高中数学《坐标系与参数方程》练习题（附答案解析）

高中数学《坐标系与参数方程》练习题（附答案解析）

一、单选题

1.在极坐标系中，圆夕=2cos。的垂直于极轴的一条切线方程为（）

A.pcos9=2B.pcos^=lC.夕sin6=2D.psin^=1

x=t2

2.参数方程（其中，eR）表示的曲线为（）

[y=t

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

3.极坐标方程夕2sin。-夕=0的直角坐标方程为（）

A.J+y2=0或y=]BX=1C.丁+丁2=0或x=iD.y=l

4.在极坐标系中，下列方程表示圆的是（）

A.tan^=lB.psin0=\

兀兀

C.eD.

6p=%

)

6.已知实数。，〃满足/+序=6,则而的取值范围是（)

A.(0,3]B.(-QO,3]C.(―(^,-3][3,D.[-3,3]

户尉帕圆卜=28cosa«为参数）上一点,

7.且在第一象限，。尸（。为原点）的倾斜角为m，则点尸

y=4sina6

的坐标为（）

C.（2^/3,3）D.（4,3）

8.在极坐标系中，直线psin正被圆Q=4截得的弦长为（）

A.710B.y/1C.V13D.25/14

9.已知复数4,z?满足匕+1|+卜-1|=20,卜-利=2,（其中i是虚数单位），则k-Z21的最大值为（）

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A.3B.5C.2石D.25/2+2

10.在平面直角坐标系xOy中，圆X2+产=4上三点A（xi,yi）,8（x2,»）,CCxj,ys）构成正三角形ABC,

那么x；+x；+W=（）

A.0B.2C.3D.6

二、填空题

fx'-3x1

II.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换"C'则点A&,-2）经过变换后所得的点A的坐标为

12.在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为F=^cosa，（其中0为参数），则曲线c的普通方程为

y=sma

IX=1+2/?ri

13.参数方程，。（f为参数，te0」）对应曲线的长度为____.

[y=-3+3r

x~~y[t，v+2

14.变量x、y满足,—。为参数），则代数式小4的取值范围是___________.

y=2\/\-tx+2

三、解答题

15.将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程

（1）2=4sin8

（2）/9=sin6+2cos〃

（3）O=—

6

JV=rcose

一.：表示什么曲线？（其

{y=rsinU

中『是正常数，e在。2兀）内变化）

fx=tz+rcos£?「、

（2）在直角坐标系中，＜八.八，表示什么曲线？（其中。、b、厂是常数，且广为正数，。在[0,2兀）

[y=0+rsin〃

内变化）

17.在直角坐标系中，直线/的参数方程为卜=6+“osa（f为参数）.以坐标原点为极点，x轴的

y=tsma

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Q

正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为系==、直线/与曲线C相交于A,8两点，

5-3cos2。

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若AM=2M8,求直线/的斜率.

18.在直角坐标系xOy中，曲线G的方程为V+(yT)2=LP为曲线G上一动点，且O2=2OP,点。的

轨迹为曲线c°.以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.

⑴求曲线c-G的极坐标方程；

(2)曲线G的极坐标方程为。2=二9/，点〃为曲线C3上一动点，求|M2|的最大值.

参考答案与解析：

I.A

【分析】利用圆的极坐标方程，结合直线的极坐标方程进行求解即可.

【详解】在极坐标系中，圆P=2cose的圆心为(1,0),半径为1,如图所示:

TT

所以该圆的垂直于极轴的切线方程为：或夕cos，=2,

故选：A

2.D

【分析】将参数方程化为普通方程即可得到结果.

【详解】由参数方程可得曲线普通方程为：V=x,••.曲线为抛物线.

故选：D.

3.A

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fx2+y2=p~2

【分析】利用直角坐标与极坐标的互化公式x=pcos。,即可得到答案.

y=psind

【详解】由曲线的极坐标方程?<皿6-夕=0,两边同乘夕，pT#p2(psin0-l)=O,

222

厂+y=p~

再由<X=PCOS。,可得：(％2+)，)(丁-1)=0=12+,2=。或、=1,

y=psind

故选：A

4.D

【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，根据直角坐标方程可得答案.

【详解】由tan9=l及tanO=2,可得x-y=0,该方程表示直线；故A不正确；

X

由夕sin，=l及夕sin〃=y,可得y=l,该方程表示直线；故B不正确；

由。及tan，=2,x>0,得y=1x,x>o,该方程表示射线；故C不正确；

由0=已及得/+户长］，该方程表示圆；故D正确.

故选：D

5.A

【分析】极径夕=|。儿极角6满足tan6=?,但要注意点？所在的象限.

故选：A.

6.D

【分析】根据圆的参数方程可设。=#sin。，b=Rcos。,再用二倍角公式整理计算.

【详解】Va2+b2=6>不妨设〃=J^sin。，b=76cos0

则ab=6sin6cos，=3sin28£[-3,3]

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故选：D.

7.B

【分析】设点P(26cosa,4sina)(0<a<?|,由已知条件可得出关于sine、cosa的方程组，解出sine、

cosa的值，即可得出点P的坐标.

【详解】设点尸(2月cosa,4sina10<a<g],%,=%一=^tana=g

'2；273cosa33

所以，tana=二

2

sina1

tana=-----=—

coser2sincr=——

5

所以，sin2er+cos2a=1,解得

2退'

sina>0cosa=----

5

因此,点P的坐标为

故选：B.

