高中数学人教A版习题必修五 章末综合测评2 含答案

章末综合测评（二）

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）

111

△1———

广、・▲,2,3，4，・・・

B4-1,2,-3,4,...

111

C-■1z~2'~8""

D.1,y/2,事，…,

【解析】A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列.

【答案】C

2.已知数列｛的｝是首项为=4,公比#1的等比数列，且4为，比，-2为成

等差数列，则公比9等于（）

1

A-B.-1C.-2D.2

【解析】由已知，2a=4仇-2由，即2为^=4仇-2仇0，所以r+T-

2=0,解得e=1,因为gKl,所以g=-1.

【答案】B

3.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成

6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6

小时后细胞存活的个数是()

A.33个B.65个C.66个D.129个

【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为｛为｝.

的=2,3/7+1-1

贝」Ir.即------=2.

3n+1=2dn~1,己="，

n1

:.an-,an-2-+l,力=65.

【答案】B

4.等比数列｛*的通项为^=2-3^-1,现把每相邻两项之间都插入两个数，

构成一个新的数列｛6｝,那么162是新数列｛6〃｝的()

A.第5项B.第12项

C.第13项D.第6项

【解析】162是数列｛莉的第5项，则它是新数列｛d｝的第5+(5-1)x2=

13项.

【答案】C

5.已知数列｛*的前〃项和Sn=an-l(a/O),则｛a〃｝()

A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.或者是等差数列，或者是等比数列

D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

【解析】•.5=/-1(左0),

Si,n=l,

-,-an=\

Sn~Sn-1,/7>2,

a-1,n-1,

即3n—'

a-1an-1,r)>2,

当a=1时，a〃=0,数列｛而是一个常数列，也是等差数列；当衣1时，数

列｛④｝是一个等比数列.

【答案】C

6.等差数列｛a〃｝的公差不为零，首项为=1,力是抗和力的等比中项，则数

列的前10项之和是()

A.90B.100C.145D.190

【解析】设公差为修

.,.(1+d)2=1x(1+4o),

,：d^0,

-d-2,从而Sio=100.

【答案】B

7.记等差数列｛a/的前〃项和为S",若S=4,£=20,则该数列的公差d

=()

A.2B.3C.6D.7

【解析】54-52=53+54=20-4=16,

.,.<93+函-S=(<?3-为)+(创-32)

=44=16-4=12,

.'.cf=3.

【答案】B

力

8.已知数歹如为｝满足&=5,a〃a〃+i=2〃，贝！］一=()

S3

5

A.2B.4C.5D-

a〃+l<3"+22"+l3n+2

【解析】依题意得=-^~=2，即=2，数歹U为，(33,比，力，…

an3n+i2nan

21

是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此一二4.

【答案】B

9.在数列｛的｝中，&=2,2/+1-2而=1,贝！J为01的值为()

A.49B.50C.51D.52

【解析】,.-25/7+1-2(3n=1,

1

「.为+1-<^/7=2/

1

.•数列｛*是首项为=2,公差d=5的等差数列，

1

.•-5101=2+-(101-1)=52.

【答案】D

10.我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排

成一个正三角形，如图1所示：

△

61015

图1

则第七个三角形数是（）

A.27B.28C.29D.30

【解析】法—；仇=1,力=3,诙=6,加=10,35=15,力-为=2,力

-32=3,54-<33=4,<35-^4=5,

「06~35=6,况=21,力-况=7,力=28.

nn+1

法二由图可知第〃个三角形数为---------,

7x8

：a-—-=28.

【答案】B

（3"+方

11数歹|」｛的｝满足递推公式a〃=3/一1+3"-1（〃？2）又出=5，则使得与一■

为等差数列的实数才=（）

11

A.2B.5C.D-

22

an+A5+才23+A

【解析】5i=5,52=23,<33=95，令b-，则bi-——,bi-—~~,

n3〃3y

95+才

6=27，

■:bi+仇=2A,

【答案】C

12.在等差数列｛a力中,出o<O,仇1>0,且仇1>|抗o|,则｛a〃｝的前〃项和Sn

中最大的负数为()

A.SDB.SisC.S19D.So

【解析】••-aio<O,an>0,且an>|aio|,

「01+的o>O.

20ai+<320

So=--10-(aii+aw)>0.

19<31+<31919

Sig=-----------=~-2aio<0.

【答案】C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横

线上)

13.在等差数列｛而和｛d｝中，出=25,庆=75,由oo+d)o=100,则数列｛为

+包｝的前100项的和为.

【解析】由已知得｛为+d｝为等差数列，故其前100项的和为SLOO=

100[+bi+&oo+Z?ioo]

2

=50x(25+75+100)=10000.

【答案】10000

14.数列｛为｝满足力=1,an=an-i+n｛n>2),则g=.【导学号：

05920082]

【解析】由an=an-i+n[n>2），得-=则宓-的=2,右-力=

3,前-为=4,右-国=5,把各式卞目力口，彳导力-仇=2+3+4+5=14,

.'.3s=14+<3i=14+1=15.

