新教材高中数学必修第一册2 .3 二次函数与一元二次方程、不等式

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

第一课时一元二次不等式的解法

课标要求素养要求

1.经历从实际情境中抽象出一元二次不

等式的过程，了解一元二次不等式的现

从函数观点认识不等式，感悟数学知识

实意义.

之间的关联，认识函数的重要性，重点

2.能借助一元二次函数求解一元二次不

提升数学抽象和数学运算素养.

等式，并能用集合表示一元二次不等式

的解集.

课前预习■—，知识探究

教材知识探究

A情境引入

1.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高

0.2元，发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志

的价格应定在怎样的范围内？

2.①已知三个方程：x2—4x+3=0;x2—4x+4=0;/—以+5=0.②已知三个函

数丁1=f一4x+3,券=%2—4X+4,y3=f—4x+5及三个函数对应的图象.

问题1.观察实例1中的不等式，指出其含未知数个数及未知数的次数？

2.观察实例2,①中三个方程的解分别为xi=l,您=3；XI=%2=2；无解，②中

三个函数与x轴交点横坐标分别为1,3；2；无交点.由图象观察可知在②中三个

函数中，x分别取何值函数值为正、负？

提示设每本杂志价格提高x元，则发行量减少2.5x万册，杂志社的销售收入

为(2+x)(10—2.5x)万元.根据题意，得(2+力(10—2.5x)>22.4,即Sx2-10x+4.8<0,

解此不等式，最终得每本杂志的价格范围.

1.只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2.

2.对于第=%2—4x+3,当x<l或x>3时，ji=x2—4x+3>0,当l<x<3时，

—4x+3<0；对于第=%2—4%+4,当xW2时，y2=x2—4x+4>0；对于2二％2一©

2

+5,当x©R时，y3=x-4x+5>0.

A新知梳理

1.一元二次不等式的概念当二次项系数不确定时要注意对二次项系数进行讨

论

一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是爰的不等式，称为一元

定义

二次不等式

一般形式of+bx+c,。或其中Q,b,c均为常数，

ax2+Z?x+解集是使丁=。/+笈+c的函数值为正数的自变量X的

c>0(〃W0)取值集合

ax1-\-bx+解集是使丁二^^十法+。的函数值为负数的自变量X的

c<0(〃W0)取值集合

解集

ax2+/?x+解集是使y=ax2+bx+c的函数值大于或等于0的自变

C20(QW0)量X的取值集合

ax2+/?x+解集是使y=依2+法+c的函数值小于或等于0的自变

CWO(QWO)量X的取值集合

2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程'一元二次不等式)的美系

“三个二次”之间的关系非常重要，它是研究函数、方程及不等式的关系的重栗

依据

4=廿一4〃c/>0J=0/<0

y=QX2+bx+二

3

C(Q>0)的图象

ax1+bx-\-c=有两个不相等的实有两个相等的实数没有实数根

0(a>0)的根木艮XI,X2,且％1<X2根X1=X2=—若

QX2+Z?x+C>0(^>0)

或%>%2}［工』却R

的解集

ax1-\~bx~\-c<0(〃>0)

——

的解集——

，教材拓展补遗

［微判断］

1.不等式af+x—1<0是一元二次不等式.(X)

提示当。W0时，以2+兀一1<0是一元二次不等式.

2.不等式/一5y<0是一元二次不等式.(X)

提示――5><o含有两个未知数，故不是一元二次不等式.

3.不等式X2-2X+3>0的解集为R.(V)

［微训练］

1.下面所给关于x的几个不等式：①3x+4<0；②/+如；-1>0；@ax2+4x—7>0；

④f<0.其中一定为一元二次不等式的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析②④一定是一元二次不等式.

答案B

2.不等式(x+2)(x—3)>0的解集是.

答案{小>3或x<—2}

3.不等式一<2的解集是.

答案{x|—V2<X<A/2}

［微思考］

1.片。+2加+9>0(q0W0)可看作一元二次不等式吗？

提示可以，把人看作常数，则是关于。的一元二次不等式；把。看作常数，则

是关于6的一元二次不等式.