8.D

【分析】根据题意，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆的位置关系，直接列公式求出弦

长即可

【详解】由已知，Osin=将极坐标方程化为直角坐标方程，可得x-y+2=0和/+丁=16,

圆心到直线的距离"=/=&，故£=2,心-储=2716-2=2V14

故选：D

9.B

【分析】转化椭圆与圆上的动点的距离的最大值即可

【详解】复数4在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在(-1,0),(1,0)的椭圆，方程为1+丁=1；

复数4在复平面的对应点的轨迹为圆心在(0,2),半径为2的圆，方程为r+(),一2)2=4,

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圆心C(0,2)的距离的最大值加半径.

设A(&cossin0).

|OC|2=2cos2e+(sin6-2)2=2cos2S+sin?6-4sine+4

=6—sin2夕一4sin，=-(sin6>+2)2+10G[1,9|

所以|OC|£[1,3].

[z]—zj=3+2=5

I14Imax

故选：B

10.D

【分析】分别设A(2cos6,2sine),82cos(6+等,2sin(^+—jj,cl2cos(0+4TT,2sin(e+^)),计算

T

X；+考+x；,利用三角函数化简即可.

【详解】因为三角形ABC为正三角形，

所以设A(2cos6»,2sin(9),32cos(9+与),2sin］，+,

cf2cos^+^,2sin(e+t

21+4cos2(e+普

故X：+*=4COS2^+4COS20+

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2

—sin0、2+4(」cos6+且sin，

=4cos?e+4cos0-

22J22

=4cos*+cos?，+3sin29+cos2^+3sin2^

6(cos2^+sin2^)=6,

故选：D

【点睛】关键点点睛：根据A,B,C在圆上且构成正三角形A8C设三点坐标为

A(2cos8,2sin,B[2cos夸)2sin(8+・),2sin(e+号))，是解题的关键.

[o+C2cose+

11.(1,-1)

x=3x

【解析】由伸缩变换得，1即可求出.

y=2y

[x'=3x卜'=3%

【详解】设A。，，V),由伸缩变换仍°,得到，1,

[2y=yly=-y

由于点A的坐标为(g,-2),于是_/=3*；=1,丫'=?(-2)=-1,

所以”的坐标为(1,-1).

故答案为：(1,-D.

12.—+/=1

5-

【分析】根据si/c+cos2a=1消去参数，即可得到曲线的普通方程；

【详解】解：因为曲线C的参数方程为[x=^c°sa(其中a为参数),

y=s\na

又sin，a+cos2a=1,所以曲线C的普通方程为+y2=1；

5

故答案为：y+r-1

13.V13

【分析】把参数方程化为普通方程，并判断曲线形状，进而得出曲线的长度.

fX=l+2r?rIri

【详解】参数方程＜..□为参数，re0,1),消去，得3x-2y-9=0,xe1,3,

[y=-3+3r

其表示一条线段，线段的两个端点分别为(1，-3),(3,0),

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线段的长度为J(l-3)2+(-3-0)2=g.

故答案为：A/15.

14.

y+2_>'-(-2)

【分析】根据参数方程求出动点(x,)，)的轨迹方程,可看成点(-2,—2)与点(x,y)连线斜率,

x+2x-(—2)

数形结合即可求解.

X=y[ty«

【详解】由y_2«7消去参数/可得/+]=1(工20»20)，

则M(x,)，)的轨迹为椭圆在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点),

y+2y-(-2)

77r7r的可看成点A(-2,-2)与点M(x,y)连线斜率,

如图，8(1,0),C(0,2),

y+2_y-(-2)2

----=----7--r£[2八8，240]=§，2,

X4~2X-(-2)

故答案为：I，2.

15.(1)x2+(y-2)2=4；(2)(x-l)2+y也;⑶，亭

【分析】由极坐标与直角坐标之间的转化关系求解即可.

【详解】(1)夕=4sinen/?2=4psin^=>x2+y2=4y=>x2+(},-2)2=4；

(2)p=sin，+2cos〃n/?2=psin^+2/?cos^=>x2+y2=y+2xn(x-l)-+(y-g)

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（3）®==

6-3

【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，属于基础题.

16.（1）表示以原点为圆心，『为半径的圆；（2）表示以（。力）为圆心，r为半径的圆.

【分析】消参法：同角三角函数的平方关系消去cos。,sin。，将参数方程化为一般方程，即可判断方程所代

表的曲线.

fx=rcosO

【详解】⑴./化为（n

[y=rsind

x=rcos0

一（其中「是正常数，，在。2兀）内变化）表示以原点为圆心，〃为半径的圆.

y—rsin0

化为(…Mi)”，

Ay=：b+rs吗in0,\\/

x=a+A*cos9

一人.；，表示以（a,b）为圆心，，•为半径的圆.

y=b+rs\nO

17.(1)—+/=1

⑵等

x=pcosd

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化y=「sin。,运算求解；（2）联立直线/的参数方程和曲

P2=x2+y2

线C的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.

,..2=8________________8________________4

222222

【洋解】（1）P-5-3COS26»-5（cos6>+sin6>）-3（cos61-sin0）~cos6>+4sin（则

p2cos20+422sin26^=4,

2

/.x2+4/=4,即亍+y2=i,

故曲线。的直角坐标方程为二+丁=1.

4

（2）将直线/的参数方程为卜=G+'c°saG为参数）代入曲线C的直角坐标方程为《+y2=],得

y=Zsina4

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2

+/cosa

+(/sina)-=1

4

整理得(cos%+4sir|2+(2百cosa)/-1=0,

设A,B两点所对应的参数为乙/，则4+/,=--26cosa,，柱=一_._1_—

cos"a+4sinacosa+4sina

''AM=2MB>则L=-2,2,

4Gcosa

(\=~2t2

cos2a+4sin2a

联立」2>/3cosa，解得

A+t2=------------.2—26cosa

cos~a+4Asin~a

cos2a+4sin2a