江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第4章数列测评苏教版选择性必修第一册

第4章测评

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.等差数列缶1的首项为1,公差不为o,若%,%，%成等比数列，则缶」的前6项和为（）

A.-24B.-3C.3D.8

1

2.在等比数列(aJ中，Q3=1，叱"9=16，贝Jc：9=()

A.8B.-8C.16D.-16

3.已知数列层?是等差数列，且叱=1,、二一；,那么0am=()

A10101&10c2019n2019

A.1Dn.—C.11).一，

1011101120212021

4.在等差数列中，％=-2022,其前k项和为$.，若合一*=2,则$一=（）

A.2021B.-2021C.-2022D.2022

5.已知等差数列缶」的前n项和为5.，若57>。，5g<0,则字的取值范围是（）

A.1-3,+8）B.3.+8）

C（"?-3）D.（一*）

6.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1,1,2,3,5,8,13,21,

34,55,89,144,…这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中奇数的个数为（）

A.1012B.1346C.1348D.1350

7.将数列｛2n—1］中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个

数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，.一进行排列：⑴,（3,5）-

（7,9,11,13）,（15,17,19^1^3^5,27,29），....则下列结论正确的是（）

A.第10个括号内的第一个数为1025

B.2021在第11个括号内

C.前10个括号内一共有1025个数

D.第10个括号内的数字之和5—）

8.已知数列的前林项和为5.,丐=1，（4=3,且Sgi+S-I=2"+2SK“N2），

若依一QD+2+7之（2—4对任意的neAT都成立，则实数2的最小值为（）

A.—B.C.—D.1

21632

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.记S.为等差数列（aJ的前71项和，若4+3牝=S：，则以下结论一定正确的是（）

A.a4=aB.S.的最大值为力c.51=5,D.|a3|<|as|

10.数列加J的通项公式满足个=肥5€AT），下列描述正确的有（）

A.当k时，数列（a』一定有最大值

B.当*=:时，数列［an］为递减数列

C.当kW（0,；）时，数列（a/为递减数列

D.当*€（0口），且W为整数时，数列｛a』必存在两项相等的最大项

11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.

“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第H层有a”个球，从上

往下”层球的总数为《，记“，=（-DYj+i-an），则（）

A.a.“一。n二〃+1B.g+与+…+bjQ=20

C.5“一S“T=四旦,n>2D.2的最大值为三

12.己知是数列3」的前项和，2则（）

nSB41=-5„+n，

A.an+-2n-l（n>2）

B

-。一：-an=2

C.当巴=0时，5；0=1225

D.当数列g.j单调递增时，01的取值范围是（一:,3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知数列（aj的前兀项和为且满足2a”+5*—3，则勺的值为.

14.设缶」是首项为1的正项数列，且（n+2Mli—V+则通项公式

Q=.

，:

15.已知数列｛a“）满足/.、一（―1Ian-3.n-1>前16项和为540,贝=.

16.[2021新高考I]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把

纸对折，规格为20dm,x12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm,x12dm，

20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和其=240dm：,对折2次共可以得到

5dmX12dm，lOdm.x6dm，20dm.x3dm三种规格的图形，它们的面积之和

S：=180dm2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折几次，那

么£5*=dm'.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列gj和满足、=2，瓦=1>a=

n+12an>

bb

i+/+l3+•”+：%=bB+1-1

A9n

（1）求a.与儿；

（2）记数列（。〃4）的前几项和为〃，求晨.

18.（12分）设数列（a.）满足/=30n.i=3%—4n.

（1）计算猜想缶」的通项公式；

（2）用数学归纳法证明上述猜想，并求加」的前兀项和

19.（12分）已知数列1alJ中，0t=1，a,=2>=30M—2a.i（R12,R€JV），

设k・%.

（1）证明：数列（"J是等比数列;

（2）设数列3J的前n项和为S”，求

设，=______0-1______,设数列｛Cj的前”项和为心，求证：J<1

20.（12分）某中学有在校学生2000人，没有患感冒的同学.由于天气骤冷，在校学生患流

行性感冒人数剧增，第一天新增患病同学10人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9

人.由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情.从第8天起，新增患

病同学的人数均比前一天减少50篁，并且每天有10名患病同学康复.

