人教版九年级数学第28章锐角三角函数试题汇编(含答案)

三角函数

一、选择题

1.已知一个坡的坡比为力坡角为出则下列等式成立的是（）

A.i=sinaB.i=cosaC.i=tanaD.i=cota

2.如图，小雅家（图中点。处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点/处）在她

家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离48是（）

A.250mB.250V5mC.乎百mD.250V2m

3.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos/B的值为（）

rTTTTT\'l

卜++++卢

卜+++/T

F++X/+H

F+TMA+H

4.如图，RtAABC中，44=90。，ADJ.BC于点D,若BD:CD=3:2,则tanB=()

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5.如图，4B是。。的直径，C0是乙4cB的平分线，交。。于点。，过。作。。的切线交CB的

延长线于点E.若AB=4,NE=75。，则CD的长为（）

A.V3B.2C.2V3D.3V3

6.小明沿着坡度为1:百的坡面向下走了2米，那么他下降高度为（）

A.1米B.遮米C.2百米D,竽米

7.如图，△ABC内接于。。，是。。的直径，CE平分乙4cB交。。于点E,30°,交

48于点。，连接4E,则，4比5.0£的比值为（）

BTD.1

8.如图，线段48=4,C为线段上的一个动点，以AC,BC为边作等边△4CD和等边△BCE,

O0外接于△CDE,则O0半径的最小值为（）

R2代

A.4C.挈D.2

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9.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

D•雪

c考

10.如图，PA,PB是。。的两条切线，A,B为切点，C为优弧84上一动点.若。A=15,

sinC=\,则的值为（）

A.108B.150C.300D.192

11.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27。,

（tan27。"0.51）此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）

*、、太阳光线

、

___________27、

水平线

A.24米B.20米C.16米D.12米

12.如图，已知第一象限内的点4在反比例函数y的图象上，第二象限内的点B在反比例函数

丫=：的图象上，且。41。3,cos4=苧，则k的值为（）

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y

A.-3B.-4C,-V3D,-2V3

13.因为sin30°=g,sin210°=-|,所以sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°；

因为疝45。=乎,sin225°=-亨,所以sin225°=sin(180。+45°)=—sin45°,

由此猜想、推理知：一般地当a为锐角时有sin(18(T+a)=-sina,由此可知：sin240。=

()

A.-iB.-yC.-yD.-V3

14.如图，在平面直角坐标系中，等边△O/IB的边OB在x轴正半轴上，点4(3,m),m>0,点D,

E分别从8,。以相同的速度向。，4运动，连接AD,BE,交点为F,M是y轴上一点，则

FM的最小值是()

A.3B.V3+1C.2^3-2D.6-273

15.如图，等边△ABC的边长为3,F为BC边上的动点，FD14B于点£),/^•14(：于点心则

DE的长为()

BF

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A.随产点运动，其值不变

B.随尸点运动而变化，最大值为J

C.随F点运动而变化，最小值为］

4

D.随产点运动而变化，最小值为称百

16.将含有30°角的直角三角板。48如图放置在平面直角坐标系中,08在x轴上，若04=2,将

三角板绕原点。顺时针旋转75。，则点力的对应点A的坐标为（）

A.(V3,-1)B.(1,-V3)C.(V2,-V2)D.(-V2.V2)

17.在平面直角坐标系中，正方形&B1QD1，。止止2&,A2B2C2D2,D2E3E4B3,4383c3。3，…，

按如图所示的方式放置，其中点以在y轴上，点Ci，Ei，E2,C2,E3,%,C3,在x轴

上，已知正方形44的。1的边长为1,4当的。=60。，&Ci〃82c2〃B3c3,…，则正方形

^2015^2015^2015^2015边长是（）

A-©"14C.(铲DG户4

B.

