五年级数学上册知识与拓展教材说明和教学意见新人教版

第一单元小数乘法

（一）教学目标

1.使学生理解和掌握小数乘法的算理和计算方法，能正确地进行小数乘法的计算和验算。

2.使学生会用“四舍五入”法截取积（小数）的近似值。

3.使学生理解整数乘法运算定律对于小数同样适用，并会运用这些定律进行小数乘法的

简便运算。

4.让学生在解决有关小数乘法的简单实际问题过程中，理解估算的意义，初步形成估算

意识，提高解决问题的能力。

5.让学生经历自主探索小数乘法计算方法、理解算理和解释算法的过程，体会转化的数

学思想，初步培养学生学习的迁移能力和推理能力。

（二）内容安排及其特点

1.教学内容和作用

本单元的主要内容有：小数乘法、积的近似数、整数乘法运算定律推广到小数、运用小

数乘法解决简单的实际问题。内容编排结构如下表:

小数乘整数

小数乘小数

小

数

乘例6

法

推广

整数乘法运算定律推广到小数

例7

上述内容是在学生学习了整数的四则运算、小数的意义和性质以及小数加减法的基础上

进行教学的。由于小数和整数都是按照十进制位值原则书写，所以小数乘法的竖式形式、乘

1

的顺序、积的对位与进位都可仿照整数乘法的相应规则进行，只要处理好小数点就行了。因

此，本单元的编排注意加强与整数乘法的联系，以便引导学生将整数乘法的经验迁移到小数

乘法中来，提高学生的学习能力。止匕外，为了培养和提高学生解决实际问题的能力，教材安

排了估算和分段计费的两个例题，让学生在实际背景的问题中，学会收集信息，选择适合的

方法来解决问题。

2.教材编排特点.

（1）选择“进率是十的常见量”作为学习素材，引入小数乘法的学习。

对于五年级学生的生活经验而言，“元、角、分”“吨、千克、克”“米、分米、厘米”

