2024贵州中考数学一轮知识点复习 第17讲 二次函数性质综合题（课件）

例1已知二次函数y＝x2＋2x＋2，配方化为顶点式为_____________，对称轴为___________．(1)当0≤x≤3时，二次函数的最大值是_____，最小值是_____；(2)当－2≤x≤1时，二次函数的最大值是____，最小值是_____；(3)当－4≤x≤－2时，二次函数的最大值是_____，最小值是_____；一题多设问类型一对称性、增减性、最值问题(贵阳2022.24，2023.24)函数微技能一阶y＝(x＋1)2＋1直线x＝－117251102第17讲二次函数性质综合题(4)若将该二次函数的图象沿y轴向下平移m(m＞0)个单位长度，得到新的二次函数图象L.若其在－3≤x≤0的最大值为3，求m的值．(4)设平移后的抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋2－m，∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，|－1＋3|＞|0＋1|，且抛物线开口向上，∴抛物线在x＝－3处取得最大值，则9－6＋2－m＝3，解得m＝3.满分技法对于抛物线y＝a(x－h)2＋k.(1)当抛物线开口向上(即a＞0)时，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标值越大，即函数值越大；(2)当抛物线开口向下(即a＜0)时，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标值越小，即函数值越小．例2已知二次函数y＝x2－2x－3.分析：二次函数的图象与x轴的交点为(____，____)、(____，____)，与y轴交点为(___，___)，对称轴为直线x＝___，顶点坐标为(___，___)．(1)当0≤x≤a时，二次函数的最大值为5，求a的值；设问突破二阶【思维教练】要求a的值，可将最大值5代入函数解析式中，求得对应x的值，通过数形结合确定a的值；－103010－31－4一题多设问解：(1)当x＝0时，y＝－3<5，令y＝5，解得x＝－2或x＝4，∵a>0，∴结合解图①函数图象可得，a的值为4；例2题解图①(2)当－3≤x≤a时，二次函数的最大值为12，求a的取值范围；【思维教练】要求a的取值范围，可将最大值12代入函数解析式中，求得对应x的值，通过数形结合确定a的取值范围；(2)令y＝12，解得x＝－3或x＝5，∵抛物线开口向上，x≥－3，∴结合解图②函数图象可得，a的取值范围为－3<a≤5；例2题解图②(3)当a－2≤x≤a时，二次函数的最小值为a，求a的值；(3)当a＝1时，－1≤x≤1，二次函数在x＝a处取得最小值，即12－2－3＝－4，∵－4≠1，∴a≠1，当a－2＝1，即a＝3时，1≤x≤3，二次函数在x＝a－2处取得最小值，即12－2－3＝－4，∵－4≠3，∴a－2≠1.【思维教练】分类讨论：①对称轴在区间右侧即a＜1；②对称轴在区间内即；③对称轴在区间左侧，即a＞3时；再利用数形结合判断取得最大值时对应的a的值；分三种情况讨论：①当a<1时，如解图③，二次函数在x＝a处取得最小值，则有a2－2a－3＝a，解得a＝或a＝(舍去)；②当a－2<1<a，即1<a<3时，如解图④，二次函数在x＝1处取得最小值，∴a＝－4(舍去)；例2题解图③例2题解图④③当a－2>1，即a>3时，二次函数在x＝a－2处取得最小值，则有(a－2)2－2(a－2)－3＝a，解得a＝(舍去)或a＝；综上所述，a的值为或；例2题解图⑤(4)当a≤x≤a＋3时，二次函数的最大值为m，最小值为n，若m－n＝3，求a的值；【思维教练】分类讨论：①对称轴在区间右侧，即a＋3≤1得a≤－2；②对称轴在区间内即得－2＜a＜1；③对称轴在区间左侧，即a≥1时；讨论区间内的最大值和最小值，再通过数形结合即可求出a的值；(4)分三种情况讨论：①当a＋3≤1，即a≤－2且a≤x≤a＋3时，如解图⑥，y随x的增大而减小，当x＝a时，m＝a2－2a－3；例2题解图⑥当x＝a＋3时，n＝(a＋3)2－2(a＋3)－3＝a2＋4a，∴m－n＝a2－2a－3－(a2＋4a)＝－6a－3＝3，解得a＝－1(舍去)；②当a<1<a＋3，即－2<a<1时，y在x＝1处取得最小值，∴n＝－4.∵m－n＝3，∴m＝n＋3＝－1.若1－a＝a＋3－1，则a＝，m＝()2－2×()－3＝≠－1，∴a≠.例2题解图⑥(i)当1－a>a＋3－1，即a<时，如解图⑦，y在x＝a处取得最大值，即m＝a2－2a－3＝－1，解得a1＝1＋(舍去)，a2＝1－；(ii)当1－a<a＋3－1，即a>时，如解图⑧，y在x＝a＋3处取得最大值，即m＝(a＋3)2－2(a＋3)－3＝a2＋4a＝－1，解得a1＝－2＋，a2＝－2－(舍去)；例2题解图⑦例2题解图⑧③当a≥1且a≤x≤a＋3时，如解图⑨，y随x的增大而增大，当x＝a时，n＝a2－2a－3；当x＝a＋3时，m＝(a＋3)2－2(a＋3)－3＝a2＋4a，∴m－n＝a2＋4a－(a2－2a－3)＝6a＋3＝3，解得a＝0(舍去)；综上所述，a的值为1－或－2＋；例2题解图⑨(5)将二次函数y＝x2－2x－3的图象沿x轴向右平移m(m＞0)个单位长度得到新的抛物线L.①当0≤x≤4时，抛物线L的最小值为－4，求m的取值范围；【思维教练】根据条件可知，在平移过程中，抛物线顶点纵坐标不变．