18.如图1,点E为矩形ABCD边4D上一点，点P,点Q同时从点8出发，点P沿BETEDT

DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s,设P,Q出发

t秒时，的面积为y（cm?）,已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线。”为抛物线

的一部分），则下列结论：

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®AD=BE=5cm；②当0<t45时,y=|t2;③直线NH的解析式为y=—（t+27；④若

△4BE与相似，则t=§秒，

其中正确结论的个数为（）

19.如图，直径AB,C。的夹角为60。.P为的。。上的一个动点（不与点4,B,C,。重合）PM,

PN分别垂直于CD,AB,垂足分别为M,N,若。。的半径长为2,则MN的长（）

A.随P点运动而变化,最大值为四

B.等于6

C.随P点运动而变化,最小值为旧

D.随P点运动而变化,没有最值

20.如图，在矩形ABC。中，AB=8,BC=12,点E是BC的中点，连接4E,将沿4E折

叠，点B落在点尸处，连接FC,则sin“W=（）

A3

A.-cD

4ii

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二、填空题

21.计算cos60°=.

22.己知一斜坡的坡度i=1:2,高度在20米，那么这一斜坡的坡长约为米.（精确到0.1

米）

23.如图，轮船在4处观测灯塔C位于北偏西70。方向上，轮船从4处以每小时20海里的速度沿南

偏西50。方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25。方向上，

则灯塔C与码头B的距离是海里.（结果精确到个位，参考数据：V2«1.4,

V3«1.7,V6«2.4）

24.如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物ZB的高度，一测量人员在该建筑物附近

C处，测得建筑物顶端4处的仰角大小为45。；随后沿直线BC向前走了100米后到达。处，在

D处测得A处的仰角大小为30。，则建筑物AB的高度约为米.（注：不计测量人员

的身高，结果按四舍五入保留整数；参考数据：V2«1.41；V3«1.73）

25.如图，直线AB与半径为2的。。相切于点C,。是。。上一点，且NEDC=30。，笠EF//AB,

则EF的长度为.

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26.tan60°=

27.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部Z的仰角为45。，测得大树48的底部

8的俯角为30。，已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为.m（结果保留根号）.

28.我国海域辽阔，渔业资源丰富.如图，现有渔船8在海岛4,C附近捕鱼作业，已知海岛C位

于海岛4的北偏东45。方向上.在渔船B上测得海岛4位于渔船B的北偏西30。的方向上，此

时海岛C恰好位于渔船8的正北方向18（l+K）nmile处，则海岛A,C之间的距离

为.nmile.

29.如图，一次函数y=x—2的图象与反比例函数y=：（k>0）的图象相交于A,8两点，与x轴

交于点C,若tanN40C=,,则k的值为.

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y

rx

30.如图，乙4。8的边OB与x轴正半轴重合，点P是。4上的一动点，点N（3,0）是08上的一定点,

点M是。N的中点，/.AOB=30°,要使PM+PN最小，则点P的坐标为.

31.如图，在△48C中，AB=AC=2,乙4=90。，点P为8c的中点，点E,F分别为边4B,AC

上的点，若4EPF=45。，Z.FEP=60°,贝I]CF=.

32.全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部

B处的俯角为18。46,测得塑像顶部4处的仰角为45。，点。在观测点C正下方城墙底的地面

上，若CO=10米，则此塑像的高48约为米（参考数据：tan78012Z4.8）.

A

|申苴二

BD

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33.在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度.如图，河岸EFIIMN,小聪在河岸MN上

点4处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河

对岸电线杆。位于北偏东30。方向，此时，其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河

的宽度为米.（结果保留根号）

34.如图，ABAC=60^半径长为1的圆。与Z8AC的两边相切，P为圆。上一动点，以P为圆心,

PA长为半径的圆P交射线AB,4C于D,E两点，连接DE,则线段DE长度的最大值

为.

35.--艘观光游船从港口A以北偏东60。的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事

故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北

偏东30。方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约

为小时（用根号表示）.

