高中数学人教版抛物线方程及其应用习题及解析

抛物线方程及其应用

1、下图是抛物线形拱桥，当水面在/位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水

位下降2米后（水足够深），水面宽（）米

A.2啦B.4夜C.4百D.2G

2、如图，”是抛物线V=4x上一点（M在x轴上方），尸是抛物线的焦点，若

IFM\-4,则ZxFM-（）

A.30。B.45。c.60'D.7s

1、

y=—x

3、已知抛物线.8上的点P到焦点产的距离为4,则△。刊7的面积为

（）

A.2B.4C.8D.16

4、已知产为抛物线丁=4x上的任意一点，F为抛物线的焦点，点B坐标为（*2）,

贝3P@+|尸耳的最小值为（）

A.4B.3C.2夜D.岳

5、抛物线-二8》的焦点为尸，过点尸的直线交抛物线于M、N两点，点尸为

x轴正半轴上任意一点，则（评+行0）•（对一两）=（）

A.-20B.12c.T2D.20

6、已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是（）

7157r7137V

A.6或6B.4或4

TC27r71

C.3或3D.2

7、在平面直角坐标系"S'中，直线/过抛物线）J=叙的焦点，交抛物线于A，8两

点，且线段AB中点的横坐标为3,则线段的长为（）

A.6B.7C.8D.10

8、已知抛物线C"=4y’的焦点为F,若斜率为W的直线1过点F,且与抛物线C

交于A,B两点，则线段A8的中点到准线的距离为（）

6565129129

A.8B.4C.16D.8

9、过抛物线V=2px（〃>0）的焦点作两条相互垂直的弦A6和8,则

11

-----------1-----------

|明|卬的值为（）

z1_L

A.2B.PC.2PD.2P

10、已知点M是抛物线V=4x上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆

C：（x-4y+（y+l）2=l上一动点，则阿1+1网的最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

11、已知抛物线）'2=2px（p>0）的焦点为尸，过点口的直线与抛物线交于P,Q

两点，P,。两点在抛物线的准线上的射影分别为M,N,若/1=46，

|N『I=4,贝卡（）.

A.百B.2C.26D.4

12、已知4（%'%），8区％）是抛物线），2=2。％（，〉。）上的两点，若直线43过

抛物线的焦点厂且倾斜角为°.A',*是A,8在准线上的射影.则下列命题正确

的是（）

x,-x7=IABl—x.+x2+p=—

A.।一4B/।si/。

11_2

c.忸HpD.夕产为锐角三角形.

13、已知产是抛物线C：y=2/的焦点，N是X轴上一点，线段FN与抛物线C相

交于点M,若2时=丽，则1敬|=（）

513

A.8B.2c.8D.1

3

14、已知抛物线C：V=3x的焦点为F,斜率为万的直线/与C的交点为A、B,与

x轴的交点为P,若"=3而，求|/明.

15、已知抛物线）’=2px（p>0）的焦点为尸，点M在抛物线上，且点M的横坐

标为4,叼=5.

（1）求抛物线的方程；

（2）设过焦点/且倾斜角为45°的/交抛物线于48两点，求线段的长.

16、已知抛物线）’2=4x的焦点为F,直线1过点“（4,0）.

（D若点F到直线1的距离为由，求直线1的斜率；

（2）设A,B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过

点M,求证：线段AB中点的横坐标为定值

17、设抛物线C：V=2Px（〃>°）的焦点为F,经过点F的动直线/交抛物线C于

A（石，y）、Bg%）两点，且,>2=_4.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF、MA、MB的斜率分别为勺、占、%

求证：当自制时，%+质为定值.

18、在平面直角坐标系宜»中，已知抛物线丁=2〃x（p〉（））上一点

I八'到其焦点尸的距离为4.

（1）求抛物线的方程与准线方程；

（2）直线/与抛物线相交于A8两点（AB位于*轴的两侧），若宓°豆=3,求

证直线/恒过定点.