是他们熟悉的计量单位。根据学生已有的这些知识基础，教材从丰富多彩的校内外活动中，

选择“买风筝，，（与元、角有关）、“刷油漆”（与米、分米和千克、克有关）的活动为背景，

引入小数乘法的学习。这样的学习背景，不但能激发学习兴趣，而且能促成学生利用常见的

计量单位之间的十进关系，顺利沟通小数乘法与整数乘法的联系，利于学生将新知纳入已有

的认知系统中。

（2）应用转化和对比的方法，概括小数乘法的计算方法。

小数的书写方式、进位规则均与整数相同，所以，教材紧扣两者的密切联系，引导学生：

①用转化的方法，将小数乘法转化为整数乘法。

②用对比的方法，处理积中小数点的位置问题。教材在例3的“做一做”后，采用对比

的方法，引导学生分别观察因数和积中小数的位数，找出它们之间的关系，然后利用这一关

系，准确找到积中小数点的位置。

③帮助学生按一定顺序概括小数乘法的一般计算方法。教学例3和“做一做”之后，在

让学生讨论、归纳的基础上，引导学生自主、有序地概括出小数乘法的计算方法。教材以记

录讨论结果的形式，呈现不完全的计算法则的文本，让学生在理解的基础上叙述或填写法则

的关键词。这样，既可以让学生了解计算法则的来源，理解其含义，防止死记硬背法则条文，

又起到促进学生对具体计算案例的特点进行总结、归纳、抽象、概括的作用，获得对小数乘

法的意义的体会和理解，教给学生探索、总结规律的数学学习方法。

④突破小数乘法中的难点问题。例4教学小数乘法中的难点问题：乘得的积的小数位数

不够，要在前面用0补足，再点小数点。

（三）教学建议

1.重点引导学生用转化的方法学习小数乘法。

由于小数乘法与整数乘法之间有着十分密切的联系，因此，教学时应紧紧抓住这种联系,

2

帮助学生将未知转化为己知。如，例2教学“0.72X5”时，引导学生思考；“能不能转化

为整数来计算？”引导学生经历将未知转化为已知的学习过程，同时获得用转化的思想方法

去探究新知的本领。

2.指导学生对小数乘法的算理作出合理的解释，提高简单的推理能力。

本单元学习过程中，学生感到困难的不是小数乘法计算方法的掌握，而是对算理的理解

和表述。因此，教学时应给学生提供充分的思考、交流的机会，帮助学生对计算过程作出合

理的解释。重点是引导学生从积与因数的关系出发，强调转化的思想、方法。如，例3教学

“2.4X0.8"时，应引导学生说出将因数2.4和0.8转化成整数，因数分别扩大到原来的

10倍，相应的积192就扩大到原来的100倍，所以要缩小到原来的高，也就是1.92。在理

解算理的基础上，引导学生讨论、交流，会正确表述，能正确计算。

3.组织学生讨论、归纳小数乘法的计算方法。

本单元教材重视引导学生讨论、归纳小数乘法的计算方法。在组织学生自主总结小数乘

法计算方法时，要特别突出两点：一是转化的方法，将小数乘法转化为整数乘法来算；二是

小数点的处理，也就是利用因数和积的大小关系来确定小数点的位置。

4.在解决实际问题的教学中，注重培养学生阅读理解的能力。

在解决实际问题时，要找出解决问题的方法，首先必须读懂题意，发现有用的信息，并

加以整理，也就是阅读理解题意的能力。

如，例8给出购买物品的单价和数量，这里信息和数据比较多，我们可以引导学生利用

表格来进行整理，以便清晰、直观呈现数据，特别是单价、数量和总价的数量关系，有利于

学生用估算解决问题。

又如，例9解决分段计费的实际问题中，重点是理解题意，特别是对收费标准的理解，

教学时可采用摘录条件或画线段图的方式帮助学生理解。

5.建议用9课时教学。

3

第二单元位置

（一）教学目标

1.结合具体情境，让学生能用数对（正整数）表示物体的位置。

2.让学生能在方格纸上用数对表示物体的位置。

3.让学生知道数对与方格纸上的点存在对应关系。

（二）内容安排及其特点

1.教学内容和作用。

“位置”的内容属于“图形与几何”领域的内容，是应学段目标“探索一些图形的位置

关系，了解确定物体位置的方法”的要求而设计编排的。本单元学习的是在具体的情境中根

据行与列这两个因素来确定物体的位置,继而学习用数对表示具体情境中物体的位置，同时,

学会在方格纸上根据数对确定物体的位置。初步渗透平面直角坐标系的思想，让学生体会数

对与平面上的点一一对应,也就是一个数对唯一对应平面上的一个点。具体编排情况如下表。

~|用数对表示具体情境中物体的席1例1

位置|—

一在方格纸上用数对确定物体的位置|例2

这一内容的学习是基于生活实际与现实的需要，以学生的学习经验为抓手，培养学生的

空间观念，同时为沟通位置与方向的联系（六年级上册学习根据方向和距离两个参数确定物

体的位置）以及第三学段“图形与坐标”的学习打下良好的基础。教材先从现实生活中的情

境引出用数对确定位置，逐步抽象到在方格纸（平面图）上学习用数对确定点的位置，体会数

对与点的一一对应关系，感知数对便于交流的价值。

2.教材编排特点。

本单元内容的编排是在学生一年级上册学习了用上、下、前、后、左、右确定位置，三

年级下册学习了用东、南、西、北等词语描述物体方向的基础上，进一步学习用数对确定物

体的位置。也为后面进一步学习“根据方向和距离两个参数确定物体的位置”和直角坐标系

打下基础。编排上主要有以下几个特点。

（1）从实际情境出发，帮助学生掌握用数对确定位置的方法。

学生在生活中已经能用“第几”描述物体的位置，还经历了类似用“第几排第几个”的

方式找到物体的位置，如教室里的座位、电影院的座位等,初步积累了用数表示位置的经验。

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教材充分利用并及时提升学生的这些已有经验。例1通过呈现确定多媒体教室中学生的座位

情境，引出本单元内容的学习，借助教师操作台上的学生座位图，迅速将实际的具体情境数

学化，抽象成在平面图上确定位置，并帮助学生理解如何用数对确定位置的方法。要注意，

这里用数对表示中先列后行的规定与直角坐标系中的坐标顺序一致。

同时.，教材为学生呈现了丰富的生活情境和实例，加深学生对“用数对表示物体位置”

