2024贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型三 等腰三角形问题（含菱形问题）（课件）

例6如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC.探究1：在抛物线对称轴上找一点P使得△ACP为等腰三角形．解：①若AC为等腰三角形的底边时，AP＝________；类型三等腰三角形问题函数微技能——分类讨论思想确定动点位置一阶PC例6题图①在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)．例6题图①【作图依据】________________________________________________．线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等．如解图①，点P即为所求例6题解图①【方法总结】二次函数中等腰三角形的存在性一般要分____种情况讨论：常以已知边为_______或______讨论；以探究1为例，已知边AC为底时，可以作已知边的____________，所找点即为____________________________________的交点；若已知边AC为腰时，作图方法为：____________________________________________________________，所找点即为________________________________．【思考】若动点在y轴上、x轴上时，确定动点位置有什么不同呢？两腰底边垂直平分线

线段AC的垂直平分线与抛物线对称轴以点A(C)为圆心，AC

长为半径画圆交对称轴于点P⊙A(或⊙C)与对称轴的交点．没有什么不同，一样的方法．②若AC为等腰三角形的腰时，AC＝________或AC＝________；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).例6题图②APCP例6题解图②当AC＝AP时，如解图②，点P即为所求，当AC＝CP时，画出函数图象如解图③，点P即为所求．例6题解图③探究2：在抛物线上找一点E，使得△BCE为等腰三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹)．例6题图③如解图④，点E1，E2，E3，E4即为所求．例6题解图④【作法提示】当BC为等腰三角形的底边时，则CE＝BE，点E1即为所求；当BC为等腰三角形的腰时，点E2、E3即为所求．探究3：在抛物线上找一点E，平面内找一点P，使得以E、P、B、C为顶点的四边形为菱形．在图④中画出所有满足条件的点E、P的示意图(保留作图痕迹)．【作法提示】如解图⑤，当BC为菱形的对角线时，点E、P即为所求；如解图⑥，当BC为菱形的边，且BE为对角线时，点E、P即为所求；如解图⑦，当BC为菱形的边，且CE为对角线时，点E、P即为所求．例6题图④画出函数图象如解图⑤⑥⑦，点E，P即为所求．例6题解图⑦例6题解图⑤例6题解图⑥【方法总结】二次函数中菱形的存在性问题可考虑先转化为等腰三角形的存在性问题，如探究3中，可以先画出△BCE为等腰三角形的点E，再过等腰△BCE的顶点向底边作垂线，然后利用菱形对角线上的顶点关于另一条对角线对称确定点P的位置．设问突破二阶一题多设问例7

如图，已知抛物线

y＝－

x2＋

x＋2与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴与x轴交于点N.例7题图①【思维教练】由于点P在抛物线上，△PCO是以OC为底的等腰三角形，所以点P在OC的垂直平分线上，点P的纵坐标为1，将y＝1代入抛物线表达式求解即可；(1)在抛物线上是否存在一点P，使得△PCO是以OC为底的等腰三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；例7题图①(1)解：例7题图①【解法提示】∵抛物线的解析式为y＝－

x2＋

x＋2，∴点C的坐标为(0，2)，∵△PCO是以OC为底的等腰三角形，∴点P在OC的垂直平分线上，∴点P的纵坐标为1，当y＝1时，－

x2＋

x＋2＝1，解得x＝∴点P的横坐标为

(2)连接AC，在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形，若存在，请求出点E的横坐标；若不存在，请说明理由；例7题图②【思维教练】先设出点E的坐标，由于△ACE是等腰三角形，可分为三种情况讨论：①AE＝AC，②AC＝CE，③AE＝CE，当AE＝AC时还要注意点E分别在点A的两侧两种情况；(2)解：存在．∵抛物线的解析式为y＝－

x2＋

x＋2，∴当y＝0时，－

x2＋

x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∵点A在点B的左边，∴A(－1，0)，B(3，0)，由(1)知C(0，2)，∴AC＝

，△ACE是等腰三角形，分以下三种情况：①当AE＝AC时，AE＝AC＝

，当点E在点A左边时，点E的横坐标为－1－

，当点E在点A右边时，点E的横坐标为

－1；②当AC＝CE时，由三线合一知AO＝EO，∴点E的横坐标为1；例7题图②③当AE＝CE时，点E在线段AC的垂直平分线上，设点E的坐标为(e，0)，由两点之间距离公式得e＋1＝

