2024届高考数学精英模拟卷 【新结构版】含答案

2024届高考数学精英模拟卷【新结构版】【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，且，则()A. B. C. D.82.已知复数z满足，则复数z的虚部为()A.i B.1 C. D.3.下表是关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的统计表：x23456y3.44.25.15.56.8由上表数据求得线性回归方程，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为()A.8 B.9 C.10 D.114.规定：在整数集Z中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”.其中，正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.45.已知正实数a，b满足，若不等式对任意正实数a，b以及任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A. B. C. D.6.已知函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，若在上有两个不同的根，（），则的值为()A. B. C. D.7.已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为()A. B. C. D.8.已知圆与圆交于A，B两点，且四边形OACB的面积为3r，则()A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则的值可能为()A. B. C. D.10.已知，下列不等式恒成立的是()A. B.C. D.11.已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是()A.B.若，则直线MN恒过定点C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为D.若，则直线MN的斜率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则___________.13.已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为______.14.已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.16.（15分）如图，在四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.（1）证明：平面平面ACD；（2）设，，点F在BD上，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.17.（15分）以双曲线的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点.（1）求C的方程.（2）在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A，B两点时，直线，的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.18.（17分）现有红、绿、蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球，所有球的大小、形状、质量完全相同.第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第次是从与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去，记第n次取出的球是红球的概率为.（1）求第3次取出的球是蓝球的概率；（2）求的解析式.19.（17分）设是定义在R上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：（i），（ii）；（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求m的取值范围；（3）设p，，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.

答案以及解析1.答案：C解析：由题意，得，解得，所以，所以.故选C.2.答案：D解析：设复数，，又，可得，解得，所以复数z的虚部为.故选D.3.答案：C解析：，，因为过点，所以，即.所以回归方程为.由题意得，解得.又因为，所以该设备使用年限的最大值约为10.故选C.4.答案：C解析：因为，所以，故①正确；因为，所以，故②错误；若a与b属于同一“家族”，则，，(其中)，故③正确；若，设，则，不妨令，，则(，)，所以a与b属于同一“家族”，故④正确.选C.5.答案：C解析：由题意得对任意实数a，b以及任意实数x恒成立.由已知条件及基本不等式，得，当且仅当，即，时等号成立.又，所以，则.因此实数m的取值范围是.故选C.6.答案：D解析：设的最小正周期为T，由图象可知，，所以，则，于是，又的图象过点，所以，，所以，又，则，，则，由，得，则，又当时，，所以，得，则，，结合知，所以，所以.故选D.7.答案：B解析：如图，因为是边长为6的正三角形，则其外接圆的半径，解得，又，设圆柱的母线长为l，则，解得，所以圆柱的外接球的半径，所以外接球的表面积为.故选B.8.答案：C解析：如图所示，圆C的标准方程为，圆心为，半径为3，由题意可知，，，，所以，所以，所以.设，则M为AB的中点，故四边形OACB的面积，则，故，所以，所以，又因为，所以，解得，因此，.故选C.9.答案：CD解析：因为为第一象限角，所以，，所以，.又，所以是第二象限角，所以.因为为第三象限角，所以，，所以，，又，所以是第二象限角或第三象限角.当是第二象限角时，，此时；当是第三象限角时，，此时.10.答案：AB解析：令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，即，A正确；令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，即，B正确；令，，则，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此当时，与的大小不能确定，C错误；当时，，，D错误.11.答案：AD解析：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；设，，因为直线MN斜率必存在，设直线MN的方程为，代入得，，，，所以，解得，所以直线MN恒过定点，故B选项错误；外接圆圆心的纵坐标为，外接圆半径为，故C选项错误；因为，所以直线MN过焦点F，且，设直线MN的倾斜角为，由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值，如图，过M，N分别向准线作垂线MA，NB，过N向MA作垂线NC，设，则，，，，，，，故D选项正确.故选AD.12.答案：256解析：的展开式的通项为，所以，，，，，则，令，得.13.答案：解析：由，得A为线段的中点，且点P在椭圆外，所以，则，又，所以为线段的中点，所以，设，则，又，所以，由椭圆的定义可知：，得，如图，延长交椭圆C于点Q，连接，则由椭圆的对称性可知，，又，故，由余弦定理可得：，在中，，由余弦定理可得，即，所以椭圆C的离心率为.故答案为：.14.答案：解析：由，得，所以.设，则.设，则，令，解得，即在上单调递增，令，解得，即在上单调递减，又，，，所以当时，，即，所以.当，2时，，即，所以.综上，，所以，即，所以的取值范围为.15.答案：（1）见解析（2）证明见解析解析：（1）由，得，①当时，，在R上单调递减；②当时，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.（2）证明：由（1）知，当时，，要证当时，，可证，因为，即证.设，则，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，即，所以当时，.16.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：在中，，E为AC的中点，.在与中，，，，，，又E为AC的中点，，又，，平面，平面BED，又平面ACD，平面平面.（2）由（1）知是等腰三角形，又，为等边三角形，，，在等腰中，，又，，以E为原点，EA，EB，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接EF，则，，，，，，设平面ABD的法向量为，则令，得，易知的面积最小时，，在中，由知，，，，，，易得，设CF与平面ABD所成的角为，则，与平面ABD所成的角的正弦值为.17.答案：（1）（2）存在满足条件的定点解析：（1）双曲线C的渐近线方程为，圆F与直线切于点，所以代入得，①设，直线FQ有斜率，则，即，②又，③由①②③解得，，，所以双曲线C的方程为.（2）假设存在满足条件的定点，因为直线l不与坐标轴垂直，故设l的方程为，，.由消去x整理得，则即，且，因为，所以直线，的斜率为，.设（为定值），即，即，即，整理得，所以，所以.因为t，为定值，且上式对任意m恒成立，所以，解得，.将代入式解得或且.综上，存在满足条件的定点.18.答案：（1）（2）解析：（1）分别设第次取出红球、绿球和篮球的概率为：、和，其中，，由题意知：，，，若第k次取出红球，且第次取出蓝球的概率为：，若第k次取出绿球，且第次取出蓝球的概率为：，若第k次取出蓝球，且第次取出蓝球的概率为：，所以第次取出蓝球的概率为：，由于，可得：，若设数列，上式即为：，配凑为：，，其中，数列是一个以为首项，为公比的等比数列，则，则，即，即第3次取出的球是蓝球的概率为：.（2）同上，分别设第次取出红球、绿球和篮球的概率为：、和，其中，，由题意知：，，，若第k次取出红球，且第次取出红球的概率为：，若第k次取出绿球，且第次取出红球的概率为：，若第k次取出蓝球，且第次取出红球的概率为：，所以第次取出红球的概率为：，由于，可得：，由已知，记第n次取出的球是红球的概率为，上式即为，有，，其中，，数列是一个以为首项，为公比的等比数列，则，的解析式为：.19.答案：（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析（2）（3）解析：（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，令，所以，设，所以，由可知恒成立，所以在区间上单调递增，若满足谷点，