2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章 微专题 圆的综合题 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章微专题圆的综合题知识精练1.(2023安徽)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．(1)如图①，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；(2)如图②，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3eq\r(3)，AE＝3，求弦BC的长．图①图②第1题图2.如图，以矩形ABCD(AB>BC)的对角线AC为直径作⊙O，过点B作AC的垂线，垂足为P，交CD于点E，交AD的延长线于点F，取EF的中点H，连接DH.(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若AC＝4，EF＝eq\f(8\r(3),3)，求CE的长．第2题图3.(2023葫芦岛)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F.(1)求证：EF与⊙O相切；(2)若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求eq\o(AG,\s\up8(︵))的长．第3题图4.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，弦BD与AC相交于点E，连接AD，CD，∠BAD＝3∠CBD，连接AO并延长交BD于点F.(1)求证：AF＝AD；(2)若CB2－CD2＝4，求BD·CD的值．第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点D是⊙O上一点，连接CD，AD，且∠DAB＝2∠B，过点C作⊙O的切线交DA的延长线于点E.(1)求证：CE⊥AD；(2)若OA＝5，tanD＝eq\f(1,2)，求CE的长．第5题图6.(2023德阳)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，EC的延长线与AB的延长线相交于点D，且CD＝OA，AE∥OC.(1)求证：AC是∠EAD的平分线；(2)求∠ACD的度数；(3)求eq\f(OD,AD)的值．第6题图参考答案与解析1.(1)证明：∵OA⊥BD，且OB＝OD，∴AO垂直平分BD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ACD＝∠ABD，∠ADB＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB，∴CA平分∠BCD；(2)解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.∵AE⊥BC，∴AE∥CD，同理AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∴CD＝AE.∵AE＝3，∴CD＝3，∴BC＝eq\r(BD2－CD2)＝eq\r(（3\r(3)）2－32)＝3eq\r(2).2.(1)证明：如解图，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴BD为⊙O的直径．∵BF⊥AC，∴∠ECP＋∠CEP＝90°.在Rt△FDE中，H为EF的中点，∴DH＝EH，∴∠DEF＝∠EDH＝∠CEP.∵∠ECP＝∠ODC，∴∠ODH＝∠EDH＋∠ODC＝90°，∴OD⊥DH.又∵OD是⊙O的半径，∴DH是⊙O的切线；第2题解图(2)解：∵AC＝4，EF＝eq\f(8\r(3),3)，∴BD＝AC＝4，DH＝EH＝eq\f(4\r(3),3).∵∠BDH＝90°，∴tan∠DBH＝eq\f(DH,BD)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠DBH＝30°，∴∠DHE＝60°，∴△DHE是等边三角形，∴∠HDE＝60°，DE＝DH＝eq\f(4\r(3),3)，∴∠BDC＝90°－∠HDE＝30°，∴CD＝BD·cos30°＝2eq\r(3)，∴CE＝CD－DE＝eq\f(2\r(3),3).3.(1)证明：如解图，连接OE.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，∴∠BOE＝2∠BCE＝90°.∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠BOE＝90°，∴OE⊥EF.∵OE是⊙O的半径，∴EF与⊙O相切；(2)解：如解图，连接GO，GB.∵EG⊥AC，∴∠EMF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠EMF，∴EG∥BC，∴∠CEG＝∠BCE＝45°，∴∠CBG＝∠CEG＝45°.∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABG＝∠ABC－∠CBG＝15°，∴∠AOG＝2∠ABG＝30°，∴的长为eq\f(30π×4,180)＝eq\f(2π,3).第3题解图4.(1)证明：如解图，连接OB，OC，∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO，∴∠ABO＝∠ACO.∵＝，∴∠CBD＝∠CAD.∵∠BAD＝3∠CBD，∴∠BAF＝∠CAF＝∠CAD＝∠CBD.∵＝，∴∠ABF＝∠ACD，∴△ABF≌△ACD，∴AF＝AD；(2)解：由(1)知△ABF≌△ACD，∴BF＝CD.设∠CAD＝x，则∠BAF＝∠CAF＝x.由(1)知AF＝AD，∴∠ADE＝eq\f(180°－∠FAD,2)＝eq\f(180°－2x,2)＝90°－x，∴∠AED＝180°－∠ADE－∠EAD＝180°－(90°－x)－x＝90°，即AC⊥BD.又∵AF＝AD，∴DE＝EF.在Rt△BCE和Rt△CDE中，CB2＝BE2＋CE2，CD2＝DE2＋CE2，∴CB2－CD2＝BE2＋CE2－(DE2＋CE2)＝BE2－DE2＝(BE＋DE)(BE－DE)＝BD·(BE－EF)＝BD·BF＝BD·CD.∴BD·CD＝4.第4题解图5.(1)证明：如解图，连接OC，∵∠DAB＝2∠B，∠AOC＝2∠B，∴∠DAB＝∠AOC，∴OC∥AD.∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴CE⊥AD；第5题解图(2)解：如解图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tanB＝tanD＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,2)，∴BC＝2AC.∵AB＝2OA＝10，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴AC2＋(2AC)2＝102，∴AC＝2eq\r(5)(负值已舍去)，∴BC＝4eq\r(5)，∴cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4\r(5),10)＝eq\f(2\r(5),5).∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO.∵∠ACE＋∠ACO＝90°，∠CAO＋∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，∴cos∠ACE＝cosB，∴CE＝AC·cos∠ACE＝AC·cosB＝4.6.(1)证明：∵AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠CAO，∴AC是∠EAD的平分线；(2)解：如解图，连接CB.设∠CAO＝α.根据(1)可知∠EAC＝∠CAO＝∠ACO＝α，∠EAO＝∠EAC＋∠CAO＝2α，∴∠COB＝∠CAO＋∠ACO＝2α.∵CD＝OA，∴CD＝OC.∴∠COB＝∠D＝2α.∵∠BCD＋∠BCE＝∠EAO＋∠BCE＝180°，∴∠BCD＝∠EAO＝2α，∴∠CBO＝∠BCD＋∠D＝4α.∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠OCB＝4α，∴∠CBO＋∠OCB＋∠COB＝4α＋4α＋2α＝10α＝180°，∴α＝18°，∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋2α＝90°＋36°＝126°；(3)解：设⊙O的半径为r，BD＝a，则CD＝r.∵∠EAC＝∠CAO，∴EC＝BC.又∵∠D＝∠BCD＝2α＝36°，∴EC＝BC＝BD＝a.∵AE∥