（1）求第n天新增患病同学的人数a<l<13,n6N）

（2）按有关方面规定，当天患病同学达到全校人数的15置时必须停课，问该校有没有停课的

必要？请说明理由.

21.（12分）已知数列满足片工r/+L急

（1）若入-1,

①求数列01的通项公式；

②若k=OWG+i）求（"J的前”项和二.

（2）若，=2，且对Vn£lC，有0<a.<l，证明：-011V三二

22.（12分）设Itwir,若无穷数列｛aj满足以下性质，则称（aj为Q数列:

①(4一-a.-i)>0(«€AT且n>2)

|an—a匕的最大值为

（1）若数列｛aJ为公比为q的等比数列，求q的取值范围，使得加」为Ck数列.

（2）若数列［a［满足：VnwAT，使得a,成等差数列.

①数列（aj是否可能为等比数列？并说明理由.

②记数列他J满足耳=%_「数列&）满足，=%，且%>%，判断与（qj的单

调性，并求出|a“一a『：|=k时，n的值.

第4章测评

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.A

2.A

3.B

4.C

［解析］因为数列Sn］为等差数列，故5n="生，则为=中.当HN2时，吗=占字4

则为■蚪=空3-冲口=岑二，所以数列四是等差数列，设其公差为d,又

兀n122.一

W-&=2d=2,所以d=l.又*=5=-2022,所以占=-2022+n-l=-2023

10811n.

所以』=-2023+2022=-1,即£皿2=-2022.故选C

3V22卬“

5.C

［解析］由题意得，S-='dJ♦7a4>0,则a.>0因为%=细0=4a+%）<0,

22

可得04+05<0,则OsV-a+C。.设等差数列1%«］的公差为d,则d=a5-a.<0,由题意

得性：血♦乎>».C可得-Z<-<-3.即上的取值范围是（-N,F故选C

区+%=21+7d<0,2ddk2"

6.C

［解析］由已知可得为奇数，为奇数，。3为偶数•因为+；ar,所以A为奇数，a$

为奇数，％为偶数，一所以为奇数，。力+2为奇数，CIMH为偶数.又2022=3x67%

故该数列的前2022项中共有1348个奇数.故选C.

7.D

［解析］由题意可得，第n个括号内有2RT个数.对于A,由题意得，前9个括号内共有

1+2+2:+-+28=—^29-1511（个）数，所以第10个括号内的第一个数为数列

1-2

（2n-I）的第512项，所以第10个括号内的第一个数为2x512-1=1023,故A错误；对于C,

前10个括号内共有1+2+22+…+29=三一=2W-1=1023（个）数，故C错误；对于B,

令2n-1=2021,得n=1011,所以2021为数列｛2n-1）的第1011项，由A,C选项的分

析可得2021在第10个括号内，故B错误；对于D,因为第10个括号内的第一个数为

2x512-1=1023,最后一个数为2x1023-1=2045；所以第10个括号内的数字之和为

S=1KtM=2®x1534E（2M,2*）,故D正确.故选D.

8.C

［解析］数列｛aj的前口项和为5.,也・£且Sn“+SnT=2n+25n（»lN2）,所以

1

51a.i-Su=2*+51r故0^14-a1t=Z.因为gj—4=2，所以01t44-0^=2^,

所以^兀一。11T=2"T，an-1-aw-2-一叼一/二外，则

12

i*a-=2+2+«•+2"-^故4t=l+2'+…+2"T=上力=2"-1，所以

5”=2,+2Z+23+-+2"-n=-靠=2"+1-n-2.所以$"一/=2n-n-1

因为4（5.-a.）+4+7N（2对任意的nWAT都成立，所以二）.设

42/max

J=苔，则当》»M4时，>Q•当nN5时，

因此JVQ<Cj<C4<Cg>>C-7>…，即a之Cj=三，故a的最小值为三.故选c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AC

