圆锥曲线（理）（教学案）

【高效整合篇】

-.考场传真

1.12015高考福建，理3］若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于()

A.11B.9C.5D.3

【答案】B

【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B.

2.12015高考四川，理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近

线于A,B两点，贝IJ()

(A)(B)(C)6(D)

【答案】D

【解析】

双曲线的右焦点为，过尸与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：.选D.

3.12015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为()

A.B.C.D.

【答案】.

【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选.

4.12015高考新课标1,理5］已知M()是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，

则的取值范围是()

(A)(--)(B)(-,)

(C)(,)(D)(,)

【答案】A

5.［2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度,

得到离心率为的双曲线，则()

A.对任意的，B.当时，；当时，

C.对任意的，D.当时，；当时，

【答案】D

【解析】依题意，，,

因为，由于，，，

所以当时，，，，，所以;

当时，，，而，所以，所以.

所以当时，；当时，.

6.12015高考四川，理10】设直线/与抛物线相交于A,B两点，与圆相切于点M,且M

为线段AB的中点.若这样的直线/恰有4条，则『的取值范围是()

(A)(B)(C)(D)

【答案】D

【解析】

显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，

则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M

在圆上，所以.又(由于斜率不存在，故，所以不取等号)，所以.选D.

7[2015高考新课标2,理20](本题满分12分)

已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为.

(I)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

(II)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不

能，说明理由.

【答案】(I)详见解析；(II)能，或.

二.高考研究

1.考纲要求.

(1)直线方程：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。②能根

据两条直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。③能根据两条直线

的斜率判定这两条直线平行或垂直。④掌握正确直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种

形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系。⑤能用解方程组的方法求两

条相交直线的交点坐标。⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直

线间的距离。

(2)圆与方程：①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。②能根据给定直

线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。③

能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。④初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

（3）圆锥曲线：①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题

中的作用。②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。③了解

双曲线的定义、几何图形和标准方程。知道它的简单几何性质。④了解圆锥曲线的简单应用。

⑤理解数形结合的思想

（2）曲线与方程：了解方程的曲线与与曲线方程的对应关系。

直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高

考命题的基本元素.高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，

有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和

圆锥曲线的位置关系等.

数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：

①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；

②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；

③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）

④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）：

⑤与曲线有关的几何证明（圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等）；

⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征（很少）；

3、能力立意，渗透数学思想：如2012年理第（20）题，以抛物线和圆为背景，将两者的概

念、性质与应用导数求曲线切线等知识融为一体，有很强的综合性.一些虽是常见的基本题

型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案.

4、题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定.解析几何试题的难度都不算太大,

选择题、填空题大多属易中等题，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合

型考题.高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几

何的基本思想和方法，解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式

等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题都与圆有

关，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问

题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如

联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低.若再按以前的“解几套路''解

题显然难以成功.试题平均难度为0.29（其中选择、填空难度0.15〜0.52,平均难度0.29,

解答题难度在OH〜。.30,平均难度0.17）.

-.基础知识整合

2.直线的方程：点斜式：；截距式：；两点式：；截距式：；一般式：，其中A、B不同时为

0.

4.圆的有关问题：

圆的标准方程：（r＞0）,称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a,b）,半径为r,特别地，当

圆心在原点（0,0）,半径为r时，圆的方程为，几种特殊的圆的方程

设圆的圆心为，半径为

（1）若圆过坐标原点，则圆的标准方程为：

（2）若圆与x轴相切，则圆的标准方程为：

（3）若圆与y轴相切，则圆的标准方程为：

（4）若圆心在x轴上，则圆的标准方程为：

（5）若圆心在y轴上，则圆的标准方程为：

（6）若圆与坐标轴相切，则圆的标准方程为：或.

圆的一般方程：（＞0）称为圆的一般方程，

其圆心坐标为（，），半径为.

当=0时，方程表示一个点（,）;

当＜0时，方程不表示任何图形.

圆的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

（9为参数）

（。为参数）

直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系的判断：

【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外

一个数的未知数的一元二次方程，则

（1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点；

（2）直线与圆相离直线与圆无公共点；

（3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；

若直线与圆相交，设弦长为，弦心距为，半径为，则

圆与圆的位置关系：

圆与圆的位置关系的判断：设两个圆的圆心分别为，半径分别为，则

(1)圆与圆相离两个圆有四条公切线；

(2)圆与圆相交两个圆有两条公切线；

(3)圆与圆相外切两个圆有三条公切线；

(4)圆与圆相内切两个圆有一条公切线；

(5)圆与圆相内含两个圆没有公切线；

若圆与圆相交，则公共弦所在的直线方程为；

5.椭圆及其标准方程：

椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分

母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

求椭圆的标准方程的方法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法

求解.