C丽船）

36.如图，在AABC中，AB=AC=10,点。是边8c上一动点（不与8,C重合），乙4DE=

zB=a,DE交4C于点E,且cosa=也下列结论：®^ADE^A/1CD：②当8。=6时，

△48。与40。£全等；③ADCE为直角三角形时，8。为8或g；®0<CE<6.4.其中正确

的结论是.（把你认为正确结论的序号都填上）

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fa

37.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶4的仰角为30。，然后向山脚直行100米

到达C处，再测得山顶4的仰角为45。，那么山高4。为米（结果保留整数，测

角仪忽略不计，V2»1.414,V3=1.732）

38.如图，小明在大楼30米高即（PH=30米）的窗口。处进行观测，测得山坡上4处的俯角为

15°,山脚处的俯角为60。.已知该山坡的坡度i（即tan/ABC）为点P,H,B,C,A

在同一个平面上，点”、B、C在同一条直线上，且PHJ.HC,则4到BC的距离为（）

米.

39.在Rt△ABC中，44c8=90。，cosB=|,将△ABC绕点C旋转后得到△4B'C,其中B'点正

好落在边ZB上，交于点D,则段的值为.

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40.如图，点公,勺依次在y=菱（久>0）的图象上，点B2依次在x轴的正半轴上，若

△4OB1，△々当/均为等边三角形，则点B2的坐标为.

三、解答题

41.如图，你认为力B,DE哪一段山坡更陡一些?为什么？

42.一艘观光游船从港口A以北偏东60。的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事

故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北

偏东37。方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时

间.（温馨提示:sin53°«0.8,cos53°«0.6）

C（游船）

43.如图，已知矩形4BCDQ18<AD）.

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(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：

①以点力为圆心，以4。的长为半径画弧交边BC于点E,连接AE；

②作/.DAE的平分线交CD于点F；

③连接EF-,

(2)在(1)作出的图形中，若4B=8,AD=10,则tan/FEC的值为

44.随州市新撅水一桥(如图1)设计灵感来源于市花——兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度

为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车.斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、

主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔48和斜拉索(图中只画出最短

的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一水平面内，BC在水平桥面上.已知乙4BC=

/.DEB=45°,Z.ACB=30°,BE=6米，AB=5BD.

（图1）（图2）

(1)求最短的斜拉索DE的长;

(2)求最长的斜拉索AC的长.

45.在A4BC中,/.ABC=90°.

(1)如图1,分别过4,C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M,N,求证:

△△BCN；

图1

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(2)如图2,P是边BC上一点，NBAP=NC,tanNP4C=W，求tanC的值;

(3)如图3,。是边C4延长线上一点，AE=AB,Z.DEB=90°,sin/BAC=|,黎=|，直接

写出tanNCEB的值.

图3

46.如图，48为。。的直径，C为上半圆上一点，D为下半圆弧的中点，G为CD上一点，满足

DA=DG.

(1)求证：G为AABC的内心；

(2)延长4G交。。于E点，作EF_L4C于£若sin乙4BC=/求tand4E的值.

47.如图，一次函数%=—x+2的图象与反比例函数为=：的图象相交于4,8两点，与x轴相交

于点C.已知tan/BOC=p点、B的坐标为(m,n).

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y

/B\y\=-x+2

(1)求反比例函数的解析式；

(2)请直接写出当x</n时，丫2的取值范围.

48.计算：—+(tan60°-1)xV3+(——+(-ir)°—|2—V3|.

49.计算:V9+l-4l+2sin300-32.

50.一段斜坡路面的截面图如图所示，BCLAC,其中坡面AB的坡比G=1:2,现计划削坡放缓,

新坡面的坡角为原坡面坡角的一半，求新坡面力。的坡比iz(结果保留根号).

51.如图，以力B为直径的。。交AABC的边4c于D,BC于E,过。作。。的切线交8c于凡

交B4延长线于G,且DF18C.

(1)求证：BA=BC；

(2)若4G=2,cosB=求DE的长.

52.某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水

平面的夹角为30。，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点,

在点E处测得雕像顶端A的仰角为60。，求雕像AB的高度.

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A

53.己知如图，以RtAABC的4C边为直径作O。交斜边48于点E,连接E。并延长交8C的延长

线于点D,点产为BC的中点，连接EF.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若。。的半径为3,ZE4C=60。，求AD的长.