，解得e＝

，∴点E的横坐标为

.综上所述，点E的横坐标为－1－

或

－1或1或

；例7题图②(3)如图，若点F是对称轴MN上一点，是否存在点F使得△CNF是等腰三角形，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；例7题图③【思维教练】未明确说等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①NF＝NC，②CF＝CN，③FC＝FN分别求解，若有解，则存在，若无解，则不存在；(3)解：存在．∵抛物线的对称轴为直线x＝－

＝1，∴点F的横坐标为1.△CNF是等腰三角形，分以下三种情况讨论：①当NF＝NC时，∵N(1，0)，C(0，2)，∴NC＝

，

∴NF＝

.当点F在x轴上方时，点F的坐标为(1，

)，当点F在x轴下方时，点F的坐标为(1，－

)；②当CF＝CN时，由等腰三角形的性质知点C在线段NF的垂直平分线上，∴NF＝2OC＝4，∴点F的坐标为(1，4)；③当FC＝FN时，例7题图③如解图①，点F在线段NC的垂直平分线上，设CN与其垂直平分线交于点H，∵N(1，0)，C(0，2)，∴点H的坐标为(，1)，直线NC的解析式为y＝－2x＋2，∴设直线HF的解析式为y＝

x＋b，将(，1)代入直线HF的解析式中，解得b＝

，∴直线HF的解析式为y＝

x＋

，当x＝1时，y＝

，∴点F的坐标为(1，

)，综上所述，点F的坐标为(1，

)或(1，－

)或(1，4)或(1，

)；例7题解图①(4)如图，在直线BC上是否存在一点Q，使得△ACQ是等腰三角形，若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；例7题图④【思维教材】未明确说等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①AQ＝CQ；②AC＝AQ；③AC＝CQ，利用线段数量关系结合勾股定理分别求解即可；(4)解：存在．△ACQ是等腰三角形，分以下三种情况：①当AQ＝CQ时，如解图②，作AC的垂直平分线交AC于点T，交直线BC于点Q1，

∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)，∴直线AC的解析式为y＝2x＋2，直线BC的解析式为y＝－

x＋2.设直线TQ1的解析式为y＝－

x＋b′，

∵直线TQ1过线段AC的中点(－

，1)，∴1＝－

×(－

)＋b′，解得b′＝

，∴直线TQ1的解析式为y＝－

x＋

，例7题解图②令－

x＋

＝－

x＋2，解得x＝

，∴点Q的横坐标为

；例7题解图②例7题解图②②当AC＝AQ时，如解图②，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交直线BC于点Q2，设点Q2的坐标为(q，－

q＋2)，∵A(－1，0)，C(0，2)，∴AC＝

，由勾股定理得

，解得q＝0(舍去)或q＝

，∴点Q的横坐标为

；例7题解图②③当AC＝CQ时，如解图②，以点C为圆心，CA长为半径作圆，交直线BC于点Q3、Q4，由②得点Q的坐标为(q，－

q＋2)，AC＝

，∵C(0，2)，∴由勾股定理得

，解得q＝－

或q＝

，点Q的横坐标为－

或

.综上所述，点Q的横坐标为

或

或－

或

；(5)如图，点G是对称轴MN上一点，是否存在点G使得△CGB是等腰三角形，若存在，请求出点G的纵坐标；若不存在，请说明理由；例7题图⑤【思维教练】未明确说等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①CG＝CB，②CG＝BG，③BG＝BC分别求解即可；(5)解：存在．由(3)知抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点G的横坐标为1，设点G的坐标为(1，t)，△CGB是等腰三角形，分以下三种情况讨论：①当CG＝CB时，∵B(3，0)，C(0，2)，

∴BC＝

，∵G(1，t)，∴由两点之间距离公式得

，解得t＝2＋2或t＝2－2，∴点G的纵坐标为2＋2或2－2；②当CG＝BG时，点G在线段BC的垂直平分线上，∴由两点之间距离公式得

，解得t＝

，∴点G的纵坐标为

；例7题图⑤③当BG＝BC时，∵BC＝

，∴由两点之间距离公式得

解得t＝3或t＝－3，∴点G的纵坐标为3或－3.综上所述，点G的纵坐标为2＋2或2－2或

或－3或3；例7题图⑤【思维教练】要求以G、S、B、C为顶点的四边形是菱形时点G、S的坐标，只需以B、C、G为顶点的三角形是等腰三角形，分①当BC为对角线，GB

＝GC；②当BC为边，CB

＝CG；③当BC为边，BC＝BG三种情况，列方程求解即可．(6)若点G是对称轴MN上一点，点S为平面内一点，是否存在点G、S，使得以点G、S、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点G、S的坐标；若不存在，请说明理由．例7题图⑥(6)解：存在．分以下三种情况，①当BC为对角线，GB＝GC时，如解图③，作BC的垂直平分线，交BC于点P，交抛物线的对称轴于点G，以P为圆心，PG长为半径画圆，交垂直平分线于点S，点G、S即为所求，∵B(3，0)，C(0，2)，∴BC中点的坐标为(，1)，直线BC的解析式为y＝－