如果已知椭圆过两个点(不是在坐标轴上的点)，求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论

可以设其方程为或；

椭圆的参数方程：椭圆(>>0)的参数方程为(9为参数).

说明⑴这里参数。叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角0与直线0P的倾斜角a不同：；

⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是

三角代换.

6.椭圆的简单几何性质

椭圆的几何性质：设椭圆方程为(>>0).

范围：-aWx/a,-bMx$b,所以椭圆位于直线*=和y=所围成的矩形里.

对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

顶点：有四个(-a,0)、(a,0)(0,-b)、(0,b).线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它

们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对

称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度OVeVl.e

越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.

椭圆的第二定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(e

<1=时，这个动点的轨迹是椭圆.

设（-c,0）,（c,0）分别为椭圆（>>0）的左、右两焦点，M（x,y）是椭圆上任一点，

则两条焦半径长分别为，，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独

立条件.

在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三

角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；

过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为詈

7.双曲线及其标准方程：

双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正

数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样，通过比较分母的

大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运

用待定系数法求解.

如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨

论可以设其方程为或

8.双曲线的简单几何性质

双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率>1,离心率e越大，双曲线的开口越大.

双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具

有以下形式:，其中k是一个不为零的常数.

双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常

数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-C,0）和（c,0）,与

它们对应的准线方程分别是和.

在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要

两个独立的条件.

在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点

三角形，则面积等于，其中是虚半轴的长；

过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为詈

9.抛物线的标准方程和几何性质

抛物线的方程有四种类型：、、、.

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一

次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向X轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲

线的开口方向向x轴或y轴的负方向。

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过

抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦为AB,A,B,AB的倾斜角为，则有或，以上两公

式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；

10.轨迹方程：⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；⑵以这个方程的解为坐标的点都

是曲线上的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）

11.直线与圆锥曲线的位置关系：

①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小

值来解决.

②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其

相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行.

③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截

得的线段称为圆锥曲线的弦.

直线被圆锥曲线所截得弦为，则长为，其中为直线的斜率

直线与圆锥曲线相交问题的解法：

利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）

—代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）一得出中点坐标与斜率的关

系。

韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定

理和中点坐标公式建立等式求解

二.高频考点突破

考点1直线方程

【规律方法】若给定的方程是一般式，即八：4产+8］），+（71=0和d：A2x+B2y+C2^0,

则有下列结论：//「oAlW—A2%=0且WG和;/JboA•给

定两条直线/］：y=k］x+%和与：＞=22》+匕2，则有下列结论：/］〃，2=勺="2且"1M2；

勺,依=一1；求解两条直线平行的问题时，在利用4%—A2BI=0建立方程求出参

数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.求直线方程就是求出确定直线

的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜

率和直线经过的点即可.对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线

经过的一点确定直线，后者是两点确定直线.

【举一反三】【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】设，则“”是“直线与

直线平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点2圆的方程及应用

［例2］【陕西大学附中2013-2014年高三第一学期8月月考】圆心在抛物线上，且与该抛

物线的准线和轴都相切的圆的方程是（）

A.B.

C.D.

【规律方法】求圆的方程一般有两类方法：1几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与

圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；2代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，

再由条件求得各系数.其一般步骤：①根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；②

利用条件列出关于，或的方程组；③解出，或的值，代入标准方程或一般方程，此外，根

据条件要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量.

考点3直线与圆的位置关系

【例3】【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试】若直线y=kx与圆一4x

+3=0的两个交点关于直线x+y+b=0对称，贝I（）

A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=—1,b=2D.k=-1,b=-2

【规律方法】直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r的关系确定，d=r相切；

以r相交，此时半弦长、弦心距、半径构成直角三角形；心r时相离.解有关直线与圆的相交

问题要灵活运用圆的几何性质，特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股

定理.圆的切线问题一般利用求解，但要注意切线斜率不存在的情形，与圆有关的最值，

范围问题要注意数形结合思想的运用.直线与圆中常见的最值问题：①圆外一点与圆上任

一点的距离的最值.②直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值.③过圆内一定点

的直线被圆截得的弦长的最值.④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最

小值问题.⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值.