2.一元二次不等式有哪些形式？

提示任意一个一元二次不等式都可以利用不等式的性质变成二次项系数大于

。的形式，并且可以化为下列形式中的一种：

⑴。%2-\~bx~\-c>0(6z>0)；

(2)加-\~bx-\-c<0(〃>0)；

(3)加+/zx+C20(Q>0)；

(4)加+Z?x+cW0(Q>0).

3.一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？

提示一元二次不等式。冗2+加；+0>0(〃>0)的解集就是一元二次函数y=a^+bx

+C(Q>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；加+法+”0(〃>0)的解集就

是一元二次函数丁=加+6:+以〃〉。)的图象在x轴下方的点的横坐标工的集合.

课堂互动题型剖析

题型一解不含参数的一元二次不等式

【例1】解下列不等式：

(1W—5x—6>0；(2)(2—x)(x+3)<0；

(3)4(2炉―2x+l)>x(4—x).

①先将系数化为正；②先对不等式变形，化为一端为零且二次项系数大于零的形

式.

解(1)方程X2—5x—6=0的两根为xi=—1,X2=6.

结合二次函数y=%2—5x—6的图象知，原不等式的解集为｛x|x<—1或x>6｝.

(2)原不等式可化为(%—2)(x+3)>0.

方程(x—2)(x+3)=0的两根为xi=2,X2=-3.

结合二次函数y=(x—2)(x+3)的图象知，原不等式的解集为｛x|x<—3或x>2].

(3)由原不等式得Sx2—8x+4>4x—%2.

...原不等式等价于9^-12x+4>0.

2

解方程gr—izx+duo,得xi=x2=].

2

结合二次函数y=9f—12x+4的图象知，原不等式的解集为｛小若｝.

规律方法解一元二次不等式的一般步骤

(1)把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；(2)计算

/=〃-4ac,以确定一元二次方程ax2+bx+c=O是否有解；(3)有根求根；(4)

根据图象写出不等式的解集.

【训练1】解下列不等式：

(1)2X2+5X-3<0；(2)—3f+6xW2；

(3)4X2-4X+1>0；(4)-X2+6X-10>0.

解(1)方程Zf+Sx—3=0的两实根为xi=—3,X2=2，作出函数y=2f+5x—3

的图象，如图①.由图可得原不等式的解集为kI—3<%<三.

(2)原不等式等价于3f—6x+220./=36—4X3X2=12>0,解方程3f—6x+2

=0,得xi=3',冗2=3、*.作出函数y=3f—6x+2的图象,如图②，由图

可得原不等式的解集为'lxw't8或％三上号q.

(3).・•方程4x2—4x+1=0有两个相等的实根xi=X2=f.作出函数y=4x2—4x+1

的图象如图③.由图可得原不等式的解集为卜xWm.

(4)原不等式可化为%2—6x+10<0,

Vzl=36-40=-4<0,

方程%2—6x+10=0无实根，

・••原不等式的解集为

题型二解含参数的一元二次不等式

考查分类讨论思想，找到分类标准做到不重不漏

[例2]解关于x的不等式(aCR)：

(1)2X2+GX+2>0；

(2)f—(tz+a2)x+tz3>0.

解(1)/=4—16,下面分情况讨论：

①当/<0,即一4<a<4时，方程Zf+ax+Z：。无实根，所以原不等式的解集为

R.

②当/三0,即。三4或oW—4时，方程2g+依+2=0的两个根为

当a=—4时，原不等式的解集为｛x|xGR,且xWl｝；

当a>4或a<—4时，原不等式的解集为

卜(-a-7a2—16)或(-a-\-yja2—16)j；

当a=4时，原不等式的解集为｛x|x©R,且xW—1｝.

2

(2)将不等式%—((2+a2)x-\~(23>0变形为(X—Q)。：一/),。.

