人教版七年级数学下册5.3.2 命题、定理与证明（分层作业）（解析版）

基础训练1．数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（

）A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯【答案】B【分析】根据数学史，即可得到答案；【详解】解：《几何原本》的作者是：欧几里得，故选：B．【点睛】本题考查了《几何原本》，早在公元前3世纪，希腊数学家欧几里得用由反复实践所证实而被认为不需要证明的少数命题为前提，用逻辑推理的方法，将前人在几何方面的研究成果整理成《几何原本》．2．下列语句中，是命题的个数为（

）①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的概念是解题的关键；因此此题可根据“一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题”进行排除选项．【详解】解：①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的个数有4个；故选C．3．下列句子中，属于命题的是（）A．直线和垂直吗？ B．过线段的中点作的垂线C．同旁内角互补，两直线平行 D．已知，求a的值【答案】C【分析】此题考查了命题的定义，熟记定义是解题的关键．对一件事情作出判断的语句叫做命题，注意，假命题也是命题．根据命题的定义判断即可．【详解】解：A．是问句，不是命题，故该选项不符合题意，B．是作图，没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，C．对一件事情作出判断，是命题，故该选项符合题意，D．没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意．故选：C．4．下列命题；①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则；其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②两个锐角的和不一定是钝角，错误，是假命题，不符合题意；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；正确，是真命题，符合题意；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，正确，是真命题，符合题意；真命题有2个，故选：B．5．下面关于实数，的值中，能说明“若，则”这个命题是假命题的是()A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．说明命题为假命题，即、的值满足，但不成立，把四个选项中的、的值分别代入验证即可．【详解】解：当，时，，而成立，故A选项不符合题意；当，时，，而成立，故B选项不符合题意；当，时，，但不成立，故C选项符合题意；当，时，不成立，故D选项不符合题意；故选：C．6．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（

）A． B．，C．， D．，【答案】A【分析】本题考查了反证法；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．【详解】解：A.，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；B.，，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；故选：A．7．下列命题中，真命题是（

）A．若两个角相等，则这两个角是对顶角 B．同位角一定相等C．平行于同一条直线的两直线平行 D．若，则【答案】C【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据对顶角的定义即可判断A；根据平行线的性质与判定即可判断B、C；根据乘方的意义即可判断D．【详解】解：A、若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；B、两直线平行，同位角一定相等，原命题是假命题，不符合题意；C、平行于同一条直线的两直线平行，原命题是真命题，符合题意；D、若，则或，原命题是假命题，不符合题意；故选C．8．命题“同角的补角相等”是命题．写成“如果…那么…”的形式．【答案】真如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果．．．那么．．”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果．．．那么”的形式即可；【详解】解：命题“同角的补角相等”是真命题，把命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．那么”的形式为如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；故答案为：真；如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．9．有下列命题①对顶角相等；②同位角相等；③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的是（填序号）【答案】①④【分析】根据对顶角的性质，平行线的性质，点到直线距离的定义，平行线的判定判断即可．【详解】∵对顶角相等；故①正确；同位角不一定相等；故②错误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离；故③错误；平行于同一条直线的两条直线平行，故④正确；故答案为①④．【点睛】本题考查了对顶角的性质，平行线的性质，点到直线距离的定义，平行线的判定，熟练掌握相应的知识是解题的关键．10．命题“若，，则”是命题．（填“真”“假”）【答案】假【分析】本题考查了判定命题的真假，令，，，根据，，，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：令，，，则，，，则原命题是假命题，故答案为：假．11．命题“如果实数、满足，那么”的题设是，它是命题（填“真”或“假”）．【答案】实数、满足假【分析】根据命题的定义先判断出命题的题设，再举实例证明命题为假命题即可．【详解】解：命题：如果实数、满足，那么，题设为：实数、满足，结论为：，如果实数、满足，当，时，，但是，故原命题为假命题，故答案为：实数、满足；假．【点睛】本题考查了命题的定义，真假命题的判断，根据举例的方式判断命题的真假是解答本题的关键．12．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．（1）“如果，那么”是一个假命题；反例：；（2）“如果，那么”是一个假命题．反例：．【答案】【解析】略13．判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题．(1)同位角相等，两直线平行；(2)延长到点；(3)同角的补角相等；(4)平方后等于的数是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）根据命题的定义和平行线的判定方法进行判断；（2）根据命题的定义进行判断；（3）根据命题的定义和补角的定义进行判断；（4）根据命题的定义得到平方后等于的数是是命题，然后利用的平方等于判断它为假命题．【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行是真命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果两直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两直线平行；（2）延长到点不是命题；（3）同角的补角相等是真命题；写成“如果…那么…”的形式为∶如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等；（4）∵，，∴平方后等于的数是是假命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数的平方等于，那么这个数为．【点睛】本题考查命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．掌握命题的相关概念是解题的关键．14．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明．(1)一个锐角与一个钝角的和是；(2)若，则或；(3)若，则；(4)有公共顶点且相等的角是对顶角；(5)倒数等于它本身的数是1．【答案】(1)假命题，理由见解析(2)真命题(3)假命题，理由见解析(4)假命题，理由见解析(5)假命题，理由见解析【分析】（1）根据锐角和钝角的概念判断；（2）根据有理数的乘法法则判断；（3）根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可；（4）根据对顶角的概念判断；（5）根据倒数的概念判断．【详解】（1）一个锐角与一个钝角的和是，是假命题，例如：的角是锐角，的角是钝角，，不是；（2）若，则或，是真命题；（3）若，则则是假命题，例如：，而；（4）有公共顶点且相等的角是对顶角，是假命题，90°的角和它的邻补角有公共顶点且相等，但不是对顶角；（5）倒数等于它本身的数是1，是假命题，例如的倒数等于它本身的数是﹣1．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．15．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．(1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；(2)内错角相等；(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．【答案】(1)题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题(2)题设：如果两个角是内错角，结论：这两个角相等；是假命题，举反例见解析；(3)题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题【分析】（1）如果引出的部分就是命题的题设，那么引出的部分就是命题的结论，题设成立，结论也成立命题是真命题，否则是假命题，据此结合补角的定义判定即可；（2）两直线平行，内错角才相等，画出不平行的直线形成的内错角即可；（3）利用平行线的性质判定即可；【详解】（1）解：题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）解：题设：如果两个角是内错角，结论：这两个角相等；是假命题，如图与是内错角，；