54.(1)如图1,正方形4BCD和正方形DEFG,G在力。边上，E在C。的延长线上.求证:

AE=CG,AE1CG；

(2)如图2,若将图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转角度9(0。<0<90。)，此时AE=

CG还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

图2

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（3）如图3,当正方形DEFG绕点。顺时针旋转45。时，延长CG交4E于点H,当4。=4,

。6=鱼时，求线段CH的长.

DC

图3

55.水库大坝截面的迎水坡坡比（0E与AE的长度之比）为1:0.6,背水坡坡比为1:2,大坝高

DE=30米，坝顶宽CO=10米，求大坝的截面的周长和面积.

DC

AEF

56.如图所示，为测量旗台4与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30。方向上,

然后向正东方向前行100米至8处，测得此时C在北偏西15。方向上，求旗台与图书馆之间的

距离.（结果精确到1米，参考数据或=1.41,V3«1.73）

北f

57.如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点.己知点E离塔的中轴线48的距离OE为

10米，塔高AB为123米（AB垂直地面BC）,在地面C处测得点E的仰角a=45。，从点C

沿方向前行40米到达。点，在。处测得塔尖4的仰角为夕=60。，求点E离地面的高度

EF.（结果精确到1米，参考数据&a1.4,V3«1.7）

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58.如图，在坡角为30。的山坡上有一铁塔48,其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成

45。角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4

米，求铁塔4B的高（AB,CD均与水平面垂直，结果保留根号）.

59.小明在热气球4上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45。，

35。.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m,请求出热气球离地面的高

度.（结果保留整数）

60.如图，PB为。。的切线，8为切点，过B作OP的垂线84,垂足为C,交。。于点4连接

PA,AO,并延长40交。。于点E,与PB的延长线交于点D.

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p

(1)求证：PA是O。的切线；

(2)若cos/C4O=%且0C=6,求PB的长.

61,已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线交于点E.

(1)如图1,Z.ABC=Z.ADC=90°,求证：EDEA=EC-EB-,

(2)如图2,若"BC=120。，cos^ADC=|,CD=5,AB=12,△CDE的面积为6,求四边

形力BCD的面积;

(3)如图3,另一组对边4B,DC的延长线相交于点F.若cos乙48c=COSNADC=5,CD=5,

CF=ED=n,直接写出4。的长(用含九的式子表示).

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62.如图，AB为。。直径，P点为半径。4上异于。点和4点的一个点，过P点作与直径48垂直

的弦CD,连接力。，作8EJ.AB,OE〃AD交BE于E点、,连接AE,DE,4E交CO于尸点.

(1)求证：0E为。。切线；

(2)若。。的半径为3,sin^ADP=求4D；

(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明.

63.如图,4D是△4BC的中线，6nB=",cosC=y,AC=y[2.求:

(1)BC的长；

(2)sin4Aoe的值.

64.如图，△ABC内接于。0,AB=AC,C。的延长线交48于点D.

(1)求证：A0平分上BAC.

(2)若BC=6,sin^BAC=|,求4c和CD的长.

第20页(共65页)

65.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCOE的三个顶点分别是C(3,0),0(3,4).E(0,4).点4在

DE上，以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为

动点，设运动时间为t秒.

X

E1*Gp

(1)填空：点力坐标为；抛物线的解析式为.

(2)在图①中，若点P在线段。C上从点。向点。以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在

线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之

停止运动.当t为何值时，APCQ为直角三角形？

(3)在图②中，若点P在对称轴上从点4开始向点8以1个单位/秒的速度运动，过点P做

PF1AB,交4C于点F,过点F作FG14D于点G,交抛物线于点Q,连接ZQ,CQ.当t

为何值时，△4CQ的面积最大?最大值是多少？

66.抛物线丫=一|/+(%—1与x轴交于点A,B(点力在点B的左侧)，与y轴交于点C,其顶

点为。.将抛物线位于直线1：、=1«<|{)上方的部分沿直线1向下翻折，抛物线剩余部分与翻

折后所得图形组成一个“M”形的新图象.