［解析］设等差数列(a"的公差为d.由/+初后=可得的+3(at+4d)=7al+21d,解得

Of=-3d.又由tin=+(n—i)d=(n—4)d,得®<=0，故A正确；因为公差d的正负不能

确定，所以$3可能为最大值或最小值，故B错误；由

=a?+a?，+a*+Qg+a&=5a$=0,得S.=&,故C正确；因为a?+=2a$=0,

所以-=-a6,即111=|%，故D错误.故选AC

10.ACD

［解析］由题意，只需考虑ke(0」〕的情况.由

、<01H4O■•上・<(■+Oft<(II+onV

w

0Vt>01H4on-Jk>(B+1)on>(n+l)Jron>-可知，当k=机寸,=2,

当n>2时，数列｛%｝递减，所以也］一定有最大值，故A正确；当左=沙

di=ja2«2xg)=£故、故数列&］不是递减数列，故B错误；当kE(0,》时，

<1,所以时，数列(。口为递减数列，故C正确；设=W，当n>HI,即

nN切+1时，数列faJ为递减数列，当l»VE时，数列(a”］为递增数列，k=-^,最大项为

am=二j*■g+1)•仁:广’-所以数列(aj必存在两项相等的最大项，

故D正确.故选ACD.

11.ACD

［解析］叼-q=2,aj-aj=3,・z0MaW4i-an^n+L故选项A正确；

因为％nJQkT-aJ=(■!)・&+1),所以

bi+也+…+b2a=-2+3—41+5-6+7―2Q+21=10,故选项B错误；因为

一叼一%=一,所以

%=1,%4=2,3,0n-Oy^i=■,=1+2+3+…+fi=——，

所以当空2时，5.-51=%=专已故选项C正确；言=壬=等，

誓-言=*寓"=所以当n=l时，¥＞黑；当“2时，

2*JK-IJ*jaja-1

工；当时，2〈上，所以当或时，有最大值为三，故选项正

2型=”7n23*”711=2n=32«一|2D

确.故选ACD.

12.ACD

［解析］由题意可知，因为］所以当时，一尸，两式相

5.+=—Sn+M，nN2=—S111Tl+(“1

减可得，故选项正确；且

an4i+*=2h-l(n>2),Aan4：+aW4i=2n♦1,

两式相减可得，因为叫未知，故选项错

an4x+an-2n-l(n>2)，an42-an=2(n32),B

误；当巴=。时，因为所以贝！

2dt+〃=1,=1,

550=(a#+a2)+(A3+&4)+(。5+a—+…+(^49+a50)=1+5+9+…+97=

¥=49x25=1225

，故选项C正确；由a二力=1-2@］+2(n-1)=2n-2al-L

要使数列｛单调递增，则必有

.*=a?+2(n-1)=2♦2a*+2n-2=2n-b2araj

。加-2>。为“>。,且叼>%,所以2ft+2-2a*-1>~--2U［—1,且

—2。］♦1>a「解得一：<的<：,故选项D正确.故选ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1—6

81

14.—5—

Rur^l)

［解析］由、,-得［.因为

Gt+2)0+201H4aM=0，(it+2)0^1+<O=0

所以+所以产所以工，所以

0n>0,(M+2)a“i->UQ0,M=

色*%%3n-2、掾=扁6^21又/=】满足

an=atX-XX*X...X—

0员一a3»w

上式,所以：

15.7

［解析］a..?+(-1)乜j=3n-3当it为奇数时，/乜=。.」+3n—1；当i•为偶数时，

+an=3n-1.设数列gj的前11项和为5.,则

S|6'=a［+c12++,,,+a,6=ai+。3+。5+,,,+a|5+(a；+。$)++(。］4，+%.)=

at+(hj+2)+(A+10)+(d+24)+(at+44>+(ax+70)+(如+102>+

(ax+140)+(5+17+29+41)=8al+392+92=&h+484=540

，解得%=7.