的理解。一方面在“做一做”中让学生举出生活中确定位置的例子，另一方面在练习和“生

活中的数学”中联系国际象棋、围棋的棋盘，让学生确定棋子的位置。这样，使学生在熟悉

的生活情境中，通过自主探索和合作交流解决实际问题，掌握用数对确定位置的方法，初步

体会用数对表示位置便于交流的特点。同时，拓宽学生的视野，体会数学在生活中的应用。

(2)结合具体情境，初步感知直角坐标系的思想和方法。

结合熟悉的生活情境，让学生在具体情境中或方格纸上用抽象的数对表示物体的位置，

初步感知直角坐标系的思想，为后面“图形与坐标”的学习作好铺垫。

例如，例1学生根据张亮坐在教室的第2歹h第3行用数对(2,3)表示，初步建立与座

位示意图的对应关系，在同样的规则下，再次通过周明坐在教室的第1歹U、第3行怎样用数

对表示和给出数对确定位置的活动，加深数对与座位示意图行列的一一对应关系。这样的学

习过程有利于学生直观体会直角坐标系的思想。

例2更为直接地呈现了方格纸这一学生熟悉的材料，其中同样蕴含着直角坐标系的思想,

只不过没有明确表示出x、y轴。不同的是，例1中物体的位置相当于方格纸中的每个格子，

而例2进一步抽象为一个点，用方格纸上的格点(横线和竖线的交点)来表示。可以说，方格

纸是渗透直角坐标系的有效载体，借助方格纸来学习也是实践直观几何的重要手段。小学几

何的学习立足于直观几何，通过方格纸研究几何图形的有关特点和性质，获得几何活动经验，

发展几何直观，逐步培养学生推理的意识和能力。

(三)教学建议

1.充分利用学生已有的生活经验和知识基础，经历用数对表示位置的学习过程。

“用数对确定位置”的教学首先要建立在学生日常生活的感性经验积累的基础上，并依

据生活经验习得。学生在生活中已经具有大量用数对确定物体位置的经验，通过前面的学习

也获得了确定物体位置方面的许多知识。因此，在教学时应充分利用这些经验和知识为学生

提供探究的空间，让学生通过观察、分析、独立思考、合作交流等方式，将用生活经验描述

位置上升为用数学方法确定位置，发展数学思考，培养空间观念。

同时，在“用数对确定位置”的教学过程中应注重学生的自主探究学习，让学生经历表

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示物体位置的过程，体会用数对表示位置的简洁与有效。

2.适时渗透数形结合的思想和方法，感悟数对与位置的一一对应思想。

在本单元中，教材除了从数的角度刻画平面上点的位置，还特意安排了一些素材，渗透

数形结合的思想。例如，例2中表示大象馆和海洋馆的位置的数对分别是(1,4)和(6,4),

让学生发现这两个数对中数的特点，与这两个场馆在方格纸上的位置关系之间的密切联系。

练习五中的第7题,让学生发现图形平移后，位置变了，表示顶点位置的数对也相应地变了，

发现其中的规律。教师在教学中应充分利用这些素材，通过形来研究数的特点，通过数来呈

现物体的位置，在方格纸和用数对表示点的位置的方法之间架起了数与形的桥梁，使学生初

步体会数形结合的思想，这种数形结合的思想是也是今后研究和学习数学的重要手段。同时,

结合在方格纸上根据数对确定物体的位置的教学，让学生了解数对与方格纸上的点存在一一

对应关系。

3.建议用2课时教学。

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第三单元小数除法

（一）教学目标

1.使学生掌握小数除法的计算方法，能正确地进行计算；能根据算式特点，合理选择口

算、笔算、估算、简算等方法灵活计算。

2使学生掌握用“四舍五入”法截取商是小数的近似值，能根据实际情况合理运用“进

一法”和“去尾法”截取商的近似值。

3.使学生初步认识循环小数、有限小数和无限小数。

4.使学生能借助计算器探索规律，并应用规律解决问题。

5.使学生能应用小数除法及其他运算解决一些实际问题。

（二）内容安排及其特点

1.教学内容和作用。

本单元的主要内容有：除数是整数的小数除法、一个数除以小数、商的近似数、循环小

数、用计算器探索规律、解决问题。具体内容安排如下：

除数是整数的小数除法

小数乘小数

小

数

除

法

例7、例8

小数除法的学习，其必要性可以从三方面分析。其一，构建完善的运算体系，小数除法

的学习是整数、小数、分数、百分数四则运算中的重要组成部分；其二，解决日常生活中实

际问题的需要，现实中需要运用小数除法计算的实际问题十分丰富；其三，通过这一内容的

学习，提高计算能力，形成灵活选用合理方法解决问题的能力，同时发展数学思维。

小数除法计算方法的学习分两个步骤完成：“除数是整数的小数除法”和“除数是小数

的小数除法”。前者是后者的基础，后者是本单元的学习重点。因此，有必要让学生结合情

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境以及根据小数的意义，理解小数除法算理，熟练掌握算法。

“求商的近似数”“循环小数”则是关于“商”的进一步研究。通过“求商的近似数”

的学习，掌握用“四舍五入”法求近似数的方法，通过“循环小数”的学习，理解除法计算

中产生循环小数的原因，掌握“循环小数”“有限小数”“无限小数”的概念。最终形成灵

活处理“商”的意识和能力。

“用计算器探索规律”的学习，一方面，熟练计算器的运用：另一方面，培养学生观察、

比较、归纳、推理的思维能力。

“解决问题”让学生结合具体情境体会“进一法”“去尾法”取商的近似数的应用。

2.教材编排特点。

(1)结合具体情境，充分利用学生的生活经验和已有知识，引导学生自主探索小数除法

的计算方法。

小数除法计算方法的教学，体现了“基于情境、结合意义、探究获得”的基本思路。除

数是整数的小数除法，教材创设跑步情境，利用长度单位千米、米之间的关系，同时结合小

数的意义，帮助学生理解算理，探索“商的小数点”的定位方法；除数是小数的小数除法，

也是通过米和厘米的转换以及“商的变化规律”等已有知识，将其转化为除数是整数的除法

进行计算。可见，教材呈现了“算法掌握”和“算理理解”两者不可偏颇的教学取向。同时，

教材十分关注算法探究经验的积累，让学生逐步体会“将没有学过的知识转化为已经学过的

知识”的思想。

(2)重视计算方法的概括，给出计算法则的结语。

数学与数学学习都不可能“去结论化”。强调“数学活动”、突出“思维过程”“探究

过程”、重视学生的个性化表现，与抽象并概括结论、结语并不矛盾。因此，教材将原来不

出结语或通过学生对话形式将计算法则分解呈现的方式，改为在引导学生自主探究算法、概

括算法之后，给出计算法则的结语，如“计算除数是整数的小数除法要注意什么？”“计算

除数是小数的除法的计算法则”“求商的近似数的方法”等。因为，适当的结语是掌握算法、

指导计算操作所必须的，同时，让学生在概括方法的过程中，体会怎样表达更准确，更完整，

本身就是一种思维活动、一种学习过程。如，例2后“计算除数是整数的小数除法要注意什

么？”可以引导学生总结为：①按照整数除法的方法去除，商的小数点和被除数的小数点对

齐。②如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数末尾添0再继续除。

(3)练习、例题的设计既有巩固，又有铺垫。

教材充分体现“整体把握，长程设计”的思想。表现在，练习、例题既是已经学习内容

8

的巩固，同时，又为后续学习作有益的铺垫。如，学完“除数是整数的小数除法”之后，练

习六中安排了第12题。一方面，巩固除数是整数的小数除法计算；另一方面，观察表格，

揭示了“商不变性质”，为随后学习除数是小数的除法作了很好的提示与承接。又如，”用

计算器探索规律”例9,是商为循环小数的一组算式，这样，既巩固了“循环小数”的学习，

又体会了用计算器探索规律的应用。

(4)重视解决问题的一般过程，循“认知序”定“教学序”。

这是''解决问题”编写的意图。以例10为例，呈现“阅读与理解”“分析与解答”“回

顾与反思”的结构思路，体现了“解决问题”的基本步骤，让学生经历“整理信息一分析关

系一一列式计算检验反思”的全过程。

解决问题的一般过程，既是学习目标，也是认知过程，同时也提示了教学过程。教材引

导学生思考：“你知道了哪些信息？”