（3）解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题．【点睛】本题考查了命题，掌握命题的概念和真假命题的判定方法是解题的关键．16．如图，已知两平行直线、被直线所截，射线、分别平分和．(1)判断与之间的位置关系，并证明你的结论；(2)由（1）的结论可以得到一个命题：如果（

），那么（

）．【答案】(1)，证明见解析(2)两条直线平行，内错角的角平分线平行【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质：（1）根据平行线的性质可得，再结合角平分线的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证；（2）结合（1）的结论即可得到答案．【详解】（1）解：．证明如下：（已知）（两直线平行，内错角相等）射线、分别平分和（已知），（角平分线的定义）（已证）（等量代换）（内错角相等，两直线平行）（2）解：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线平行．故答案为：两条直线平行，内错角的角平分线平行．能力提升17．下列命题中，是假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】本题主要考查了真假命题，平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质一一判断即可.【详解】解：．若，根据两直线平行，同位角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意；．若，根据两直线平行，内错角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意；．若，根据同位角相等，两直线平行，则，根据两直线平行，同位角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意；．若，根据内错角相等，两直线平行，则，无法推出,是假命题,故本选项符合题意；故选：D．18．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可．【详解】解：当，时，，而，∴命题“若，则”是假命题，故选：D．【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．19．甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中．

乙：我没有获奖，丙获奖了．丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖．

丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（

）．A．甲

丁 B．乙

丙 C．乙

丁 D．以上都不正确【答案】C【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．【详解】解：由题意，可知：∵乙、丁的预测是一样的，∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故乙、丁的预测不成立，②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，∵甲、丙的预测成立，∴丁必获奖．∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，∴丙不获奖，乙获奖．从而获奖的是乙和丁．故选：C．【点睛】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题．20．如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．条件：；结论：．（填序号）【答案】①②③【详解】条件：①②结论：③证明：平分，．，，．．（答案不唯一）21．（1）如图，，，．求证：；（2）若把（1）中的“”与结论“”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由；（3）若把（1）中的“”与结论“”对调呢？【答案】（1）证明见解析；（2）所得命题为真命题．理由见解析；（3）所得命题为真命题．理由见解析【详解】（1）证明：，．又，．．．，．．．（2）所得命题为真命题．理由如下：，，．．，．．（3）所得命题为真命题．理由如下：同（2）可得．，．22