2024贵州中考数学二轮复习专题 题型七 圆的综合题专项训练 （含答案）

22024贵州中考数学二轮复习专题题型七圆的综合题专项训练(黔西南州6考，黔东南州6考，贵阳4考)典例精讲例1(一题多设问)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E为AC边上一点，以AE为直径的⊙O与AB，BC分别交于点F，D，且eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，连接DE，AD.求证：BC是⊙O的切线；例1题图求证：∠DEC＝∠ADC；(3)若∠C＝30°，求证：DE＝2BF；(4)若点E为OC的中点，⊙O的半径为3，求BD的长；(5)若点F是劣弧AD的中点，且CE＝4，试求阴影部分的面积．针对演练1.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，连接BC，点D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，连接AD交BC于点E，点F是BC延长线上一点，连接AF，且EF＝AF.(1)求证：AF是⊙O的切线；(2)若AB＝3eq\r(5)，sinF＝eq\f(\r(5),3)，求CE的长．第1题图2.(2023贵阳23题12分)如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN.第2题图(1)EM与BE的数量关系是__________________；(2)求证：eq\o(EB,\s\up8(︵))＝eq\o(CN,\s\up8(︵))；(3)若AM＝eq\r(3)，MB＝1，求阴影部分图形的面积．参考答案典例精讲例1(1)证明：如解图，连接DO，∵eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∴∠FAD＝∠DAE＝eq\f(1,2)∠FAE，∵∠DAE＝eq\f(1,2)∠DOE，∴∠FAE＝∠DOE，∴DO∥AB，根据题意可知AB⊥BC，∴DO⊥BC，∵OD为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；(2)证明：如解图，∵AE为⊙O的直径，OA＝OD，∴∠ADO＋∠EDO＝∠ADE＝90°，∠ADO＝∠DAO，由(1)可知∠CDE＋∠EDO＝90°，∴∠DAO＝∠CDE，∵∠DEC＝180°－∠C－∠CDE，∠ADC＝180°－∠C－∠DAO，∴∠DEC＝∠ADC；(3)证明：如解图，连接OF、DF，∵∠ODC＝90°，∠C＝30°，∴∠DOC＝60°，∵eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(DF,\s\up8(︵))，∴∠DOF＝∠DOE＝60°，DF＝DE，∴∠ODF＝60°，∵∠ODB＝90°，∴∠FDB＝30°，∴BF＝eq\f(1,2)DF，∴BF＝eq\f(1,2)DE，∴DE＝2BF；(4)解：如解图，∵点E为OC的中点，⊙O的半径为3，∴OC＝2OE＝6，∵OD＝3，∴CD＝eq\r(OC2－OD2)＝3eq\r(3)，∵∠CDO＝∠B＝90°，∠C＝∠C，∴△DCO∽△BCA，∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(AO,CO)，即eq\f(BD,3\r(3))＝eq\f(3,6)，∴BD＝eq\f(3\r(3),2)；(5)解：如解图，连接FO交AD于点G，则DO＝EO＝AO，根据题意点F是劣弧AD的中点，且eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(DF,\s\up8(︵))，∴∠AOF＝∠DOF＝∠EOD＝eq\f(1,3)×180°＝60°，∴△OAF和△ODE是等边三角形，∴∠C＝90°－∠COD＝30°，∴OD＝OE＝CE＝eq\f(1,2)CO＝4，由(1)可知DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，在△ODG和△FAG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OGD＝∠FGA,∠ODG＝∠FAG,OD＝FA))，∴△ODG≌△FAG(AAS)，∴S△ODG＝S△FAG，∴S阴影部分＝S扇形DOF＝eq\f(60π·42,360)＝eq\f(8π,3).例1题解图针对演练1.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠AEC＝90°.∵点D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，∴∠CAD＝∠BAD.∵EF＝AF，∴∠FAE＝∠AEC，∴∠FAE＋∠BAD＝∠AEC＋∠CAD＝90°，∴∠BAF＝90°，即BA⊥AF.∵AB是⊙O的直径，∴AF是⊙O的切线；(2)解：在Rt△ABF中，∵AB＝3eq\r(5)，sinF＝eq\f(\r(5),3)，∴BF＝eq\f(AB,sinF)＝eq\f(3\r(5),\f(\r(5),3))＝9，∴AF＝eq\r(BF2－AB2)＝6.在Rt△ACF中，AC＝AF·sinF＝6×eq\f(\r(5),3)＝2eq\r(5)，∴CF＝eq\r(AF2－AC2)＝4.∵EF＝AF＝6，∴CE＝EF－CF＝2.2.(1)解：eq\r(2)EM＝BE；【解法提示】∵AC为直径，E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△EMB为等腰直角三角形，∴eq\r(2)EM＝BE.(2)证明：如解图，连接AE、EC，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝∠EMA＝90°，∴∠AEM＋∠EAM＝∠AEM＋∠NEC，∴∠EAB＝∠NEC，∴eq\o(EB,\s\up8(︵))＝eq\o(CN,\s\up8(︵))；(3)解：如解图，连接OE、ON、OB.由(1)得，∠ABE＝∠BEM＝45°.∵MB＝1，∴EM＝MB＝1.∴EB＝eq\r(2).在Rt△AEM中，AM＝eq\r(3)，∴AE＝eq\r(AM2＋ME2)＝2.∴∠EAB＝30°，∴∠EOB＝60°.∴△EOB是等边三角形，在Rt△AOE中，AO2＋OE2＝AE2.又∵OA＝OE＝r，∴2r2＝4，解得r＝eq\r(2)，∵eq\o(EB,\s\up8(︵))＝eq\o(CN,\s\up8(︵))，∴BE＝CN.∴△OEB≌△OCN