“包装17个礼盒，丝带够吗？”“在解决实际问题时，要……”通过这样的思考与概括，

展现教学的基本脉络与思路，实现认知过程与教学过程的有机统一。

(三)教学建议

1.以解决问题为载体，探究算理，“循理入法，以理驭法”。教学时，可以发挥解决问

题对计算两个方面的促进作用。

(1)计算以解决问题为载体引出，感受“为什么计算”。

如例1,在教学中，需要引导学生思考：为什么用除法计算？因为“路程+时间=速度”，

求平均每周应跑多少米，所以算式为“22.4+4”，从而引出“小数除法”的学习内容。以

“用”引“算”，体现了学习此内容的必要性。

(2)计算方法以解决问题为支撑，理解“怎样计算”。

以例4教学为例，“编一个中国结用0.85m,这里有7.65m丝绳,可以编几个中国结”,

必然有学生想到将“米"转化为“厘米”来计算，将问题“转化为765里面有几个85”来

解决；也有学生会想到“利用商不变性质，被除数、除数同时扩大到原来的100倍”这种方

法。我们可以引导学生继续思考：这两种方法有联系吗？学生会发现这两种方法都是“将除

数是小数的除法转化成除数是整数的除法”.“怎样算”与“为什么这样算”有机融合，也

体现了计算法则教学重视“循理入法，以理驭法”的理念。学生并不只是盲目地记住怎样操

作，而是充分理解算理之后的算法概括。

2以计算教学为媒介，提高解决问题能力，“以算促用，以算强用”。

教材没有单纯的解决问题章节，只有一个例题(例10)为问题解决，但并不等于我们可

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以忽视或放松对学生解决问题能力的培养。解决问题的能力包括“收集提取信息”“分析数

量关系”“具有解决问题的方法策略”等。围绕这些能力的培养，我们可以从以下几个方面

入手。

(1)在小数除法计算的新知教学中，经历解决问题的全过程，重视数量关系的分析。每

一个例题的教学，其实都可以理解为“计算”与“解决问题”两个目标并重的达成过程。引

出算式的过程，同时也是学生经历“解决问题”的过程，均需要思考：

“告诉我们什么，要求什么？”一一收集信息，明确条件问题；

“怎样列式，为什么？”一一分析数量关系；

“怎样计算？”一一实施解答；

“这样做对吗？方法是怎样的？”一一回顾总结反思。

在“以用引算”中，让学生经历解决问题的过程。其中，尤其需要关注的是数量关系的

分析。例题引出算式，需要讨论用什么方法计算，这就有必要分析已知量之间、已知量与问

题之间的关系，再选择算法。这个过程，就是在不断地积累具体的数量关系。如：“一共的

路程+周数=每周跑的千米数”“一共的千米数+天数=每天跑的千米数”“一共的米数

・每个中国结的米数=中国结的个数”“羽毛球的总价个个数=每个羽毛球的价格”……

这些数量关系的积累，为分析问题提供了必要的基础。数量关系熟练了，就可以迁移到其他

的、更复杂的问题解决中。

(2)在计算的巩固应用中，加强解决问题的思路指导。

不能仅在解决问题的例题教学时才关注解决问题的过程指导与策略指导。练习中安排了

大量小数除法的巩固应用，有些是一步计算的，有些是两、三步计算的。这些应用练习，不

能仅满足于让部分学生列出算式，然后解释每一步表示的意义。事实上，“明白每一步计算

表示什么"不能替代“怎样一步步从条件和问题思考的"解题思路指导。教学中，需要对那

些“看到问题无从下手，不知道是怎样解决”的学生有一定的思路指导。

因此，有必要引导学生有条理地表达思路，如，”先……再……””根据……可以知

道……”。一方面，可以提高思考的条理性；另一方面，也是对有困难的学生进行有益的示

范与引导。如：如第27页练习六第11题，我们可以将问题“上山速度、下山速度各是多少”

改为“上山速度比下山速度慢多少”。题目为：

双休日爸爸带小勇去登山。从由脚到山顶全程有7.2km,他们上山用了3小时，下山

用了2小时。上山速度比下山速度慢多少？

我们可以引导学生采用这样的分析方法(如图):

10

问题上山时速比下山慢多少

解决这个问题需要上山时速、下山时速

知道哪两个信息？

这两个信息知道了吗？都不知道

------先求不知道的下山时速7.24-2

上山时速7.24-3

当然，我们也可以引导学生从条件出发分析数量关系，直至问题解决。

3.重运算技能的形成，更重运算能力的培养，“夯实基础，发展思维”。

能够按照一定程序进行运算，称为运算技能。不仅能正确地进行运算，而且理解运算的

算理，能够根据具体的运算条件寻求合理简洁的运算途径，称为运算能力。可以理解为运算

能力不仅是数学操作技能，更是一种数学思维能力。学生应知道“该怎样算”，更应思考并

解决“为什么这样算”“还可以怎样算”“怎样算更好”等一系列问题。

运算技能的形成与运算能力的培养，可以从两方面着手。

（1）着眼要点、针对难点，夯实计算.

