高中数学 第05讲函数与方程综合问题

第五讲函数与方程综合

A组

一、选择题

pXY<0

1.(2018全国卷I)已知函数/(x)=''g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则。的取值范围

Inx,x>0,

是()

A.[—1,0)B.[0,+oo)C.[—1,+co)D.[l,+oo)

【答案】C

【解析】函数g(x)=/(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程/(x)=—X—。有2个不同的实根，

函数/(%)的图象与直线y=-x-a有2个交点，作出直线y=-x-a与函数/(x)的图象，

如图所示，

-2才、

由图可知，一aWl,解得故选C.

2.已知实数a,b满足2a=3,3"=2,则函数/(x)=a*+x—Z?的零点所在的区间是()

A.(-2,-1)B.(-l,0)C.(O,l)D.(l,2)

【解析】•.•2"=3,3h=2,a>\,0</?<1,又：/(力=优+x—8,

/(0)=1-/7>0,从而由零点存在定理可知/(x)在区间(—1,0)上存在零点.故选B.

3.已知函数/(x)=|x-2|+l,g(x)=Zx.若方程〃x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数上的取值范围是

A.(0,—)B.(—,1)C.(1,2)D.(2,+oo)

2,2

【答案】B

【解析】如图所示，方程/(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可

知，当直线丁=依的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线y=x-l的斜率时符合题意，故选

2

4.设函数/(x)=；x-lnx,则函数/(x)()

A.在区间(±1),(l,e)内均有零点B.在区间(±1),(l,e)内均无零点

ee

C.在区间(L1)内有零点，在(l,e)内无零点D.在区间上,1)内无零点，在((l,e)内有零点

ee

【解析】/(幻=』大一加工的定义域为(0,+00),故/(x)在(0,3)上递减，又

33x

/(l)>0,/(l)>0,/(e)<0,故选D.

e

5.已知函数/(x)满足：/(x+1)=-/(%),且/(X)是偶函数，当x«0,l]时,/(x)=x2,若在区间[一1,3]内,

函数g(x)=/(x)-Ax-氏有4个零点，则实数攵的取值范围是()

A.(0,+oo)B.^0,—C.^0,—D.—

【解析】由/(x+l)=—/(x)n/(x)的周期为2,又/(力是偶函数，且xe[0,l]时，/(x)=f,故可示意/(幻

在[一1,3]上图象，g(x)=/(x)-攵x-女有4个零点转化为函数/(x)与y=k0+1)在xe[-1,3]上有4个交点，

由图象知Ze(0,L],故选C.

6.已知方程9,一2-3,+3左一1=0有两个实根，则实数上的取值范围为()

2,122

A.[y,l]B.(―,—]C.[y,+oo)D.[l,+oo)

【解析】设1=3*,原题转化为函数g(f)=y-2r+3左-1在fe(0,+oo)上有两个零点(可以相同)，则

4—4(31)20

12

<2>0解得忆故选B.

32-1>0

JC+[

7.(2016高考新课标2卷理)已知函数/'(x)(xeR)满足/(—x)=2-/(x),若函数y=——与y=/(x)图像的

x

交点为(不乂),(/，%)，…，(七则Z(%+%)=()

i=l

A.0B.mC.2mD.4m

【解析】由于/(—x)+/(x)=2,不妨设/(x)=x+l,与函数丁=三x+]=1+、1的交点为(1,2),(—1,0),故

X+[

%+赴+%+%=2,故选B.(客观上函数y=/•(》)与丁=——有共同的对称中心(0,1),所以它们的所有交点

x

关于(0,1)对称

二、填空题

TT

8.(2018年全国卷IH)函数/(x)=cos(3x+—)在[0,%]的零点个数为_______.

6

【答案】3

jrjrjrjrk^TT

【解析】由题意知，cos(3x+—)=0,所以3x+—=—+A万，k",所以1=—+—,ZeZ,当人=0时,

66293

jr47r

%=-；当攵=1时，x=—；当攵=2时，x=—,均满足题意，所以函数/(幻在[0,1]的零点个数为3.