x＋2，∵以点G、S、B、C为顶点的四边形是菱形，例7题解图③∴BC⊥GS，∴设直线GS的解析式为y＝

x＋d，将(，1)代入直线GS的解析式中，解得d＝－

，∴直线GS的解析式为y＝

x－

，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y＝

，∴点G的坐标为(1，

)，∵将点G向右平移2个单位，向下平移

个单位，即可得到点B，∴将点C向右平移2个单位，向下平移

个单位，即可得到点S，∴点S的坐标为(2，

)；例7题解图③②当BC为边，CB＝CG时，如解图④，以点C为圆心，CB长为半径画圆，交抛物线的对称轴于点G1、G2，作BG1、BG2的垂直平分线分别交BG1、BG2于点H、I，以点H为圆心，HC长为半径画圆，交直线CH于点S1，以点I为圆心，IC长为半径画圆，交直线CI于点S2，点G1、G2、S1、S2即为所求，∵B(3，0)，C(0，2)，∴CB＝

，设点G1的坐标为(1，m)，∴＝12＋(m－2)2＝13，解得m1＝2＋2，m2＝2－2(舍去)，例7题解图④∴点G1的坐标为(1，2＋2)，∴由平移的性质得点S1的坐标为(4，2)，同理可得G2的坐标为(1，2－2)，S2的坐标为(4，－2)；例7题解图④③当BC为边，BC＝BG时，如解图⑤，以点B为圆心，BC长为半径画圆，交抛物线的对称轴于点G3、G4，作CG3、CG4的垂直平分线分别交CG3、CG4于点K、Q，以点K为圆心，KB长为半径画圆，交直线BK于点S3，以点Q为圆心，QB长为半径画圆，交直线BQ于点S4，点G3、G4、S3、S4即为所求，设点G3的坐标为(1，n)，∵BC＝

，∴＝22＋n2＝13，解得n1＝－3(舍去)，n2＝3，∴点G3的坐标为(1，3)，例7题解图⑤∴由平移的性质得点S3的坐标为(－2，5)，同理可得G4的坐标为(1，－3)，S4的坐标为(－2，－1)．综上所述，点G的坐标为(1，

)或(1，2＋2)或(1，2－2)或(1，3)或(1，－3)，对应的点S的坐标为(2，

)或(4，2)或(4，－2)或(－2，5)或(－2，－1)．例7题解图⑤综合训练三阶3.(2023黔东南州24题12分)如图，已知二次函数y1＝－x2＋

x＋c的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx＋b.(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标；第3题图(1)解：∵点A(4，0)在抛物线y1＝－x2＋

x＋c上，∴－42＋

×4＋c＝0，解得c＝3，∴抛物线解析式为y1＝－x2＋

x＋3，

(2分)∵点B是抛物线y1与y轴的交点，∴点B的坐标为(0，3)；(4分)(2)由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；第3题图(2)解：根据图象可知，当x＞4或x＜0时，y1<y2；

(7分)(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．第3题图(3)解：两坐标轴上存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．如解图，取AB的中点C，∵A(4，0)，B(0，3)，∴C(2，

)，过点C作CF⊥AB，交x轴于点E，交y轴于点F.第3题图CFE在Rt△ABO中，AO＝4，BO＝3，

∴AB＝5，∵C是AB的中点，

∴AC＝BC＝

，∵∠ACE＝∠AOB＝90°，∠EAC＝∠BAO，∴△AEC∽△ABO，

∴，即

，

解得AE＝

，

∴OE＝OA－AE＝4－

＝

，此时点P与点E重合，坐标为(，0)．第3题图CFE∵∠FBC＝∠ABO，∠FCB＝∠AOB，∴△FBC∽△ABO，

∴，即

，

解得OF＝

，∴此时点P与点F重合，坐标为(0，－)．综上所述，点P的坐标为(，0)或(0，－)．(12分)第3题图CFE4.(2022黔西南州26题16分)如图，二次函数y＝－x2＋3x＋m的图象与x轴的一个交点为B(4，0)，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．(1)求m的值及C点坐标；第4题图(1)解：将B点坐标代入y＝－x2＋3x＋m，解得

m＝4,∴抛物线解析式为y＝－x2＋