学完小数除法后，学生计算“0.63+0.6”的正确率较低，错误主要有两方面。第一，

商的小数点位置不对（如图1）。例题中没有单独安排“被除数比除数小数位数多”的类型，

只是在“做一做”中以练习形式出现，而且将被除数、除数的位数多少的三种情况安排在一

节课中对一些学生来说掌握起来可能有困难。第二，商中间的0漏掉（如图2）。商中间有0

的除法仅在三年级“除数是一位数的除法”时出现过，而四年级”除数是两位数的除法”受

到计算步数的制约，避免计算的繁杂，没有将“除数是两位、商是三位”作为教学要求，因

此，商中间有0的除法基础是薄弱的。基于这两个原因，教学中，一方面需要关注要点，重

视“除数位数与被除数的小数位数不同”这一除法类型；另一方面，需要加强商中间有0

的除法的铺垫与练习，以弥补薄弱，突破难点。

11

10.51.5

06346）仅6.3

66

TFru

3030

-0-0

图1图2

(2)灵活选择、优化策略，发展思维。

运算能力中，“根据计算的具体情况，自觉地判断、选择算法”是重要的维度。这一意

识与能力的形成，是不断经历、不断反思、不断沉淀的结果。

教学时，一方面，要善于挖掘内涵，捕捉教材例题、练习中关于此能力培养的契机；另

一方面，则需要精心设计有关选择策略、发展思维的问题。

首先，挖掘教材内涵，灵活选择算法。

教材中有不少练习，如果仅以计算出正确答案为主要目的，则大大流失了其“意识与能

力培养”的价值。如:第37页第11题，“42・28”“2.5X3.6”“19.8+3.3”“18X0.45”，

这些题目，允许学生根据法则正确列竖式计算之外，还应进一步引导思考：有更简洁的方法

吗？可以引导学生将“42・28”的被除数、除数同时除以7,转化为“6+4”,则可以用口

算得出结果；“2.5X3.6”运用乘法结合律转化为“2.5X4X0.9”，计算则大大简便；将

“19.8+3.3"转化为“6.6+1.1”，将“18X0.45"转化为"9X(2X0.45)”则可以降低

计算的繁杂程度。显然，这是培养学生计算灵活性的极好素材，教材的题目要求中没有给出

“怎样简便怎样算”的指向，也正可以真实地反映学生思维的灵活程度。通过对不同学生不

同方法的比较，凸显“灵活选择方法意识”的重要性。

这样的意识培养应贯穿于除法计算的始终，如：756+14=108+2；20.4+24=

5.14-6811.44-1.5=22.84-3o根据数据的特点,利用商不变性质，使复杂的计算变得简单。

其次，开发设计练习，优化解决策略。

除了很好捕捉利用教材的题目之外，我们可以设计一些用多种计算方法、多种运算形式、

多种解决策略来解决的练习，将口算、笔算、估算、简算相互融合，从而优化策略，发展思

维。如：

选择自己认为最好的方法，比较下列各题商的大小，说说你是怎样想的。

12

①2.16+0.25②8.64+1.2③8.64+0.99

解决这一问题时，算法的选择至关重要。计算第①题“2.16+0.25”，可以简算，

“(2.16X4)+(0.25X4),结果为&64；第②、③题比较可以根据除数是否大于1确定商

与被除数的大小。这样，口算、估算、简算、规律的融合，使问题巧妙解决。

同样，我们也可以设计重视估算的练习.如：

下列式子中，商大于5的是第()题，商小于3的是第()题。

①5.24+0.85②8.75+4.2③5+1.1@34-1.1⑤16.45+2.8

引导学生根据除法意义、除数是否大于1的规律等方法进行估算。如:第①题5.244-0.85,

除数小于1，商大于被除数5.24,大于5；第②题先看8.75+4,商也只有2多一些，所以

原题的商小于3；第③题5+1.1,除数大于1,所以商小于5,另外5+1.1=50+11,估计

4多一些,大于3；第④题34-1.1,除数大于1,商小于3；第⑤题16.45+2.8,即使16.45+3,

商也会大于5。

这样，方法的选择、估算能力的培养、思维灵活性的发展都融于其中。而这样的能力形

成不是一蹴而就的，是一个不断积累、不断反思、不断沉淀的过程，因此，教师应将“努力

开发设计有策略空间的问题”这一意识，贯穿于日常教学的每节课中。

4.建议用11课时教学。

13

第四单元可能性

（一）教学目标

1.在具体情境中，通过现实生活中的有关实例使学生感受简单的随机现象，初步体验有

些事件的发生是确定的，有些是不确定的。

2.通过实际活动（如摸球），使学生能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。

3.通过试验、游戏等活动，使学生感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一

些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能和同伴进行交流。

（二）内容安排及其特点

1.教学内容和作用。

对于纷繁的自然现象与社会现象，如果从结果能否预知的角度出发去划分，可以分为两

大类。一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这

类现象称为确定现象。例如，抛一个石块，可预知它必然要下落；在标准大气压下且温度低

于0C时，可预知冰不可能融化。另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出

现哪种结果是无法事先确定的，这类现象称为随机现象或不确定现象。例如，掷一枚硬币，

我们无法事先确定它将出现正面还是出现反面。在现实世界中，严格确定性的现象十分有限,

不确定现象却是大量存在的，而概率论正是研究不确定现象的规律性的数学分支。

本套教材从第二学段开始安排“概率”的学习，并且根据学生的年龄特点，第二学段称

为“随机现象发生的可能性”，第三学段称为“事件的概率”。因此，本单元知识内容的学

习对学生后续概率知识的学习有很重要的作用。

本单元内容结构如下。

例1

例2

例3

在具体编排上，本单元的教学内容分为两个层次。

一是初步感受随机现象中数据的随机性（例1）。在概率学习中，帮助学生了解随机现象

是非常重要的。教科书第44页呈现了学生熟悉的“联欢会上抽签表演节目”的场景来引入

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例1的学习，通过小丽、小雪、小明三位同学抽签的活动，使学生在具体情境中体验事件发