999

9.(2017年高考全国3卷理)设函数f(x)=pL则满足八x)+/(x」)>l的x的取值范围是__________

2Sx>0,2

【答案】V

3

2xH—，冗W0

2

【解析】由题意：g(x)=/(x)+/(x—g]=.2*+x+；,0<x«g

函数g(x)在区间

(V2+l)2x-,,x>1

-00,0],[o,g],[g,+8)三段区间内均单调递增，且:8(一；卜1,2。+0+；>1,(0+1卜2。7>

据此X的取值范围是：(-：，+8

10.若函数氏0=6=N-x-m无零点，则实数，〃的取值范围是.

【解析】原题转化为函数了=/1=7所表示的上半圆与斜率为1的平行线系y=x+加没有公共点的问题,

画图，可得"2V—1或根>J5.

11.设常数4使方程Sinx+Gcosx=〃在闭区间［0,21］上恰有三个解X］,%2，%3，则玉+X2+X3=-

【解析】原方程可变为a=2sin(x+7Tg),作出函数y=2sin(x+T1T)的图象，再作直线y=a,从图象可知

函数y=2sin(x+工)在［0,生］上递增，在［巳,二］上递减，在「生,2%］上递增，只有当。=百时，才有

36666

JI

三个交点，X］=0,工2=—，&=2乃，所以玉+工2+入3=一

33,

12.(2016高考山东卷理)已知函数f(x)=P：l'X~m其中机>0,若存在实数b,使得关于X的方程

［x~-2mx+4机,x>m

/(x)=。有三个不同的根，则机的取值范围是.

【解析】画出函数图象如下图所示:

由图所示，要/(x)=匕有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即

|/?i|>nr-2m-m+4m,m2-3m>0,解得加>3.

13.(2018年高考上海卷)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地

上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%(0<x<100)的成员自驾时，自驾群体的人均

通勤时间为

30,0<xW30,

f(x)=\1800(单位：分钟),

2x+-^-90,30<x<100

而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题:

⑴当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

⑵求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义.

【解析】(1)当0<x<30时，/(x)=30<40恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人

均通勤时间；当30<x<100时，若40</(力，即2x+幽-90>40,解得x<20(舍)或x>45；

X

・••当45Vx<100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

⑵设该地上班族总人数为〃，则自驾人数为〃・x%,乘公交人数为〃・(1-1％).

30•〃•x0/o+40•〃•（1-x%）

0<%W30

n

因此人均通勤时间g(x)='1800，整理得

（2xH---------90）-n•X0/Q+40•〃•（1一x%）

-----------------------------------------------,30<x<100

n

X

40一一0<xW30

,、10

gQ)=j，

表(x-32.5)2+36.875,30<x<100

则当xe(0,30]U(30,32.5],即xe(0,32.5]时，g(x)单调递减;

当xe(32.5,100)时，g(x)单调递增.

实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短.

适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现.整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使

得整体效率下降.

B组

一、选择题

1.设函数/(x)=L,g(x)=-x2+bx.若y=/(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点

X

A(%，M),BC3y2)，则下列判断正确的是()

A.X)+x2>o,y+%>°B.%+工2>°，为+y2Vo

C.%1+x2<0,X+>2>°D.X,4-X2<0,凹+>2<°

【解析】依题意，示意图象，可知玉+々>0,且和马异号，而X+〉2=±j<0,故选B.

中2

2.己知函数/(x)=xe'-ax-\,则关于/(x)的零点叙述正确的是()

A.当a=0时，函数/(幻有两个零点B.函数/(x)必有一个零点是正数

C.当a<0时，函数/(幻有两个零点D.当a>0时，函数/(幻只有一个零点

【解析】函数/(x)=x/—ax—1的零点可转化为函数丫=产与旷=。+'图象的交点情况研究，选B.