当〃<0时，有a<a2,所以不等式的解集为｛x|x<〃或%>/｝；

当〃=0时，〃=屋=0,所以不等式的解集为｛RxWO｝；

当0<〃<1时，有a>a2,所以不等式的解集为｛x[x<〃2或x>〃｝；

2

当。=1时，a=a=l9所以不等式的解集为｛RxWl｝；

当a>l时,有a<a2,所以不等式的解集为｛x|x<4或%>/｝.

规律方法解含参数的一元二次不等式的步骤

【训练2】解关于x的不等式ax2—22x~ax(xR).

解原不等式可化为。r+m—2)x—2三0.

①当〃=0时，原不等式化为％+lWO,解得—1.

②当a>0时，原不等式化为Q—'|卜+1)三0,

2

解得尤2,或xW—l.

③当a<Q时，原不等式化为(L，+l)W0.

22

当今>—1,即〃<—2时，解得一14奇;

2

当>—1,即a=—2时，解得x=—1满足题意；

22

当上T，即一2<a<0,解得々WxW—1.

综上所述，当。=0时，不等式的解集为｛x|xW―1｝；

当a>Q时，不等式的解集为卜或xW—1]；

当一2<a<0时，不等式的解集为卜太后一11；

当a=—2时，不等式的解集为｛—1｝；

2

当a<一2时，不等式的解集为｛x|一lWxW/｝.

题型三三个“二次”之间的关系

[例3]已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为

g与3为原不等式对应方程的两根，用根与系数的关系式求解

⑴求a,c的值；

(2)解关于x的不等式加+(〃。+2)%+2020.

解⑴由题意知不等式对应的方程加+5》+。=0的两个实数根为g和/且。<°，

r——5——1-4,——1

a3十2’

由根与系数的关系，得〈।,

2y

解得a=—6,c=—1.

(2)由a——6,c=—1知不等式ax2~\~(ac-\~2)x~\~2c^0可化为一6x2+8x—220,

即3f—4x+lW0,解得gwxWl,所以不等式的解集为[xlgwxWl].

规律方法应用三个“二次”之间的关系解题的思想

一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二

次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在

解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.

【训练3]已知关于%的不等式/十以+从。的解集为｛x[l<x<2｝,求关于％的

不等式1>0的解集.

解,.”2+4％+6<0的解集为{x[l<%<2},

方程―+依+人=。的两根为1,2.

—<7=1+2,a=一3

由根与系数的关系得<得

力=1X2,[b=2,

代入所求不等式，得2x?—3尤+1>0.

解得或x>L

Z?x2+ax+1>0的解集为{x|x<g或%>1}.

核心素养全面提升；

一、素养落地

1.(1)通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程提升数学抽象素养.

⑵借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，

培养直观想象素养.

(3)通过会解一元二次不等式培养数学运算素养.

2.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般

方法是：

(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进

行分类.

(2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.

(3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.

3.三个“二次”之间的关系

⑴三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元

二次方程和一元二次不等式的形式来研究.

⑵讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通

过二次函数的图象及性质来解决问题.

二、素养训练

1.若不等式af+gox+ZlvO的解集是{》|一7<%<—1},那么a的值是()

A.lB.2

C.3D.4

解析由题意可知一7和一1为方程<7x2+8tzx+21=0的两个根且a>Q,

—7X(—1)=—,故a=3.

答案C

2.不等式3x—10<0的解集是.

解析由于x2—3x—10=0的两根为一2,5,故％2—3尤-10<0的解集为

｛x|—2<x<5｝.

答案｛x|—2<x<5｝

3.一元二次不等式«x2+2x-l<0的解集为R,则a的取值范围是.

fa<0,a<0,

解析由题意知V,八a<—1.

IzKO,4+4tz<0,

答案{a\a<-l}

4.已知x=1在不等式Rx2—6依+820的解集内，则k的取值范围是

解析x=\在不等式6日+820的解集内，把x=l代入不等式得诺一6k

+820,解得Z24或ZW2.

答案｛砥24或ZW2｝

5.解关于x的不等式％2—办一2/<0.

解原不等式变形为(x—2a)(x+a)<0.