16.5(720-嘿^

［解析］对折4次可得到如下规格：-dmx12dm,；dmx6dm,5dmx3dli1,10dmx-dm^

42?-

20dmx?dm，共5种.由题意得，&=2x120,Sj=3x60,=4x30,S.=5x15,

4,

e12OU+1J-n-129X2,120X3.UBX4,120(，+U

5.=-^，设5==+=+百+A-+~^，则

11：口》：.120-3,1ZC-<诙T氏*4日

-rs=---------+―—+•••+--+——--,两式作差得

2,Z-2s；一泮

齐=240+】206+染~+马-中=240+钾-卓=360-

UOUB("D〜八3(*1)

——----——=360----——

，因此5=720---——=720—一一

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)解由修=2aB，得>.由题意知，当口N1时,，二片一1,故与・2.

当・工2时,机♦:坛+3b$+…十-^^-］1①,

A+3如+衿+-•+：%■>%「1②，一,得，4,■以“_.,整理得法二/，所以

%=力

(2)由(1)知，a„^=-n-2w,因此％,=2+2-22+3・23+…+n-2"@，

2343

2Tn=2+2*2+3，I*，”+ft，2"T④，一，得一，=2+2,+2+…+2"-n，

所以兀=5-42*+'+2-

18.(1)解因为数列:满足%=3，。，:-「二M一一：；*,所以

a2=3^-4x1=3X3—4-S,aj■=3a2—4X,Z=3x3-8=7，由此可猜想

ar=2JI+1.

(2)①当n=l•时，显然成立.

②假设当R=k时，命题成立，即&&=2k+1,则当n=k+l时，

a*M=3a*一砍=3(2Jk+l)-4fc=2k+3=20t+l)+l,所以R=4+1时也成立，

由①②可得，a,.=2n+1.

因为a“”-n*=2(川+1)+1-(2n+1)=2,所以数列[《口是以3为首项，2为公差的等差

数列，所以Sn=ftOi+'0^=3a+W»—l)=j^+2B.

19.(1)证明因为a11rHSag-2。11T(R22*n€N。，Wan4i-a»-2(a„-an-i).

因为1=0^-%,所以h=2ij,kl=a3-a1=L所以数列(4」是首项为1,公比为

2的等比数列.

(2)解由(1)得，点-=遑__，Q=所以当R22时,

-t-I

B»=(aw-«.►-*)+(«»-j-aw-2)+-+药)+叫=2"+2"+->+2+1+1=

I'RTT

------i+1=Li

2-1

,当n=i时也成立，所以、.e.因为鲁=q=i，所以数列是首项为i,公比为

2的等比数列，所以数列(a/的前二项和为S1二>二”=；：*-.]

⑶证明因为％N自由■而必可.2金一S'所以数歹的前

n项科:2+“,+&-&)=2《-急)<2吟=L即心<1

20.(1)解当1WK三乙：三%时，因为%=10,公差为9,所以

%,=40+(n-f),9=9n+L当时，因为叼=64,公比为去

T-11

所以o'0rQ"-«Q"=2«~"，

所以“配,二浜W

(2)该校没有停课的必要.理由：设S.为第n天患病总人数，则当2Wn47时，

1J

S.-511T=口。>0,当813时，S1171tT=%一.=2-«-如.令

-10:>0=>n<9，

=S,—(%+<>2+,—+叼)+/+S—10x2=「**;+<ig+5-20=

?X(^M：4-2s-b24-20=287<2000x15%=300

所以该校没有停课的必要.

2i.(i)①解当a=i时，•因为叱=；>°，所以匕可知、>0,所

以二一=9=3+1,即」一一2=1,所以数列百是首项为2,公差为1的等差数列，

蛔004.1.5

所以L=7J+1»即0.-―---

■«r"1

②由①得所以，》=(三—1)+it{»+OG*+2)=w*+3B*+2#,

所以

q=4+%+%+5+%=1’+3Kl-+2“1+产+3K2-+2x2+3s+3x3-+

2X3+-+n34an2+2n=(P42》+3’$…+n1)+3(1?+岁+3®+…+冷*

2(1七243+…¥n)=咚为2+3x・^--'

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（2）证明当;1=2时，a..1二三J，则j—0aH