生的确定性和不确定性，感受在相同的条件下重复同样的试验，其试验结果不确定，以至于

在试验之前无法预料哪一个结果会出现。

二是在不确定的基础上体会随机现象的统计规律性(例2、例3)。随机现象虽然对于个

别试验来说无法预知其结果，但在相同条件下进行大量重复试验时，却又呈现出一种规律性,

我们称它为随机现象的统计规律性。由于小学生的年龄和思维特点，他们一般只能在感性的

层面理解概率的知识。因此，教科书第45页例2,通过讨论“摸出一个棋子，可能是什么

颜色”，使学生在活动中进一步认识简单试验所有可能发生的结果，并通过“重复20次”

的试验统计，初步感受随机现象的统计规律性，知道事件发生的可能性是有大小的。例3

通过让学生根据摸球试验的统计结果来推测袋中何种颜色的球多，进一步深刻体会随机现象

的统计规律性。

练习十一中的练习形式多样，层次分明，通过“说一说”“掷一掷”“连一连”“涂一

涂”“猜一猜”“填一填”等活动，为学生提供了积极思考、动手实践和合作交流的空间，

有利于学生更好地理解本单元所学知识。

需要说明的是，在义务教育阶段，所涉及的随机现象都基于简单随机事件，即所有可能

发生的结果是有限的，每个结果发生的可能性是相同的。

2.教材编排特点。

本单元教材在编排上有以下特点。

(1)运用数据分析来体会随机性，强调对可能性大小的定性描述。

关于“可能性”这一内容，原来的实验教材分两次进行了集中编排。第一次是在三年级

上册，主要是让学生初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的，知道事件发生

的可能性是有大小的。第二次在五年级上册，使学生对“可能性”的认识和理解逐渐从定性

向定量过渡，学会用分数描述事件发生的概率。

但教学实践表明，第一学段学生理解不确定现象有难度，不容易理解事件发生的可能性。

另一方面，在小学阶段设置简单的“概率”内容，主要是为了培养学生的随机思维，让其学

会用概率的眼光去观察大千世界。因此，在可能性知识的教学中，应加强对学生概率素养的

培养、增强学生对随机思想的理解、使学生充分感受和体验简单随机现象中数据的随机性，

能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，而不要把丰富多彩的可能性内容

变成了机械的计算和练习。鉴于此，在这次课程标准修订中，学生在第一学段中将不再学习

概率，将不确定现象的描述后移到第二学段，对于随机性的学习，也提出运用数据分析来体

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会随机性，并且强调对可能性大小的理解，而不是对可能性本身的理解，使这部分内容更具

可操作性，符合小学阶段学生学习的特点。

（2）提供丰富的现实学习素材，促进数学知识的理解。

学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。

所谓“经历”，是指“在特定的数学活动中，获得一些初步的经验”。因此，要“经历”就

必须有一个现实的活动情境,让学生在熟悉的情境中，联系自己身边具体的事物，通过观察、

操作、解决问题等丰富的活动，感受数学知识的含义，认识数学与生活的密切联系。

本单元教材注意体现这一理念，不仅利用丰富多彩的呈现形式，为学生提供现实的、有

趣的学习素材，同时注意所设计的教学活动能使学生经历知识的形成过程。首先，教材选取

学生熟悉的生活情境作为教学素材，以“联欢会上抽签表演节目”（例1）、大量的活动（做

一做、例2）等来丰富学生对不确定现象的体验，使学生初步了解现实世界中存在着的不确

定现象，并逐步知道事件发生的可能性有大有小。其次，教科书中设计了多种不同层次的、

有趣的活动和游戏，如摸棋子试验、涂色活动、抽签游戏、抛硬币、掷骰子等，这些活动都

特别注意联系‘学生的生活实际，不但便于教师组织教学，更使学生在大量观察、猜测、试

验、思考与交流的数学活动中，逐步丰富对随机现象和可能性大小的体验，经历知识的形成

过程。再次，教科书第49页编排了“生活中的数学”，一方面可以加深学生对所学数学知

识的理解，另一方面也使学生感受到可能性知识与生活的联系，有利于培养学生的应用意识。

（3）注重方法的指导和知识的整理。

要体验随机现象中数据的随机性，就要求学生在进行相关试验活动或游戏活动时必须遵

守一定的规则，例如摸球时不能看着球摸，也不能摸完一次后不摇匀球就接着摸，这样都不

能很好地体现随机性。教科书在相关例题及习题中明确提出了“放回去摇匀再摸”“按要求

涂一涂”“随意摸一张”等要求，对学生的试验和游戏活动进行方法的指导，使学生能更好

地体验数据的随机性。

另外，本单元虽然内容较少，但仍然编排了“成长小档案”这一内容。通过“本单元结

束了，你有什么收获？”一问，帮助学生回顾和梳理对可能性的认识，并通过两位学生的表

达“根据可能性的大小来涂色很有意思”“生活中经常会遇到可能性的问题”来感受数学

与生活的紧密联系，激发学习的兴趣。

（三）教学建议

1.重视学生的经验和体验，创设贴近学生实际的问题情境。

对于不确定性现象和可能性，第二学段的学生在生活中已经有了一定的经验和体验。在

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教学中，不管是在学生熟悉的生活情境还是感兴趣的游戏活动中（如掷硬币、玩转盘、摸卡

