专题4-2 一次函数（考题猜想二元一次方程（组）与一次函数的四种常见应用）解析版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题4-2一次函数（考题猜想，二元一次方程（组）与一次函数的四种常见应用）应用1：利用两直线的交点坐标确定方程的解【例题1】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，解题的关键是正确理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【详解】解：把代入得，解得，所以点坐标为，所以关于，的二元一次方程组的解是，故选：【变式1】（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最大值是．【答案】14【分析】本题主要考查了一次函数的最值．熟练掌握一次函数的图象与性质，确定两个函数图象的交点，函数的增减性，是解决问题的关键．联立两个函数的解析式，得出两函数图象的交点坐标，接下来将自变量分成两段讨论m的值，最后比较得出结论即可．【详解】联立两函数的解析式，得，，解得，，∴两函数图象交点为，∵当时，，且的值随x的增大而减小，∴当时，；∵当时，，且的值随x的增大而增大，∴当时，；∴在的范围内，m的最大值为14．故答案为：14．【变式2】（22-23八年级下·四川广安·期末）已知直线经过点，．(1)求直线的解析式；(2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标；(3)根据图象，写出关于x的不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．（1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可；（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可；（3）根据C点坐标可直接得到答案．【详解】（1）直线经过点，，，解得，直线的解析式为：；（2）若直线与直线相交于点C，．解得，点；（3）由（2）得，根据图象可得不等式的解集为：【变式3】（22-23八年级下·福建泉州·期中）已知一次函数．(1)无论k为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；(2)如图1，当时，一次函数的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线：上一点，若，求Q点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，直线：交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）整理得，根据题意，得当，求解得函数图象必过定点；（2）确定解析式为，点A坐标为，点B坐标为；设点Q坐标为，分情况讨论：①当点Q位于AB右侧时，根据题意得，列方程解得，点Q坐标为；②当点Q位于AB左侧时，过点Q作轴，交于点Ｎ，点Ｎ的纵坐标为，，于是，解得，Q坐标为；（3）联立得，得，设，由，求得C的坐标为，点M在直线上，点C关于直线对称的点F的坐标为，连接，，则，，作轴，垂足为G，在中，，所以的最小值为．【详解】（1）解：整理得∵不论k取何值时，上式都成立∴当，即时，∴无论k为何值，函数图象必过定点；（2）当时，一次函数为，当时，；当时，，；∴点A坐标为；点B坐标为；∵点Q在直线：上，∴设点Q坐标为；①如图，当点Q位于AB右侧时，根据题意得．∴．解得．点Q坐标为；②如图，当点Q位于AB左侧时，此时，过点Q作轴，交于点Ｎ，则点Ｎ的纵坐标为，由，得，，∴．∴，解得，∴Q恰好位于x轴上，此时Q坐标为；综上所述：若，Q点的坐标为或；（3）由（2）可得直线AB：，联立得，解得．∴∵点C在x轴的负半轴，设则，∵，∴解得∴点C的坐标为∵动点M的坐标为．∴点M在直线上．∴点C关于直线对称的点F的坐标为，连接，，则，则为的最小值；作轴，垂足为G，在中，∴的最小值为．【点睛】本题考查一次函数，图象交点求解，轴对称；结合题设条件，作线段的等量转移，构造直角三角形求解线段是解题的关键应用2：利用方程组的解求两直线的交点坐标【例题2】（21-22八年级上·陕西汉中·期末）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．【详解】解：∵二元一次方程组的解为，∴直线l1：y=x+5与直线l2：y=−x-1的交点坐标为（-4，1）．故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标【变式1】（22-23八年级下·河南商丘·期末）已知方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为．【答案】【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．【详解】解：方程组的解为，函数与函数的图象交点坐标相当于函数与函数的图象交点向下平移2个单位长度，函数与函数的图象交点坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标【变式2】（22-23八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别为，直线与坐标轴交于C、D两点．

(1)求交点E的坐标；(2)直接写出不等式的解集；(3)求四边形的面积．【答案】(1)点的坐标是(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，利用二元一次方程组求出点的坐标；（2）根据函数图象写出不等式的解集；（3）根据坐标轴上点的特征求出两点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）解：由题意得，解得，故直线的解析式是,则解得，故点的坐标是；（2）解：由图象可知，时，y=kx+b故不等式的解集是；（3）解：当时，，当时，,则点的坐标是，点的坐标是，∴．【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式、利用二元一次方程组求两条直线的交点、利用函数图象解不等式，掌握待定系数法的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键【变式3】（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：经过，动点在直线：上，直线和交于点，设点的横坐标为．

(1)求直线的解析式；(2)交点的坐标为______；(3)过点作轴的平行线交直线于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值；(4)过点作轴的垂线交轴于点，以为边向右作正方形，当正方形的顶点或落在直线上时，直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)的值为或(4)的值为或0或【分析】（1）运用待定系数法将代入，解出即可解决；（2）根据表达式联立组成方程组，解出即可得到点的坐标；（3）设，可得，，解方程即可解决；（4）由题意得：，，根据正方形性质可得，，分两种情况：当时，，则，，当时，则，，分别将点、点坐标代入，即可求得答案．【详解】（1）解：将代入中，，解得，∴：；（2）解：由题意得：，解得：，点，故答案为：；（3）在：上，，，轴，在：上，，，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，，即，解得：，，的值为或；（4）解：的值为或0或．理由如下：当时，，，，，当在上时，，解得：，当在上时，，解得：；

