2024年上海长宁区高三二模数学试卷和答案

高中PAGE1高中上海长宁区2023-2024学年第二学期教学质量调研试卷高三数学考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合，，若，则_______.2.不等式的解集为________.3.在的展开式中的系数为_______.4.在△中，角所对的边分别为，若，则____.5.若，则_________.6.直线与直线夹角的大小为________.7.收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中________.（填：有关或无关）8.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则实数的取值范围为________.9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要_____平方米铁皮.10.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，，，则点的横坐标为_________.11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t（单）783182258338油费s（元）107150110264110376平均每单里程k（公里）151515平均每公里油费a（元）0.70.70.7出租车空驶率.依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、%，则______.（精确到0.01）12.已知平面向量、、满足：，，若，则的最小值为_______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设，则“”是“”的（）.A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件．14.已知直线和平面，则下列判断中正确的是（）.A.若，，则；B.若，，则；C.若，，则；D.若，，则．15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6，9.7，9.5，9.9，9.4，9.8，9.3，10.0.已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为0.25，则的取值不可能是（）A．65；B．70；C．75；D．80.16.设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质.=1\*GB3①存在等差数列具有性质；=2\*GB3②不存在等比数列具有性质.对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A.=1\*GB3①是真命题，=2\*GB3②是真命题；B.=1\*GB3①是真命题，=2\*GB3②是假命题；C.=1\*GB3①是假命题，=2\*GB3②是真命题；D.=1\*GB3①是假命题，=2\*GB3②是假命题.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.设.（1）某同学用“五点法”画函数的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0▲01▲0请在答题卷上将上表▲处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）设，，，求函数值域.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在长方体中，，.（1）求二面角的大小；（2）若点在直线上，求证：直线平面.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望和方差.20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆，为坐标原点.（1）求的离心率；（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；（3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于、两点.试探究：是否为存在常数，使得恒成立，若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界.记集合在区间上是严格增函数.（1）求函数的上确界；（2）若，求的最大值；（3）设函数的定义域为.若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0.2023-2024学年第二学期高三数学教学质量调研试卷参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.2；2.；3.4；4.；5.1；6.7.无关；8.；9.；10.；11.20.68；12.2二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.C；14.C；15.D；16.B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）00100.每空2分，解析式2分（2），……..4分因为，所以，进而，…….6分所以函数的值域为………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）设与相交与，连接因为为正方形，所以，又因为平面，所以，…….2分所以即为二面角的平面角，……..4分由已知，所以，二面角的大小为.……..6分（2）连接、因为，所以平面，…….2分因为，所以平面，……..4分所以平面平面，………6分因为直线平面，所以直线平面.………8分方法二：以、、为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，………2分因为点在直线上，所以可设，……..4分设平面的法向量为，由，，得，，所以可取，……..6分因为，所以，进而，又因为不在平面上，所以直线平面.…….8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）第一次取出红球的概率为，取出白球的概率为，…….2分第一次取出红球，第二次取出红球的概率为第一次取出白球，第二次取出红球的概率为……..4分所以第二次取出的球是红球的概率为………6分（2），，，所以的分布为，……….4分……..6分，所以，…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.解：（1）设的半长轴长为，半焦距为，则，，………2分所以.……..4分（2）设，，……2分因为，……3分所以当时，取得最小值为，……..4分当时，取得最大值为.…….6分（3）设，，，则直线，………2分，………3分，………4分将直线方程代入椭圆方程得所以，，……..5分,……..6分得，所以存在，使得恒成立.……..8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.（1）解：函数在区间严格减,所以函数的值域为，……2分进而函数的上确界为2.……4分（2）解：，，……2分由已知，当时，恒成立，………4分因为，所以.所以的最大值为4………6分（3）证明：因为函数有上界，设.假设存在，使得，设，因