人教版八年级数学下册基础知识专题17.6 勾股定理（直通中考）（提升练）

专题17.6勾股定理（直通中考）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·宁夏·统考中考真题）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（

）

A． B． C．2 D．2．（2023·山东日照·统考中考真题）已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（

）A． B． C． D．大小无法确定3．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（）

A． B． C． D．4．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（

）

A．B． C． D．5．（2022·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（

）A． B． C．或 D．或6．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（

）A． B．1+ C．2 D．2+7．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．38．（2021·西藏·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（

）A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋39．（2021·陕西·统考中考真题）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（

）A．6cm B．7cm C． D．8cm10．（2021下·全国·八年级专题练习）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（）A． B．3 C．3 D．3填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为．

12．（2023·江苏南通·统考中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则（用含的式子表示）．13．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则．

14．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为．

15．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为．

16．（2023·山东东营·统考中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为km．17．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为．（杯壁厚度不计）

18．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·安徽·统考中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．

（1）画出线段关于直线对称的线段；（2）将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；（3）描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．20．（8分）（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．

（1）求证：；（2）若时，求的长；（3）点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．21．（10分）（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

（1）求证：；（2）若，时，求的面积．22．（10分）（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，．

（1）写出与的数量关系（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．23．（10分）（2023·四川达州·统考中考真题）如图，在中，．

（1）尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作图形中，求的面积．24．（12分）（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．参考答案：1．B【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．解：如图，在中，，

∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．C【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案．解：如下图，∵为直角三角形的三边，且。∴，∴，∵，，∴．故选：C．【点拨】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键．3．D【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果．解：过点D作于M，如图，由勾股定理可求得，由题中作图知，平分，∵，∴，∵，∴，∴，∴；设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为为；故选：D．

【点拨】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．4．C【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D．解：由作图方法可知，是的角平分线，∴，故A结论正确，不符合题意；∵，∴，故B结论正确，不符合题意；在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，∴，∴，故C结论错误，符合题意；∴，故D结论正确，不符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．5．C【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．解：如图，当△ABC是一个直角三角形时，即，，；如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，过点C作CD⊥AB1，，，，，，，，，，综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或，故选：C．【点拨】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．6．D【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴∴△ABC的面积．故选：D．【点拨】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．7．A【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD==12，∵E是AB的中点，∴S△AED==6，∵G是AD的中点，∴S△EGD==3，∵E是AB的中点，G是AD的中点，∴EGBC，EG=BD=CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中点，∴DF=CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD==3，即，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE==2.5，故选：A．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．8．B【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2．解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，∴BP＝B'P，BC＝B'C，∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，∴PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠CBA＝60°，∵AB＝6，∴BC＝3，∴BB'＝BC＋B'C＝6，在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，∴∠BB'H＝30°，∴BH＝3，由勾股定理可得：，∴AH＝AB－BH＝3，∵AM＝AB，∴AM＝2，∴MH＝AH－AM＝1，在Rt△MHB'中，，∴PB＋PM的最小值为2，故选：B．【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋PM的最小值为B'M的长．9．D【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明，即可证明，进一步计算即可得出答案．解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，∵，，∴，∴，在和中；，∴，∴BF=CG，∵，∴均为等腰三角形，∵，∴，∴，∴，故选：D．【点拨】本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是解决本题的关键．10．B【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分.由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．解：AB＝AC，,故选B.【点拨】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．11．/【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可．解：∵是的角平分线，，分别是和的高，，∴，又，∴，设点E到直线的距离为x，∵，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12．【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值．解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，为直角边，为斜边，，，得到，，，是大于1的奇数，．故答案为：．【点拨】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键．13．4【分析】利用圆的性质得出垂直平分和，运用勾股定理便可解决问题.解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，∴垂直平分,即，∴，又∵在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，其中，∴，在中，，故答案为：4．【点拨】本题主要考查圆和三角形的相关性质，掌握相关知识点是解题的关键.14．【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解．解：∵，∴，由折叠的性质可知，∵，∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为；故答案为．【点拨】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键．15．【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出．解：如图：过点作于点，

，由题意得：平分，，，，，，，；故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键．16．50【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解．解：如图，根据题意，得，，，，

∵∴∴∴在中，即A，C两港之间的距离为50km．故答案为：50【点拨】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．17．10【分析】如图（见分析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，，∵底面周长为，，，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10．【点拨】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．18．//1.5【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长．解：，，点D为的中点，，又，，，中，，，，．故答案为：．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键．19．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于直线的对称点，，连接，则线段即为所求；（2）根据平移的性质得到线段即为所求；（3）勾股定理求得，，则证明得出，则，则点即为所求．（1）解：如图所示，线段即为所求；

（2）解：如图所示，线段即为所求；

（3）解：如图所示，点即为所求

如图所示，

∵，，∴，又，∴，∴，又，∴∴，∴垂直平分．【点拨】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．20．（1）见分析；（2）；（3）存在，【分析】（1）由即可证明；（2）证明（），勾股定理得到，在中，勾股定理即可求解；（3）证明，即可求解．（1）解：由题意，可知，，．．即．．（2）在中，，．．，，．．．在中，．（3）由（2）可知，．当最小时，有的值最小，此时．为等腰直角三角形，．．即的最小值为．【点拨】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．21．（1）见分析；（2）【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可．解：（1）证明：∵，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：过点E作于F，由（1）知，∵，∴，∵，∴，∴，，∴．

【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正