当时，，，，，当在上时，，此方程无解，当在上时，，解得：；

综上：的值为或0或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查待定系数法、一次函数图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质、正方形性质等知识，解题关键是分类画出图形，数形结合解决问题应用3：方程组的解与两个一次函数的关系【例题3】直线与的图象没有交点，则方程组的解的情况是（

）A．有无数组解 B．有一组解 C．有两组解 D．没有解【答案】D【分析】根据二元一次方程组的解与一次函数交点的关系解答即可．【详解】直线与的图象没有交点，则方程组没有解．故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解与一次函数交点的关系．熟练掌握两者的关系是解答本题的关键【变式1】方程组没有解，因此直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+在同一平面直角坐标系中的位置关系是（）A．重合 B．平行 C．相交 D．以上三种情况都有可能【答案】B【分析】方程组可化为,若方程组没有解，说明直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+在同一平面直角坐标系中没有交点，可得两直线关系.【详解】方程组可化为,若方程组没有解，说明直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+在同一平面直角坐标系中没有交点，所以，两条直线平行.故选B【点睛】本题考核知识点：一次函数与方程组.解题关键点：理解一次函数与方程组的关系【变式2】（23-24八年级上·广西梧州·期中）直线与平行,则方程组的解的情况是．【答案】无解【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组解的关系．熟知两个一次函数平行无交点即可得到本题答案．【详解】解:∵直线与平行,∴两直线无交点,∴方程组无解．故答案为:无解．【变式3】（2022八年级下·上海·专题练习）已知两个一次函数和；(1)、为何值时，两函数的图像重合?(2)、满足什么关系时，两函数的图像相互平行?(3)、取何值时，两函数图像交于轴上同一点，并求这一点的坐标．【答案】(1)(2)且(3)，，坐标为（2，0）【分析】（1）因为两函数的图象重合，也就是两个函数的比例系数与常数项相等，由此建立关于a、b的方程组，求得a、b的数值；（2）根据“两个一次函数的图像平行，则比例系数相等，常数不相等”列式求解即可；（3）分别根据两函数与x轴相交于同一点，求出交点坐标即可得到结论．【详解】（1）∵两函数的图像重合∴两个一次函数的比例系数和常数项都相等，∴解得：；（2）∵两个一次函数的图像平行，∴比例系数相等，常数不相等，∴，且，即，且；（3）∵两个一次函数的图像交于轴上一点，即两个一次函数与轴的交点重合，∴两个一次函数与轴的交点重合；对于，令，得，对于，令，得，∴，即，∴当，时，两函数图像交于轴上同一点，交点坐标为（-2，0）．【点睛】本题考查了两条直线相交和平行问题，利用两个一次函数的交点坐标为两函数解析式所组成的方程组的解解决问题应用4：利用二元一次方程组求一次函数的解析式【例题4】（22-23八年级下·广东江门·期末）直线与轴、轴交于A、两点，的平分线所在的直线的解析式是（

）（提示：在轴上取一点，使，连接）A． B． C． D．【答案】B【分析】对于已知直线，分别令与为0求出对应与的值，确定出A与的坐标，在轴上取一点，使，连接，由为的平分线，得到，利用得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出坐标，设直线解析式为，将A与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式．【详解】解：对于直线，令，求出；令求出，，，即，，根据勾股定理得：，在轴上取一点，使，连接，如图所示：

为的平分线，，在和中，，，设，则，在中，，根据勾股定理得：，解得：，，即，设直线解析式为，将A与坐标代入得：，解得：，则直线解析式为．故选：B．【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键【变式1】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一次函数过点，且它的图象与轴的交点和直线与轴的交点关于轴对称，那么这个一次函数的解析式为．【答案】【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式．首先求出直线与轴的交点，再根据轴对称的特点进一步求出所求的一次函数图象与轴的交点，然后设所求的一次函数解析式为，再利用待定系数法将点和代入可得出方程组，解出即可得出和的值，即得出了函数解析式．【详解】解：直线与轴的交点为，所求直线与轴的交点为，设所求直线的解析式为，所求直线经过点和，，解得：，所求的一次函数解析式为：．故答案为：【变式2】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点，若点为的中点，．(1)求直线的解析式；(2)如图2，连接，点为直线上一动点且位于直线下方，若有，请求出点坐标；(3)如图3，将直线平移得到直线，使得直线经过点，并交轴于点，点为直线上一动点，是否存在以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）分别令求得点，，根据题意得出，，待定系数法求解析式，即可求解；（2）先求得，进而根据三角形的面积公式求得，根据建立方程，即可求解；（3）根据平移可得的解析式为，得出，设，又，根据勾股定理表示出，进而分三种情况讨论，建立方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：对于直线：，当，则，当，则，∴，∴∵，点在轴负半轴，则，∵是的中点，∴设直线的解析式为，代入，，解得：∴直线的解析式为；（2）∵，∴联立，解得：∴∵在直线上，设，∴∵∴解得：∴坐标为（3）解：将直线平移得到直线，使得