X

3.己知函数_/(x)=2/nN—2(4—m)x+l,g{x)=mx,若对于任意实数x,/(x)与g(x)的值至少有一个为正数,

则实数加的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-oo,0)

【解析】依题意，加=0不符；m<0时，则对于Vxe[0,+8),当xf+DO时，显然/(x)<0,不符；加>0时，

4-m,八

4--m----0

则对于V%£(—8,0],/(x)>0,由/(0)=1>0,需对称轴：％=-----〉0或〈2m,

2mo

4(4-m)~~Sm<0

解得xc(0,8),故选B.

4.函数/(尤)=电(凶+1)—51!12%的零点个数为()

A.9B.10C.11D.12

【解析】示意函数y=lg(|x|+1)与y=sin2x的图象可确定选D.

.71

5.已知函数/(x)=/(万工)-1，"<°的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是

log“x(a>0,aw1),x>0

()

A.(0,争B.g」)C哼，D.D.(0,当)

jrx

【解析】依题意，需要/(x)在y轴左侧图象对称到y轴右侧，即广=sin(—卷)—l(x>0),需要其图象与

/(%)原y轴右侧图象至少有3个公共点，a>1不能满足条件,只有0<a<l,如图，

:〕」；:

-1

此时，只需在x=5时，y=log“x的纵坐标大于一2,即log“5>-2,得0<。<方一.

6.已知实数f(x)=1e*'X->(')若关于x的方程/2(元)+/(外+^=0有三个不同的实根，则f的取值范围为

lg(-x),x<0,

()A.(-oo,-2]B.[l,+oo)C.[-2,1]D.(-oo,-2]U[l,+°o)

【解析】做出函数/(x)的图象，如图所示，由图可知，当机21时直线y=m与/(x)的图象有两个交点，当机<1

时直线y=m与/(幻的图象有一个交点，题意要求方程/2(幻+/(幻+，=0有三个不同的实根，则方程

M+机+/=0必有两不等实根，且一根小于1,一根不小于1,当l+l+f=0,即r=—2时，方程相z+m―2=0

的两根为1和一2,符合题意；当1+1+/<0,即r<—2时，方程机2+m+/=0有两个不等实根，且一根小于1,

一根大于1,符合题意.综上由，<一2.

2

7.(2018年江苏卷)若函数/(X)=2--ax+l(aeR)在(0,不»)内有且只有一个零点，则/(x)在[-1,1]上的最大

值与最小值的和为.

【答案】-3

a/a、

>2A~•L//A———-I-•v

【解析】由f(x)=6x-2ax=0得3,因为函数f(x)在(0,+8)上有且仅有一个零点且f(o)=l,所以3⑶，

aa

2(-)3-a(-)2+l=0,a=3.._“小

因此33从而函数f(x)在-1，0】上单调递增，在10』上单调递减，所以ftl凶max-t(U)，

f(x)mm=rnin{f(-l),f(l)}=ff-l),f(x)max+f(x)min=f(0)+f(-i)=1-4=-3.

8.设函数/(x)=<2"，x<l.

4(x-a)(x-2a),x>1

(1)若。=1,则/(x)的最小值为；(2)若/(幻恰有2个零点，则实数。的取值范围是.

【解析】(1)当a=l时，若x<l,/(x)e(-l,l)；当时xNl,/(X)=4(X2-3X+2)=4(X--)2-1,则x=2

时，/(x)min=-L(2)aw。时，/(x)无零点；不符；0<a<；时，/(x)有一个零点；;4。<1,符合；lWa<2,

/(x)有3个零点；a>2,符合.综上得;4a<1或aN2.

3

X'X<〃

9.已知/(x)="{.J-，若存在实数b,使函数g(x)=/(x)-b有两个零点，则。的取值范围是.

x,x>a

【解析】由题意，问题等价于方程/=伙140)与方程/二/》〉.)的根的个数和为2,

‘£

<a

若两个方程各有一个根：则可知关于。的不等式组]、历>。有解，・・・。2<匕</,从而。>联

-\[b<a

若方程无解，方程12=伙工>〃)有2个根：则可知关于人的不等式组有解，从而

-4h>a

〃<o,综上，实数。的取值范围是(一8,o)ua+8).

