人教版九年级数学下册同步备课系列28.2.1 解直角三角形（导学案）

学习目标1理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.2能综合运用勾股定理、直角三角形两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.重点难点突破★知识点1：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B2）三边之间的关系：a2+3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°4）边角之间的关系：sinA=∠A所对的边斜边=ac，sinB=∠BcosA=∠A所邻的边斜边tanA=∠A所对的边邻边★知识点2：解直角三角形常见类型及方法：核心知识一、在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：______________，角：______________2）三边之间的关系：____________________________3）两锐角之间的关系：____________________________4）边角之间的关系：sinA=______________，sinB=______________cosA=______________tanA=______________二、解直角三角形常见类型及方法：复习巩固【提问】根据之前所学知识，回答下面问题：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，则1）三边之间的关系:a2+b2=_____；2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____3）边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.新知探究【情景引入】如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？【提问】在直角三角形中知道几个条件可以求解其它未知量呢？【问题一】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，求∠B,AC,BC?【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6，求∠B,AB,BC?【问题三】由此你发现了什么？【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求∠A,∠B,AB?【问题五】由此你发现了什么？【问题六】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，可以通过已知条件求出AC,BC,AB吗?【问题七】由此你发现了什么？【小结】1)一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即_____条边和_____个锐角，只要知道其中的_____个元素（____________________），就可以求出其余的_______________个未知元素.2)由直角三角形中的已知元素，求出其余_______________的过程，叫解直角三角形.3)在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：①直角三角形的五个元素：②三边之间的关系：③两锐角之间的关系：④边角之间的关系：4）解直角三角形常见类型及方法：典例分析例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2

，BC=6例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).【针对训练】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，2.（1）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，∠B=45°（2）在△ABC中，∠C=90°3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4，cosA=44.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在边BC上，BD=2CD，且tan∠CAD=23例3如图，在△ABC中，AB=10，∠C=45°，sinB=35【针对训练】1．如图，已知圆锥底面半径为10cm，母线长为30cm，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．2.如图在ΔABC中，∠B=45°，∠BAC=15°，AC=10cm，求BC能力提升1.如图，在△ABC中，BC=2，tanB=12，点D是BC1)求点A到BD的距离；2)求sinA的值．感受中考1．（2023·重庆·中考真题）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OCA．3 B．23 C．13 D．2．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=23A．1 B．2 C．23 D．课堂小结1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？2.简述直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系？3.简述解直角三角形的解题思路？【参考答案】新知探究【情景引入】如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？利用计算器可得∠A≈5°28'【提问】在直角三角形中知道几个条件可以求解其它未知量呢？只要知道其中的2个元素（至少有1个是边）【问题一】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，求∠B,AC,BC?∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6∴∠B=60°，BC=3由勾股定理得AC=AB2−BC【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6，求∠B,AB,BC?∵∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6∴∠B=67.5°∴在Rt△ABC中，cosA=ACAB

,tanA=则AB=ACCOS22.5°=BC=AC•tan22.5°=6×0.41=2.46【问题三】由此你发现了什么？在直角三角形中，已知一个锐角和任意一条边长，可以求出另一个锐角和其它两条边长.【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求∠A,∠B,AB?[提示]根据已知信息可知AB=5，所以SinA=BCAB=4由此可以通过计算器求出∠A，进而求出∠B【问题五】由此你发现了什么？在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出另一条边长和其它两个锐角的度数.【问题六】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，可以通过已知条件求出AC,BC,AB吗?不能【问题七】由此你发现了什么？在直角三角形中，已知两个锐角度数，无法求出三条边长.【小结】1)一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角，只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.2)由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形.3)在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：①直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B②三边之间的关系：a2③两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°④边角之间的关系：sinA=(∠A所对的边)/斜边=a/c，sinB=(∠B所对的边)/斜边=b/ccosA=(∠A所邻的边)/斜边=b/c，cosB=(∠B所邻的边)/斜边=a/ctanA=(∠A所对的边)/邻边=a/b，tanB=(∠B所对的边)/邻边=b/a4）解直角三角形常见类型及方法：典例分析例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2

，BC=6解：∵tanA=BCAC=∴∠A=60°∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°∴AB=2AC=22例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).解：∵∠A=90°-∠B=90°-35°=55°∵tanB=ACBC=20BC

∴BC=20tanB∵sinB=ACAB=20AB

∴AB=20sin【针对训练】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∵BC=10，tanA=5∴AC=24，∴AB=A2.（1）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，∠B=45°（2）在△ABC中，∠C=90°（1）解：∵在Rt△ABC中，tanB=ACBC，即tan45=∴AB=A∴AB=32，AC=3（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：∵sinA=ac=233.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4，cosA=4解：∵在Rt△ABC中，∴AB=AC∴BC=A∵∠DBC=∠A，∴cos∴BD=5∴BD的长度为1544.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在边BC上，BD=2CD，且tan∠CAD=23解：在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=23，AC=3，∴∵BD=2CD，∴BC=3CD=6，

在Rt△ABC根据勾股定理可得：AB=B∴例3如图，在△ABC中，AB=10，∠C=45°，sinB=35解：过点A作AD⊥BC，垂足为D∵在Rt△ABD中，sin∴sinB=AD∴BD=在Rt△ADC中，AD=6∴AD=DC=6，∴BC=BD+CD=14【针对训练】1．如图，已知圆锥底面半径为10cm，母线长为30cm，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．解：圆锥的侧面展开如图：过S作SC⊥AB，则AC=BC，设∠ASB=n°，即：2π⋅10=nπ×30∴∠ASC=60°，∴AC=AS×∴AB=2AC=303即爬行的最短距离为3032.如图在ΔABC中，∠B=45°，∠BAC=15°，AC=10cm，求BC解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．∵∠B=45°，∠BAC=15°，∠ADC=90°，∴∠DCA=60°，∠BAD=45°．在RtΔACD中，sin∠DCA=ADAC∴CD=5，AD=53在RtΔABD中，∵∠BAD=∠B，∴BC=BD−CD=(53能力提升1.如图，在△ABC中，BC=2，tanB=12，点D是BC1)求点A到BD的距离；2)求sinA的值．1）解：作AE⊥BD于点E，设AE=3x，在Rt△ABE中，∵tanB=AEBE=1在Rt△ACE中，∵tan∠ACE=AECE=3∵BC=BE−CE，∴2=6x−4x，∴x=1，∴AE=3；即点A到BD的距离为3；作CF⊥AB于点F，由（1）可得BE=2AE=6x=6，CE=4x=4，在Rt△ABE中，在R