(1)点4B,。的坐标分别为,,；

(2)如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处.当点E在AABC内(含边界)时，求t的取

值范围；

(3)如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴

相切于点P?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

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67.如图，矩形。4BC的两边在坐标轴上，点4的坐标为(10,0),抛物线丁=。丫2+以：+4过8,C

两点，且与x轴的一个交点为。(-2,0),点P是线段CB上的动点，设CP=t(0<t<10).

(1)请直接写出B,C两点的坐标及抛物线的解析式；

(2)过点P作PE±BC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时，乙PBE=4OCD?

(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM〃BQ,交CQ于点M,作PN〃CQ,交BQ于点

N.当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.

68.在AABC中，D,E,F分别为BC,AB,4c上的点.

(1)如图1,若EF〃BC,DF//AB,连接CE,4。分别交OF,EF于N,M,连接MN,且E

为48的中点，求证：EM=MF；

(2)如图2,在(1)中，若E不是48的中点，请写出与M/V平行的直线，并证明;

第22页(共65页)

A

(3)若BD=DC,N8=90。，且4E:AB:8c=1:3:2g,4。与CE相交于点Q,直接写出

tan/CQD的值.

69.如图，BC是。。的直径，A是。。上一点，过点C作。。的切线，交BA的延长线于点D,

取CD的中点E,4E的延长线与BC的延长线交于点尸.

（1）求证：4P是O。的切线;

(2)0C=CP,48=6,求CD的长.

70.如图，在平面直角坐标系中，0为原点，平行四边形4BCD的边BC在x轴上，。点在y轴上，

C点坐标为（2,0）,BC=6,/BCD=60。，点E是48上一点，AE=3EB,0P过。，0,C三

点，抛物线y=a/+bx+c过点D,B,C三点.

第23页（共65页）

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：E。是OP的切线；

(3)若将ATWE绕点。逆时针旋转90。，E点的对应点E,会落在抛物线)/=&/+6%+。上吗?

请说明理由；

(4)若点M为此抛物线的顶点，平而上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边

形为平行四边形?若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

第24页(共65页)

答案

选择题：

1.C

2.A

3.B【解析】该题考察的是三角函数的定义和勾股定理.

将放在一个直角三角形中，求得斜边长度为4近个网格长度，邻边为4个网格长度，故cosB=乎.

4.D【解析】在Rt△ABC中，

•••AD1BC于点D,

・•・Z.ADB=Z.CDA.

•・・NB+4B/D=90°,+=90°,

・•・乙B=Z.DAC.

・•.△ABD^△CAD.

BD_AD

"'AD~CD*

•・•BD\CD=3:2,

设8。=3%,CD=2%.

AD=>j3x-2x—V6x.

miln4。x/6xx/6

贝ijtanB=——=—=——・

BD3x3

5.C

6.A

7.C

8.B

第25页（共65页）

设格点的边长是单位“1”,构造直角三角形如右图：由勾股定理可得4。=2企,0C=y/2,4C=V1U.

AC2=AO2+OC2,

・•・△40C是直角三角形,

.CO>/2Vs

・・A・

•smA=-AC=-V71=Q==5

10.D

*'、太阳光线

11.D【解析】''A

B水平线C

直接根据锐角三角函数的定义可知，4B=BC-tan27。，把BC=24米，tan2700.51代入进行计算

即可.

如图，过4作4E±x轴，过B作BFJ.X轴,

因为041OB,

所以Z.AOB=90°,

所以ZBOF+/.EOA=90°,

因为NBOF+NFB。=90',

第26页（共65页）

所以^EOA=乙FBO,

因为乙BFO=Z.OEA=90。，

所以△BFOsAOEA,

在Rt△AOB中，cosAO="=噂，

AB3

设48=6，则。4=1,根据勾股定理得：BO=y/2,

所以。B：OA=y/2：1,

所以S&BFO：SAOEA=2：1,

因为4在反比例函数y=:上，

所以SAOEA=1，

所以S&BFO=2,

则k=-4.

13.C【解析】由题意知,sin240°=sin(180°+60°)=-sin600=-y.

14.D

15.C

16.C【解析】如图所示：过点“作AC_LOB.

因为将三角板绕原点。顺时针旋转75。，

所以Z.AOA'=75°,OA'=OA.