10.已知函数〃x)=I九2+3耳，xeR.若方程/(x)-a\x-[=0恰有4个互异的实数根，则实数。的取值范围

为.

【解析】在同一坐标系中画f(x)=\x2+3x|和g(x)=小-1|的图象(如图)，问题转化为

/(X)与g(x)图象恰有四个交点•当y=a(x-1)与y=/2+3犬(或y=-a(x-1)与y=-3x)相切时，

/(x)与g(x)图象恰有三个交点.把y=a(x-1)代入y=x2+3x,得x2+3x=a{x-1),即

x2+(3-a)x+a=O,由△=(),得(3-a)~-4a=0,解得a=l或Q=9.又当a=0时，/'(x)与g(x)仅

两个交点，或Q>9.

三、解答题

ex2

1L设函数/(%)=一"-左(一+lnx)(%为常数，6=2.71828…是自然对数的底数).

xx

(I)当后WO时，求函数/(x)的单调区间;

(II)若函数/(x)在(0,2)内存在两个极值点，求攵的取值范围.

【解析】(I)函数y=/(x)的定义域为(0,+8),

k(x-2)_(x-2)(eA-kx)

/(x)=

由ZWO可得，—京〉0,所以当xe(0,2)时，/(x)<0,函数y=/(x)单调递减,

当xe(2,”)时，/,(x)>0,函数y=f(x)单调递增.

所以/(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+8).

(II)由(I)知,攵<0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减,

故/(幻在(0,2)内不存在极值点；当％>0时，设函数g(x)=e*-丘,xe[0,+oo),

因为g(x)=e—=产--

当0<女<1时，当xe(0,2)时，g'(x)=e'—左>0,y=g(x)单调递增，故/(x)在(0,2)内不存在两个极值点;

当%>1时，得xe(0,ln6时，g'(x)<0,函数y=g(x)单调递减，

xe(In-+oo)时,g(x)>0,函数y=g(x)单调递增，

所以函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(l—In/:),函数/(x)在(0,2)内存在两个极值点；

'g(0)〉0

g(lnk)<02

当且仅当4,解得e(人<e幺，

g⑵>02

0<InA:<2

e1

综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e,—).

2

C组

一、选择题

222

1.记方程①:x+a^x+\=0,方程②：x+ax+2=0,方程③：x+a3x+4=0,其中4,外,%是正实数.当q,生,外

成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是()

A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根

ar4<Q

24

【解析】按D考虑，则由n<把=16=>〃；一16<0,故选D.

=a''

4，。2，。3〉0

2.若。力是函数/6)=/一〃彳+4(〃〉0国>0)的两个不同的零点，且兄。,_2这三个数可适当排序后成等差数列,

也可适当排序后成等比数列，则〃+4的值等于()

A.6B.7C.8D.9

a+b=p

【解析】依题=q得。>0/>0,则。力,一2这三个数适当排序排成等比数列必有次?=4,

p,q>0

。=43a=\

a.b-2这三个数适当排序后成等差数列应有。一2=2b^b-2=2a,解得,或<

bf=\b=4

则〃=5,q=4,故p+q=9,选D.

2-|x|,x<2,

3.己知函数={2函数g(x)=8-/(2_x)，其中若函数y=/(x)_g(x)恰有4

(x-2)~,x>2,

个零点，则h的取值范围是()

-2—|x|,x<2>,2得T2—12-x|,x0

【解析】由/(x)=<

x2,x<0

2-国+x2,x<0x-x+2,x<0

即

所以y-/(x)+/(2—x)=<4-|x|-|2-x|,0<x<2,y=/(X)+f(2_x)=(2,0<x<2

2-12-x|+(x-2)~,元〉2x2-5x+8,x>2

y=f(x)-g(x)=/(%)+/(2-x)-。,所以y=/(x)-g(x)恰有4个零点等价于方程

/(幻+/(2-％)-力=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=/(尤)+/(2—X)的图象的4个公共点，由图象

7

可知一<匕<2.故选D.