片等），教师都应注意创设各种问题情境，充分调动学生的主动性和积极性，鼓励学生亲自

动手试验，在试验中体验事件发生的可能性，让学生在具体的操作活动中进行独立思考并主

动与同伴交换自己的想法，引导学生在观察、猜测、试验与交流等数学活动中，充分感受和

体验不确定现象和事件发生的可能性，经历知识的形成过程。

2.引导学生收集和积累不确定现象和可能性的例子。

修订后的教材中，本单元是学生第一次正式学习“概率”，因此，提供丰富的随机现象

实例，无疑能有效地促进学生充分感受和体验不确定现象和事件发生的可能性。教学本单元

时，教师应鼓励学生在课前、课中、课后收集和积累一些教材上和生活中遇到的不确定现象

的例子，并引导学生进行展示交流。例如，现在很多超市或商店在节假日时都会设计一些摸

奖和转盘游戏，教师可以把它们引人到课堂教学中，组织学生交流、思考，引导学生正确的

认识生活中的一些现象。

3.组织开展简单的实践活动，培养学生的应用意识。

为了培养学生主动发现生活中的数学问题并能有意识利用所学数学知识进行解释和解

决的能力，增加了核心概念——应用意识。但课堂教学由于时间和空间的限制，对于培养学

生应用意识的作用是有限的，所以在教学本单元时教师可以适当地设计一些简单的实践活动

（如为班级或学校元旦联欢会设计一个摇奖转盘等），将课内外学习结合起来，使学生感受数

学与生活的联系，从而培养学生的应用意识。

4.把握好教学要求。

本单元主要是让学生对随机现象“初步体验”和“感受”，因此，教师在引导学生感受

“确定事件”“不确定事件”以及“事件发生的可能性大小”时，只要让学生能够结合具体

的问题情境，用“一定（肯定）”“不可能”"可能"''经常”“偶尔”等词语来描述事件发

生的可能性就可以了，不必要求学生使用有关术语进行解释，也不必要求学生求出可能性的

具体大小。

5.建议用3课时教学。

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掷一掷

(一)教学目标

1.通过本次活动，使学生亲身经历观察、猜想、试验、验证的学习过程，综合运用所学

知识来探讨事件发生的可能性大小。

2.结合实际情境，培养学生提出问题、分析和解决问题的能力。

3.通过应用和反思积累数学活动经验，感受成功的体验，提高学生学习数学的兴趣。

(二)内容安排及其特点

1.教学内容和作用

本实践活动以游戏的形式探讨可能性的大小。使学生在经历观察、猜想、试验、验证的

过程中，综合利用所学的知识，探讨事件发生的可能性大小。

教材以连环画的形式来展示活动的过程。从知识内容上看，整个活动分为以下三个层次。

(1)组合。

教材通过让学生同时掷两个相同的骰子(六个面上分别写着数字P6),把两个朝上的数

字相加，看和可能有哪些情况，这是一个“组合”问题。根据前面所学的“组合”知识，学

生可以把两个数字相加的和的所有情况列出来。

(2)事件的确定性与不确定性。

在上面的所有“组合”中，最小的和是1+1=2,最大的和是6+6=12,所以，两个数

的和是2,3,4,…，12都是可能发生的事件，但不可能是1和13,这是一个确定事件。

(3)可能性的大小。

虽然掷出的两个数的和可能是2,3,4,…，12中的任一个数，但发生的可能性大小是

不同的。教材通过游戏的方式，让学生在试验、统计活动中体会随机现象的统计规律性，由

于这里还不要求学生用分数表示每个和的确切“概率”，只是通过试验、统计来感受可能性

的大小。分四步进行。

第一步，明确游戏规则，初步猜测。

首先，教师提出规则，学生猜想结果。可能掷出的结果共有11个，教师选择了其中的

5个，而学生可选的有6个，所以学生认为自己赢的可能性比老师大。这里，教材设置了一

个悬念，为学生进行猜想提供了充分的空间。

第二步，教师和学生示范游戏。

接下来，开始游戏。通过对游戏结果的统计，学生发现与自己原先的猜想并不一致，从

而产生认知冲突，为学生进一步自主探索提供了可能。在这里，教材使用了画“正”字的方

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法收集数据，可以使学生进一步认识统计在解决问题中的应用。

第三步，学生小组内游戏，进一步验证。

通过示范游戏，学生已经掌握了游戏的规则和数据收集的方法。接下来，学生两人一组，

轮流掷，并直接根据掷出的结果画出条形统计图。从图中可以更加直观地看出掷出的和在2

至12中间位置的次数比较多，而两边的次数较少，从而体会掷出的和在中间的可能性比较

大，在两边的可能性比较小。

第四步，理论验证。

以上通过试验、统计的方法感受掷出哪些和的可能性大，哪些和的可能性小，它背后蕴

含着怎样的规律和奥秘呢？需要学生进一步的研究。教材最后提问题：“从图中你发现了什

么？小组间互相交流一下启发学生利用“组合”的知识来探讨掷出各种和的可能性大小。

由上可以看出，本活动通过让学生经历猜想、试验、验证等过程，让学生在问题情境中

自主探索，解决问题，既发展了学生的动手实践能力，又充分调动了学生的学习兴趣。

2.教材编排特点.