【答案】15

15.首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差4的取值范围

是_______•

【解析】设的=-24,公差为乙a0=-24+9Q0且为=-24+8/0,

8

（8-

【答案】7,3

16.已知公差不为零的正项等差数列｛为｝中，S为其前〃项和，1g仇，1g力，

1g砌也成等差数列，若g=10,则£=.

【解析】设｛褊的公差为d,则*0.

由1g为，1g力，lg也成等差数列，

得21g力=1g为+1g画，:晟=抗诩,

即（仇+22=仇（出+3动,cP--aid.

又dr。，故d=&，3s=5ai=10,d-3I=2,

5x4

S=5出+2xd=30.

【答案】30

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤）

17.(本小题满分10分)在等差数列｛3〃｝中，&+33=8，且国为力和为的等

比中项，求数列伯"｝的首项、公差及前〃项和.

【解】设该数列的公差为d,前〃项和为S".由已知可得

2的+2d-8,(&+362=(出+5(仇+8o),

所以为+4=4,d｛d-3ai)=0,

解得仇=4,d=0或仇=1,G3,即数列｛莉的首项为4,公差为0,或首

项为1,公差为3.

3a2-n

所以数列的前〃项和S=4〃或S"=

18.(本小题满分12分)(2016・唐山模拟)设数列｛劣｝的前〃项和为S〃，已知的

+2力+3a3+...+nan=｛n-1)S+2/T(〃£N*).

⑴求82,CH的值;

(2)求证：数列｛S+2｝是等比数列.

【解】(l)-.ai+252+353+...+nan-｛n-1>£+2/X〃£N*),

.・・当〃=1时，出=2x1=2;

当〃=2时，51+252=(51+52)+4,:.ai=4;

当〃=3时，的+2为+3品=2(仇+力+力)+6,「4=8.

(2)证明：,:西+2力+3由+...+〃a〃=(〃-1)5,+2/7(/7£N*),①

...当n>2时，51+2a2+353+...+(77-1)a/7-1=(〃-2)Sn-i+2(/7-1),②

①■②得n3n-(〃-1)S-(n-2)Sn-I+2=nan-S〃+2Sn-1+2,

-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2.

,

:Sn+2=2(Sn-i+2).,.Si+2=4/0.

S+2

-'-Sn-1+2声0-X-i+2=2-

即｛S〃+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列.

19.体小题满分12分)(2015•北京高考)已知等差数列｛褊满足ai+a2=10,

34-<?3=2.

(1)求｛沏｝的通项公式；

(2)设等比数列｛仇｝满足在=由，笈=力，问：戊与数列｛为｝的第几项相等?

【解】(1)设等差数列｛/｝的公差为d.

因为以-为=2,所以d=2.

又因为31+32=10,所以2为+d=10,故贝=4.

所以为=4+2(〃-1)=2〃+2(〃=1,2,...).

(2)设等比数列｛6｝的公比为q.

因为bi-ai-2>,=a7=16,

所以g=2,仇=4.

所以仇=4X267=128.

由128=2〃+2得〃=63,

所以戊与数列｛力｝的第63项相等.

20.(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列｛/｝，也/也胖。,〃£N*),

满足anbn+1-an+ibn+2bn+ibn=G.【导学号：05920083】

Q)令金琮，求数列。｝的通项公式；

⑵若仇=3〃-1,求数列｛3〃｝的前〃项和Sn.

【解】⑴因为-a〃+i6〃+26〃+i6"=0,

dH0(/7£N*),

3o+13n

所以7---=2,gpci-c=2.

bn+1bnn+n

所以数列｛a｝是以首项Cl=1,公差a=2的等差数歹I」，故勃=2〃-1.

(2)由d=3〃-1知3〃=的仇=(2〃-1)3"1,

于是数歹|」｛的｝的前〃项和5=1*3°+3、31+5、32+...+(2〃-1»3"-1,

3S^=1X31+3X32+...+(2/7-3)X3〃」+(2〃-1)X3".

相减得-2S=1+2x(31+32++-(2〃-1)x3"=-2-(2/7-2)3%

所以S"=(〃-l)3〃+L

21.(本小题满分12分)(2015・四川高考)设数列｛a〃｝(〃:1,2,3，…)的前〃项和

S满足S=2/-抗，且为，为+1,电成等差数列.

⑴求数列｛褊的通项公式;

'll1

(2)记数列二的前〃项和为Tn,求使得ITn-1|＜丁而成立的〃的最小值.

an\1000

【解】⑴由已知$=2a〃-力，有

3n—Sn--1=2＜3/7-23〃-,

即a〃=2d"-1(〃22),所以q=2.

从而力=2的，＜33=252=4的.

又因为为，力+1,为成等差数歹U,即仇+33=2(力+1),

所以仇+4的=2(2的+1),解得的=2.

所以数列｛3力是首项为2,公比为2的等比数列.

故为=2”.

11

⑵由⑴得六方

1F⑴

111

所以Tn=~+-+...

2n'

111

由I小