顶点横坐标在1≤x≤4范围内，找到临界点(4，－4)，结合函数图象得到m的取值范围；(5)由题意得，平移后的抛物线L的解析式为y＝(x－m)2－2(x－m)－3，其对称轴为直线x＝1＋m.①当点(4，－4)恰好在抛物线L上时，有－4＝(4－m)2－2(4－m)－3，解得m＝3，∵当0≤x≤4时，抛物线L的最小值为－4，∴结合解图⑩函数图象可得，m的取值范围为0<m≤3；例2题解图⑩②当5≤x≤6时，抛物线L的值随x的增大而增大，求m的取值范围．【思维教练】根据函数的增减性得到抛物线对称轴在x＝5左侧(可与直线x＝5重合)，找到临界点(5，－4)，结合函数图象可得m的取值范围．②当抛物线L的顶点恰好为(5，－4)时，有1＋m＝5，解得m＝4.∵当5≤x≤6时，抛物线L的值随x的增大而增大，∴结合解图⑪函数图象可得，m的取值范围为0<m≤4.例2题解图⑪类型二交点问题(黔西南州2023.26(2))函数微技能一阶例3已知二次函数y＝x2＋c，点A(－1，2)，点B(3，2)，点C(－2，0)，完成下列问题．(1)当二次函数图象的顶点在线段AB上时，c的值为____；(2)当二次函数图象与线段AB有且仅有一个交点，则c的取值范围是________________；2c＝2或－7≤c＜1例3题图(3)当二次函数图象与线段AB有两个交点时，c的取值范围为________；1≤c＜2例3题图(4)当二次函数的图象与线段BC所在直线仅有一个交点时，c的值为____；例3题图(5)当二次函数的图象与线段BC仅有一个交点时，c的取值范围为_____________________；－7≤c＜－4或c＝例3题图(6)当二次函数的图象与线段BC有两个交点时，c的取值范围为___________．例3题图例4已知二次函数y＝(x－h)2－1，点A(－1，2)，点B(3，2)，点C(－2，0)，完成下列问题．(1)若二次函数的图象与线段AB有唯一公共点，则h的取值范围为_________________________________；例4题图(2)若二次函数的图象与线段BC有两个公共点，则h的取值范围为______________．－1≤h≤3－例4题图满分技法二次项系数确定的抛物线与线段的公共点：(1)当二次项系数确定，顶点的横坐标确定时，抛物线在对称轴上下平移，需确定三个临界点，即两端点及抛物线与线段所在直线只有一个交点时的未知参数的值，再数形结合确定未知参数的范围；(2)当二次项系数确定，顶点的纵坐标确定时，抛物线在平行于x轴的直线上平移，需确定两个临界点，即抛物线过两端点时对应的未知参数的值，再数形结合确定未知参数的范围．设问突破二阶例5在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x＋4.(1)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－2x＋4向右平移a(a＞0)个单位后，平移后的抛物线与直线y＝－2x＋7有一个交点，求a的值；(1)a的值为；一题多设问(2)在平面直角坐标系中，点A(－1，2)，点B(3，2)，将抛物线y＝x2－2x＋4向下平移a(a＞0)个单位后，与线段AB有公共点，求a的取值范围；(2)解：抛物线y＝x2－2x＋4向下平移a(a>0)个单位后所得到的解析式为y1＝x2－2x＋4－a，如解图①，当y1与线段AB相切时，例5题解图①此时x2－2x＋4－a＝2，即x2－2x＋2－a＝0，(－2)2－4(2－a)＝0，解得a＝1，∵y1与线段AB有公共点，∴a≥1；如解图②，当抛物线经过A，B时，∵抛物线的对称轴为x＝＝1，∴＝1，∴当y1经过A，B时，此时解得a＝5，∵y1与线段AB有公共点，∴a≤5，综上所述，a的取值范围为1≤a≤5；例5题解图②(3)在平面直角坐标系中，点E(－2，3)，点F(k，6)，连接EF，若抛物线y＝x2－2x＋4与线段EF只有一个公共点，求k的取值范围．(3)解：如解图③，∵点E的坐标为(－2，3)，点F的坐标为(k，6)，且抛物线y＝x2－2x＋4与线段EF只有一个公共点，∴将y＝6代入y＝x2－2x＋4中，解得k＝1＋或k＝1－，∴1－≤k<1＋.例5题解图③满分技法当线段的一端点固定，另一端点运动时，求线段与抛物线的交点个数，利用动点的纵坐标与动点横坐标代入抛物线解析式所得的函数值进行大小比较求解.例6在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝ax2－4ax－5a(a≠0)．(1)若点A(－1，2)，点B(3，2)，且抛物线与线段AB恰有一个交点，求a的取值范围；解：(1)∵y＝a2－4ax－5a＝a(x2－4x－5)＝a(x＋1)(x－5)，∴设抛物线与x轴交于点C(－1，0)，D(5，0)，当a>0时，如解图①，抛物线与线段AB无公共点；当a<0时，∵y＝ax2－4ax－5a＝a(x－2)2－9a，∴抛物线的顶点坐标为(2，－9a)，例6题解图①例6题解图②如解图②，当抛物线的顶点在线段AB上时，则－9a＝2，∴a＝，如解图③，当抛物线与线段AB有一个公共点时，则当x＝3时，y＝9a－12a－5a＝－8a>2，解得a<，结合图象可知，a的取值范围为a＝或a<；例6题解图③(2)若点A(－1，2)，点E(2，3)，抛物线y＝ax2－4ax－5a