【举一反三】【山东省实验中学2014届高三10月月考】在平面直角坐标系中，直线与圆

相交于A、B两点，则弦AB的长等于

A.B.C.D.1

考点4圆锥曲线的定义及标准方程

【规律方法】圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础.因

此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求

IPF1I+IPF2AIQF2I，双曲线的定义中要求||PFi|—|PF2||<|QB|.求圆锥曲线标准方程常用的

方法：（1）定义法；（2）待定系数法，①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为）2=

2初或好=2町38），避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意

义.②椭圆的标准方程可设定+?=1（20,〃>0）,双曲线的标准方程可设为$千=

1（mn>0）,这样可以避免讨论和繁琐的计算.

【举一反三】【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】中心为，一个焦点为的桶圆，

截直线所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程是（）

A.B.C,D.

考点5圆锥曲线的几何性质

【规律方法】求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定小氏C的等量关系，然

后把b用a、C代换，求£的值；在双曲线中由于e2=l+g）2,故双曲线的渐近线与离心率密

切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a,b,c的不等式，再根据a,4c的关

系消掉b得到关于a,。的不等式，由这个不等式确定a,c的关系.

【举一反三】【陕西省陕科大附中2014届高三上学期第二次月考】已知是双曲线上的不同

三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率=（）

A.B.C.D.

考点6直线与圆锥曲线的位置关系

【例6】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】已知椭圆的离心率为,

以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆C相交于4、B两点.

（1）求椭圆C的方程;

(II)求的取值范围；

【规律方法】1.直线与椭圆的位置关系的判定方法

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若/>0,则直线与

椭圆相交；若4=0,则直线与椭圆相切；若/<0,则直线与椭圆相离.

2.直线与双曲线的位置关系的判定方法

将直线方程与双曲线方程联立，消去y或x,得到一个一元方程加+Zzr+c=0或

•+外+c=0.,l若W0,当/>0时，直线与双曲线相交；当/=0时，直线与双曲线相切；

当/<0时，直线与双曲线相离；

若a=0,直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.

3.直线与抛物线的位置关系的判定方法

将直线方程与抛物线方程联立，消去y或x,得到一个一元方程标+法+c=0或aV+by+c

=0.

当。加时，用/判定，方法同上；

当。=0时，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线有一个交点.

抛物线产=2*(0>0)的过焦点的弦AB,若，，则，，弦长H8|=xi+x2+p.同样可得抛物线

y2——2px,x2=2py,炉=-2py类似的性质.

【举一反三】【山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中2014届高三第一次四校联考

理】设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆方程.

(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，当面积最大时，求.

考点7圆锥曲线中的范围问题

【例7】【江西省红色六校2014届高三第一次联考】已知椭圆：，离心率为，焦点过的直

线交椭圆于两点，且的周长为4.

(I)求椭圆方程；

(II)直线与y轴交于点P(0,m)(m0),与椭圆C交于相异两点A,B且.若，求m的取值范围。

【举一反三】【2013…2014学年第一学期赣州市十二县(市)期中联考】(本小题满分13分)

已知抛物线的焦点为F2,点R与F2关于坐标原点对称，以R,F2为焦点的椭圆C过点.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)设点，过点F2作直线与椭圆C交于A,B两点，且，若的取值范围.

考点8圆锥曲线中的存在性问题

[例8][2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】

如图，椭圆经过点P（l.）,离心率e=,直线1的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P）,设直线AB与直线1相交于点M,记

PA,PB,PM的斜率分别为.问：是否存在常数3使得？若存在，求入的值；若不存在，

说明理由.

说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.

解决存在性问题应注意以下几点：1当条件和结论不唯一时要分类讨论；2当给出结论而要

推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；3当条件和结论都不知，按常规方法解题

很难时，要思维开放，采取另外的途径.

解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于

参变量的方程（组）或不等式（组）；第二步：解此方程（组）或不等式（组），若有解则

存在，若无解则不存在；第三步：得出结论

【举一反三】【陕西大学附中2013-2014年高三第一学期8月月考】已知椭圆的离心率为，

且过点.

（I）求椭圆的方程；

（II）若过点C（-1,0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在

点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

考点9圆锥曲线中的定值问题

【规律方法】1解析几何中的定值问题是指某些几何量线段的长度、图形的面积、角的度

数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化

而变化，而始终是一个确定的值.2求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定

值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从

而得到定值.

定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题

的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影

响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值.化解这类问题的关键就是引进变化的参数

表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响

的量.

【举一反三】【广东省广州市“十校”2013-2014学年度高三第一次联考理】如图，已知椭圆：

的离心率为，以椭圆

的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，

求证：为定值.

考点1。