(1)结合学生的认知特点，以游戏的形式引发学生探索现象背后奥秘的兴趣。

课程标准指出，课程的设计应“充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知

规律和年龄特点，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考”。在学生学完“可能

性”后，利用学生熟悉的骰子，设计“掷一掷”的游戏探讨可能性的大小，蕴含了从纷繁芜

杂的现实素材中找出最本质的数学模型，让学生经历将生活问题“数学化”的过程，有助于

提高学生的逻辑思维能力。教材在提供丰富活动素材的同时，加强了问题情境的创设。如创

设了“它们的和可能有哪些呢？”“怎么又是老师赢？”“从图中你发现了什么？”这些

有趣、富有启发的问题情境，激发学生探究现象背后奥秘的兴趣。

(2)留给学生充分自主探索和交流的空间。

“综合与实践”是实现“积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识”的重要和

a效的手段。教材在呈现教学内容和过程时，不但体现知识的形成过程，而且给学生充分自

主探索和交流的空间，并不直接给出结论，为学生富有个性的思考和创造性的解决问题提供

可能。老师为什么总是赢？和的可能性大小究竟有怎样的规律？在这些思考性较强的问题的

引领下，激发学生通过猜测、试验、发现、讨论、验证、交流获得方法，形成结论。让学生

在自主探索的过程中，综合应用所学知识去解决问题，并通过活动获得自己成功、能力增强

的良好体验，在与他人的合作交流中，得到认同和赞赏，从而逐步增强学好数学、用好数学

的信心。

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（三）教学建议

1.根据学生的实际情况，选择适当的方式开展游戏。

教学时，可以参考教材上的活动顺序，先由老师示范游戏，然后让学生自主活动。也可

以由教师提出问题：“同时掷两个骰子，得到的两个数的和有哪些？哪些和出现的可能性大？

哪些和出现的可能性小？”放手让学生去探索。可以启发学生先采用试验的方法试一试，再

用“组合”的知识来验证。还可以用讲故事来揭穿骗术的方式开始：社会上经常有这样一些

赌博游戏，拿两个骰子，掷一次，看掷出的点数，如果是5、6、7、8、9,就算庄家赢，否

则就是别人赢，结果往往是庄家赢得多。实际上这只是一个小小的骗术，只要有一点数学知

识，就能揭开这个骗局了，然后引导学生去探索其中的奥秘。总之，可以根据学生的实际情

况，选择适当的方式开展游戏。

2.让学生充分经历猜想、试验、验证的过程，引导学生以恰当的方式表达探索思路。“综

合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。活动过程中，要让学

生充分经历猜想、试验、验证的过程。本活动可以让学生先通过有限次的试验，对结果有一

个初步的猜想，然后通过相对严密的“数学化”的过程，自己得出正确的结论。例如，让学

生思考掷出的和有多少种可能性之前，可以先让学生掷一掷，看看能掷出哪些和，然后，引

导学生利用“组合”的知识，说一说可能得到哪些和，为什么不可能是1和13。当学生通

过统计有限次数的试验结果（条形统计图），看到掷出的和在2至12的中间位置的可能性比

较大，而在两端的可能性比较小时，教师就要引导学生从“组合”的角度去思考原因，使学

生理解这种结果的出现不是一种偶然现象，而是由各种组合的多少决定的。学生利用“组合”

知识来验证实验结果时，也可以采用不同的方式直观地呈现结果。如：

骰112123123412345

子1

骰121321432154321

子2

和23456

骰123456234563456

子1

骰654321654326543

20

子2

和789

骰456566

子1

骰654656

子2

和101112

其他1+6

1+52+52+6

1+42+43+43+53+6

1+32+33+34+34+44+54+6

1+22+23+24+25+25+35+45+55+6

1+12+13+14+15+16+16+26+36+46+56+6

和23456789101112

上表列出了和的所有可能性，从表中可以直观地看出和出现的次数，从而明白为什么老

师选择的5个和出现的次数比学生选择的6个和出现的次数要多，所以老师赢的可能性会大

一些。教师还可以启发学生用更简洁的求和的表格来呈现结果。

3D57

357

5a79

579

7a911

7911

3.建议用1课时教学。

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第五单元简易方程

（一）教学目标

1.使学生初步认识用字母表示数的作用，发展符号意识，能够用字母表示学过的运算定

律和计算公式，能够在具体的情境中用字母表示常见的数量关系。初步学会根据字母所取的

值，求含有字母式子的值。

2.使学生初步了解方程的作用，初步理解等式的基本性质，能用等式的基本性质解简易

方程，初步体会化归思想。

3.使学生感受数学与现实生活的联系，初步学会列方程解决一些简单的实际问题，获得

数学建模的初步体验。培养学生根据具体情况，灵活选择算法的意识和能力。

（二）内容安排及其特点

1.教学内容和作用。

本单元的主要学习内容是用字母表示数和解简易方程，以及简易方程在解决一些实际问

题中的运用。

这些内容是在学生学了一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及其应用），已初步接

触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用。、△或□表示数）的基础上，进行学习的。

用字母表示数是数学表达和进行数学思考的重要形式，方程是一类事物普遍适用的数学

模型，在初等代数中占有重要地位。中小学生在学习代数的整个过程中，几乎都要接触这方

面的知识。一般地说，在小学教学简易方程有以下几方面的作用。

一是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生的数学语言与符号意识。儿童从具体的

量（三个人、四只兔）抽象出数（3、4）,是认识上的一次飞跃。由于每个数都是确定的，因此

学生还比较容易接受。现在从确