理列方程为 ，解得= C= cm．【配套小练习】练习1：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边A=6cm，B=8cm，点D在BC边上，将直角边AC沿直线AD折叠，点C恰好落在斜边AB上的点E处，则线段CD的长为 ．DEBFCC DEBFCB E A练习2如图折叠长方形的一边A使点D落在BC边上的点F处若A=4cm，B=5cm，则EF的长为 ．【第二次训练操作要领：①折叠属于全等变换，找折痕，利用对应边相等，对应角相等转移条件，表达线段长，利用勾股定理建方程；②上述思路进行不下去时，从“对称轴上的点到对应点的连线距离相等”，从折痕与背景图形的交点处入手，结合所求目标，连接对应线段，表达求解；或者考虑“折痕”为对称轴，“对应点所连线段被对称轴垂直平分”，利用垂直平分（题目中会出现全等或相似）解题．（这两条性质可以逐一尝试）【例题2】如图，将长为4cm，宽为2cm的长方形纸片ABCD折叠，使点B落在FAMDEBNCCD边的中点E处，压平后得到折痕M，则线段FAMDEBNC分析思路：1.读题标注、转化；长方形，折叠，中点，目标，如右图所示2.背景图形；长为4，宽为2的长方形，D=E=1，E是定点；3.分析条件，组合特征；折叠是全等变换 对应边相等，对应角相等；上方：A=M，但MF所在的直角三角形无相关线段长信息，求解不出来；下方B=E +N=B+N=4在Rt△ 求B（N，NC等），但跟目标无关，先不进行计算；4.求解目标；方式一：考虑折叠性质“对称轴上的点到对应点的连线距离相等，连接MB和M，则M=M，可以用来表达列方程求解；如图所示转移表达 设A=，则D= ；在Rt△ 中，M2 （用含x的代数式表示；在Rt△ 中，E2 （用含x代数式表示；建立方程为 ，解得= ，即A= ．方式二考虑折叠性“对应点所连线段被对称轴垂直平分连接B则 被 垂直平分；如图所示过点M作M⊥BC于点，则△MG∽△ ，且相似比为1:2，由CE的长，可求GN的长，结合A=B=B-G（BN可通过第3条中的分析求出）即可求出AM的长．中间用到一个很重要的结论：“十字结构”会出现全等或相似．而折叠中的直平分经常会提供十字结构，以下是一般的“十字结构”的图形和结论．A D DB A DF FA FB E C E

B E CAB≌△BCF △DC≌△ABF △AB∽△BCF【配套小练习】 练习3和练习4均要求用折叠的两种性质解题（每种图中展示一种方法）练习3：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B落在CD边上的点'处，点A的对应点为'，折痕为M．若C3，则AM的长 ．AAMDB'AMDB'B N C B N C练习4：如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为′点C落在′处若A=6A′=2则MN的长为 BN的长为 D C D CNBNBNC'BM MA A练习5：如图，在长方形ABCD中，A=3，A=9，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为E，则EF的长为 ．（要求用“对应点的连线被对称轴垂直平分”解题，有其余方法可自行尝试）A E D A E DBFCBFBFCBFC练习6片ABCA=5B=10CD上有一点E=2AD上有一点P=3，过P作P⊥AD交BC于，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，与AD交于点，则PQ的长是（）（要求用“对应点的连线被对称轴垂直平分”解题，有其余方法可自行尝试）5 13 7． ．3 ． ．G2 4 2GQC F QE

A F DEDG P A B C练习7：如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕F若GF的长为13cm段CE的长为 ．【第三次训练操作要领：当上述两种思路都进行不下去的时候考虑背景提供的条件，如长方形中折叠会出现等腰三角形（以折痕为底）；（原理是：平行+角平分线出现等腰三角形）【例题3】用长方形下的折叠会出现等腰三角形，快速求BF的长如图，在长方形ABCD中，A=3，A=9，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为E，则BF的长为 ．BFCAMDEA BFCAMDEC' B N C题2进行体现，并用此思路尝试求AM的长；为4cm为2cm的长方形纸片ABCD点B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕M，则线段AM的长为 ．【配套小练习】练习8：如图，长方形ABCD中，A=15cm，点E在AD上，且A=9cm，连接E，将长方形ABCD沿直线BE翻折点A恰好落在EC上的点A处则A'= cm．A E DA P BQB C O D C练习9片OABO=点P为AB边上一点A=2OAP沿OP点A落在点A长PA交边OC与点点P再次折叠纸片，使点B落在边OC上的点D处，则AB的长为 ．AMDB'练习10：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B落在CD边上的点'处，点A的对应点为'，折痕为M．若C3，则AMAMDB'B N C【第四次训练】折叠作图训练及计算求解①题目中给出已知的对应点，直接作垂直平分线，找折痕；②题目中没有直接给出的对应点，而是给出对应点满足的条件；此时往往“折痕过定点”，题目往往会产生圆（圆弧），通过作圆弧找到对应点的位置，再作垂直平分线找折痕．练习11：如图，在矩形ABCD中，已知A=12A=8，如果将矩形沿直线l翻折后，点A落在边CD的中点E处，直线l分别与边AAD交于点，，那么MN的长为 ．A D A DE EB C B C练习12：在矩形ABCD中，A=4B=3点P在线段AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在对角线AC上的A处，则AP的长为 ．A D A DB C B C练习13如图矩形ABCD中A=2A=6A=B=2点G是线段AD上的动点，将矩形ABCD沿直线EG折叠．当点C的对应点C落在四边形ABEF对角线所在直线上时，求AC的长为 ．A F G D A F G DB E C B E C练习14：如图，矩形纸片ABCD中，A=8cm，B=20cm，O是BC的中点，沿过O的直线翻折.若点B恰好落在AD上，那么折痕的长度为 .A D A DB O C B O C练习15：在矩形ABCD中，B=6C=8点P在线段AB上(不含端点)任意一点．若将△PBC沿PC折叠，使点B的对应点′落在矩形ABCD对角线上时，BP的长为 ．A D A DB C B C用你学到的内容，尝试用多种方法解题。形ABCD中A=12B=10点E是BC上一