①若a>0,则一a<x<2a,此时不等式的解集为｛x[—a<x<2a｝；②若a<0,则2a<%<

—a,此时不等式的解集为｛x|2a<x<—a｝；③若a=0,则原不等式即为一<0,此

时解集为.

课后作业巩固提高

基础达标

一、选择题

1.不等式9X2+6X+1W0的解集是()

A/jxxW一mB.卜一

C.D.jxx=—

解析原不等式可化为(3x+l)2W0,

SxH-1=0)**•x=—

答案D

2.若集合4={尤|(21+1)。一3)<0},2={x|x£N*,无W5},则APB等于()

A.{1,2,3}B.{1,2}

C.{4,5}D.{1,2,3,4,5}

解析(2x+l)(x—3)<0,

-2Vx<3,

又x©N*且xW5,则x=l,2.

答案B

3.如果关于x的不等式》2<依+6的解集是{x[l<x<3},那么小等于()

A.-81B.81

C.-64D.64

解析不等式/<以十方可化为

[l+3=a,

x2—ax—b<0,其解集是{x[l<x<3},由根与系数的关系得，八。

〔1X3=一。，

解得a=4,b=—3；所以"=（一3）4=81.故选B.

答案B

4.若使+以+1有意义的x取值为实数集R,则实数。的取值范围为（）

A.{Q|—2<Q<2}B.{a\a<-2或a>2}

C.{a\a^~2或〃22}D.{〃|—2W〃W2}

解析由题意知，12+〃冗+1三0的解集为R,「./WO,

即4—4W0,—2WoW2.

答案D

5.在R上定义运算“。”：则满足无。（%—2）<0的实数元的取

值范围为（）

A.{x|0<x<2}B.{x|—2<x<1}

C.{x\x<-2或x>l}D.{x|—l<x<2}

解析根据给出的定义得，xO（x—2）=x（x—2）+2x+（x—2）=x2+x—2=（x+2）（x

一1）,又尤。（工一2）<o,则（％+2）a—i）<o,

故不等式的解集是3—2<x<l｝.

答案B

二'填空题

6.不等式一f+Sx*的解集是.

解析不等式一%2+5%>6变形为一―5X+6<0,

因式分解为(x—2)(x—3)<0,解得2<x<3.

不等式一f+5x>6的解集为｛尤12a<3｝.

答案｛x|2<x<3｝

7.不等式M》一。+1)>。的解集是｛木<—1或x>a｝其中a^—l,则a的取值范围

为.

解析%(%—a+1)>«x+l)(x—a)>0.

,解集是或x>a｝,tz>—1.

答案｛a\a>—\]

8.关于尤的不等式(如一1)(九-2)>0,若此不等式的解集为卜|而令<2]，则机的取

值范围是.

解析,不等式(s—l)(x—2)〉0的解集为H藐4<2、

.,.方程(如一l)(x—2)=0的两个实数根为、和2,

m<0,

且’1解得加<0,.,.加的取值范围是｛加防<0｝.

g

答案｛m|m<0｝

三、解答题

9.求下列不等式的解集：

(1)2%2+7尤+3〉0；(2)—f+8x—3>0；

Q1

(3)x2-4x-5^0;(4)-4x2+18x-^0.

解(1)对于方程2f+7x+3=0,因为1=72—4X2X3=25>0,

所以方程2X2+7X+3=0有两个不等实根XI=-3,%2=—

又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上，

所以原不等式的解集为bX>—3或x<—

(2)对于方程一%2+8x—3=0,因为4=82—4X(—1)X(—3)=52>0,

所以方程-N+8x—3=0有两个不等实根xi=4—^/13,%2=4+A/13.

又二次函数y=—f+8x—3的图象开口向下，

所以原不等式的解集为｛x|4—折<以4十回｝.

(3)原不等式可化为(x—5)(x+l)W0,

所以原不等式的解集为｛x|一1WXW5｝.

(4)原不等式可化为(2x—|jwo,

所以原不等式的解集为im

10.已知不等式x2+x—6<0的解集为A,不等式x2—2x~3<0