所以NC0A=45°.

所以OC=2x号=>/2,CA=2x曰=V2.

第27页（共65页）

所以4的坐标为（企,一企）.

17.D【解析】•••B©=品。1=1,乙8心。=应。出=60°,

...0百=

乙E?B2c2=30°,

.Dr——2。2_V3

**22-cos300-3，

以此类推，

D2E3=R，

83c3，

n-1o

•••4/1=1=停）,82c2=停），B3c3=AG），

•••正方形AnBnCnDn的边长为停）'T,

"正方形^2015^2015^2015^2015边长是（苧）•

18.B【解析】①根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C,

・・,点P,Q的运动的速度都是1cm/s,

・•.BC=BE=5cm,

AD=BE=5（故①正确）；

②如图1,过点P作PF1BC于点F,

图⑴

根据面积不变时△8PQ的面积为10,可得48=4,

•••AD//BC,

Z.AEB=乙PBF,

第28页（共65页）

AR4

.•.SinzPBF=sinz4E5=-=-

4

・•.PF=PBsinZ-PBF=-t,

.,.当0<t45时，y=^BQ-PF=^t-^t=lt2(故②正确)：

③根据5-7秒面积不变，可得ED=2,

当点尸运动到点C时，面积变为0,此时点「走过的路程为8£+后。+。。=11,

故点H的坐标为(11,0),

设直线NH的解析式为y=kx+b,

将点”(11,0),点N(7,10)代入可得：日J：t26二R

</K\U—1U,

故直线NH的解析式为：y=—(故③错误)；

④当AABE与4QBP相似时，点P在DC上，如图2所示:

3

•••tanZ.PBQ=tanz.ABE=

4

”=2,即上£=三，

BQ454

解得：£=（故④正确）；

综上可得①②®正确，共3个.

19.B

20.D

【解析】有题意可知：△ABEgZkAFE,

・・.48=4尸=8,BE=EF,Z.BAE=z.FAEfZ.AEB=Z.AEF.

第29页(共65页)

・・・E为BC中点,BC=12,

・・・BE=EC=EF=6.

v乙B=90°,

・・・4E=10.

・・・Z.BEF+Z.FEC=180°,Z.BAF+/.BEF=180°,

••・Z.FEC=Z-BAF.

•・・EF=EC,

・・・乙FCE=90°-：乙FEC=90°-^BAF=90°-Z,BAE=乙AEB,

・••sinzECF=sin乙4EB=—=

AE5

填空题:

22.44.7

23.24

作80LAC于点。.

Z.CBA=25°+50°=75°.

则^.CAB=(90°-70°)+(90°-50°)=20°+40°=60°,

Z-ABD=30°,

zC^D=75°-30°=45°.

第30页（共65页）

在直角4ABD中，BD=AB-sin^CAB=20xsin60°=20Xy=10V3.

在直角△BCD中，乙CBD=45。，

则BC=y/2BD=10XV3x72=1076«10x2.4=24（海里）.

24.137

25.2V3

26.V3

27.（5+5V3）

【解析】•:tan乙CBD=累=g

DU3

・•.BD=5>/3.

・•・AB=5+5>/3.

28.18V2

29.3

3°.M）

31.3-V3

32.58

【解析】如图所示：

A

、、

、、

、、

、

、、

45。｝「

F-------------------J'

BD

由题意可得：CE14B于点E,BE=DC,

vZ-ECB=18°48',

・•・乙EBC=78°12r,

第31页（共65页）

则tan78°12'=—=—=4.8,

BE10

解得：EC=48(m),

•••NAEC=45。，MAE=EC,且BE=DC=10m,

此塑像的高4B约为：4E+EB=58（米）.

33.30+10V3

34.3V3

过点。作CG14G于G,

•：AC=60,乙CAG=30",

・•・CG=30,

・••BCG=30°,

:・CB=20^3,

・•・海警船到达事故船C处所需的时间大约为20V3+40=手.