4

4.定义在(l,+oo)上的函数/(x)满足下列两个条.件：(1)对任意的xe(I,+o。)恒有/(2x)=2f(x)成立；(2)当xe(1,2］

时，f(x)=2-x.记函数g(x)=f(x)-k(x-i),若函数g(x)恰有两个零点，则实数%的取值范围是()

A[1,2)

【解析】,对任意的xe(l,+8)恒有/(2x)=2/(x)成立，且当xe(l,2］时，/(x)=2-x,

/(*)=一1+2"犬6(女》］.由题意得/(幻=左。—1)的函数图象是过定点(1,0)的直线，如图所示红色的直线与线

4

段AB相交即可(可以与B点重合但不能与A点重合)，可得k的范围为A<2.

3

5.设函数/(x)在R上存在导数尸(x),VxeR,W/(-%)+f(x)=x2,在(0,+8)上f(x)<x,若

/(4-m)-/(m)>8-4m,则实数机的取值范围为()

A.[—2,2]B.[2,-Ko)C.[0,4-00)D.(―oo,-~2]|J[2,+00)

10

【解析】设g(x)=/(幻―5/,依题g(_x)+g*)=O,则g(x)是奇函数，又在。+8)上/(x)<x,可判断g(x)

在R上递减，不等式/(4一根)-/(〃?)之8-4〃z可转化为g(4。2g(m),则4一加工机，得mN2,

故选B.

logi(x+l),xe[0,2)

6.定义在R上的奇函数/(x),当x»0时，/(%)={3,则关于％的函数

l-|x-4|,xe[2,+oo)

/(幻=/(幻一。(0<。<1)的所有零点之和为()

A.3"-1B.1-3"C.3一"一1D.1一3一"

log,(x+1)e(-1,0],x6[0,2)

3

【解析】由题意得：/U)=l-|x-4|e(-co,l],xe[2,+oo)，所以当时y=f(x)与y=a有五个交点，

log3(l-x)e(0,l),xe(-2,0)

|X+4|-1G[-l,+oo),x€(-00,-2)

其中丫=1-|X一4|/€[2,«»)与'=4的两个交点关于；<：=4对称，和为8；y=|x+4|-l,x€(T»,-2)与y=a的

两个交点关于x=T对称，和为-8；y=1og3(l-x),xw(-2,0)与y="的一个交点，值为]_3"；因此

所有零点之和为1_3"，故选民

二、填空题

[x-4,x>A

7.(2018年高考浙江卷)已知/ISR,函数/(x)=2，当M2时，不等式/(x)<0的解集是

[x2-4x+3,x<A.

.若函数/(x)恰有2个零点，则入的取值范围是.

【答案】(1,4)(l,3]u(4,+oo)

x-4.x>2

【解析】"2,"加人-2

当xN2时,x-4<0^2<x<4.

当x<2时，x1-4x+3<Q,^§l<x<2.

综上不等式的解集为l<x<4.

当)，=/一4乂+3有2个零点时，A>4.

当)，=/一4x+3有1个零点时，y=x-4有1个零点，1<之工3.

.•.1<A<3=^A>4.

-l,0<x<2,

8.已知函数f(x)是定义在(—8,0)U(0,+8)上的偶函数，当x>0时，/1(x)=4l二、一二，则函数

-f(x-2),x>2,

g(x)=2/(x)—1的零点个数为个.

【解析】函数g(x)=2/(x)-l的零点个数等价于函数y=/(x)的图象与直线y=；的图象的交点的个数.由己知

条件作出函数y=/(x)的图象与直线y=g的图象，如下图.由图可知，函数y=/(x)的图象与直线y的图

象有6个交点.

9.已知函数/(%)=加-3/+1,若存在唯一的零点/,且%>0，则a的取值范围是.

【解析】令内3—3/+1=0,得。=_(上1)3+巳3，设上1=f,即“=—尸+3£,原问题转化为直线y=a与函