36.@@③④

【解析】•・・48=10,cosa=p

・•・BC=16,

v乙ADC=乙ADE+乙EDC=Z.BAD+乙B,Z-ADE=乙B,

・•・乙EDC=Z.DAB.

vAB=AC,

•••乙B=z.6=乙ADE,

第32页（共65页）

:・>ABDsADCE,△ADE^>△ACD,

ABBD

...——.

DCCE

rf7_FD(16-FD)

10

0<CE<6.4.

当BD=6时，CD=10,

；.&ABD/△DCE.

若4DCE为直角三角形，

当Z.CED=90。时，由△AED^△ADC可得^ADC=90°.

•••BD=ABxcosa=8.

当乙CDE=90。时，由△ABDs△DCE可得乙BAD=90。.

25

：•BD=AB-i-cosa=­.

2

37.137

【解析】如图，/-ABD=30°,乙4CD=45°,BC=100m,

设AD=xm,

在Rt△ACD中，•••tan^ACD=笫

CD=AD=x,

・•.BD-BC+CD=%4-100,

在Rt△ABD中，

vtanZ.ABD=—,

BD

x=^(%4-100),

/.%=50(V3+l)«137,

即山高力。为137米.

38.10g

第33页（共65页）

【解析】如图作AM18C于M,设AM=x.

因为tanZ-ABM=y,

所以/.ABM=30。，

所以4B=24M=2x,

因为NHPB=30。，

所以乙PBH=90。-4HPB=60。，

所以Z.ABP=180°-4PBH-Z.ABM=90°,

所以4BPA=/.BAP=45°,

所以A8=8P=2x,

在RtAPBH中，因为sinzP8H=*,

所以亨吗

所以x=1OA/3.

7

39.二

20

【解析】作CE1/8于点E,如下图所示，

v在Rt△ABC中，Z.ACB=90°,cosB=cosB=—,

5AB

・,・设BC=3a,AB=5a,

AC=J(5Q)2—(3a)2=4a,

又•・•△ABC绕点C旋转后得到AA'B'C,

A'C=AC=4afCB=CB\

第34页（共65页）

•・,CE_LAB,cosB=

・・.BE=B'E,.=翳=cosB=

oC3a5

B'E=BE=—,

5

•­AB'=AB-BE-B'E=5a----=

555

•••〃=/.A',4ADB'=/.A'DC,

■■AADB'S“DC.

40.（6V2,0）

【解析】作41C_LOBi，垂足为C,

••,△4。当为等边三角形,

•••Z.A1OB1=60",

•••tan600=处=

oc

・・・A1c=y/3OC.

设公的坐标为(m,y/3rn)f

第35页（共65页）

必在丫=W（x>0）的图象上，

・••m•V3m=9>/3,解得m=3,

OC=3,OB[=6.

作必。，4外,垂足为。，

设B1D=Q,则OD=6+Q,A2D=V3a,

・•・/12（6+a,V3a）.

•・,42（6+a,y/3a）在反比例函数y=竽（％>0）的图象上,

・••（6+Q）•y/3a=9百，

解得Q=-3±3&,

va>0,

・•・a――34-3V2,

:.B$2=-6+6V2,

・••点B2的坐标为（672,0）

解答题：

41.山坡的陡峭程度在数学上一般是用“坡度”来刻画的，

坡面的垂直高度与水平宽度的比称为坡度，

即这个山坡坡角的正切值.

因此要比较48,OE哪个更陡一些，

可以比较tanA与tanD的大小，

A303

tan/=/=一，

V502-3024

c404

tanD=,.=

Vso2-4O23

因为tanAVtan。，所以山坡。E更陡一些.

第36页（共65页）

42.如图，过点C作C0_L4B交4B延长线于。.

在RtAACD中，

因为N4DC=90。，ACAD=30°,AC=80海里，

所以CD=：AC=40海里.

在RtACBD中，

因为Z_CDB=90°,乙CBD=90°-37°=53°,

所以BC=T而=9=50（海里），

sin乙C8。0.8

所以海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50+40=；（小时）.

4

(2)-

4

44.(1)因为4ABe=4DE8=45。，

所以NBDE=90°,BD=DE,

在Rt△BDE中，DE=