19、已知直线/与抛物线＞2=4x相交于人，B两点，且与圆（“一1尸+）'2=1相切.

（1）求直线/在x轴上截距,的取值范围；

（2）设F是抛物线的焦点，福・丽=0,求宜线/的方程.

参考答案

1、【答案】B

2、【答案】C

3、【答案】B

4、【答案】A

5、【答案】B

6、【答案】B

7、【答案】C

8、【答案】A

9、【答案】D

10、【答案】IA

11、【答案】IC

12、【答案】IABC

13、【答案】IA

14、【答案】|A止警

试题分析：根据衣=3而得到A8两点纵坐标的关系，联立直线/的方程和抛物线的

方程，写出韦达定理，从而求得两点的坐标，根据两点间的距离公式求得

3

详解：设4（不弘）,3仁,%），/通，0），直线/的方程为y=]X+f.

由衣=3万，（而一％，一芳）=3（与一玉）,%）=（3%2―3%,3%），即一>|=3>2，可得

3

y=—x+/)

X=-3%，由■’2,可得y2-2y+2，=0.

y2=3x

所以X+%=2.从而-3y2+%=2,故%=T,y=3.

代入C的方程得石=3,々=；.故IA81=｛（分一%）2+（%—Xi=平

【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查两点间的距离公式，考查向量线性运算

的坐标表示，属于中档题.

15、【答案】（1）V=4%；（2）8.

试题分析：（1）先由题意得|吹|=4+5=5,求出p=2,即可得出抛物线方程;

（2）先由题意，得到直线/的方程为y=x-i,与抛物线联立，根据抛物线的焦点弦公

式，即可得出结果.

详解：（1）由题意得=4+^=5,

P=2,故抛物线方程为V=4x.

(2)直线/的方程为y-0=tan45°-(x-l),即y=x-l.

y=x-\

与抛物线方程联立，得

y2=4x

消y,整理得一—6工+1=0,其两根为历,毛，且玉+工2=6.

由抛物线的定义可知，+々+，=6+2=8.

所以，线段A8的长是8.

【点睛】

本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的标准方程，以

及抛物线的焦点弦公式即可，属于常考题型.

16、【答案】（1）土=（2）证明见详解.

2

2

17、【答案】(1)y=4x；(2)kt+k2=2.

试题分析：（1）设直线/方程为*=加y+日，与抛物线方程联立，利用根与系数关系,

即可求解；

（2）根据条件求出M点坐标，匕+&用%，%表示，再利用根与系数关系，即可证明

结论.

【详解】

⑴抛物线C：丁=2阳〃＞（））的焦点嘴,0）,

设直线/方程为％”栏，

x=my+—.,

联立彳2,消去工得，V—2〃2y—p2=0,

/=2px

222

A=4/7(1+m)>0,+y2=2pm,y1y2=-p=-4,

，=2,所以抛物线方程为丁=而；

（2）抛物线准线方程为了=-2,设M（—l,%）,%=—&=1,；.%=-2,

2

直线I方程为x=my+l,yt+y2=4m,yty2=-p=-4

K+h=出匚+互吆=>+2+必+2

xl+1x2+1myx+2my2+2

2.22r2

yH-----F2乃4----F2

—_mm,।~mm

my]4-2my2+2

-21（22）皿y+%）+4

mm+2）（my2+2）

=2+（2_2）双必+必）+4

mm加+2根（M+%）+4

202、4m2+4c

=—+（2——）------；------z—=2,

mm-4m+8/H+4

所以匕+履为定值.

【点睛】

本题考查求抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的位置关系，要注意根与系

数关系设而不求的应用，属于中档题.

18、【答案】⑴y2=2x,x=-g；（2）见详解

19、【答案】（1）（-oo,0）U[2,+oo）.（2）3x+V7y+l=0或3x-V7y+l=O.

试题分析：⑴设直线/的方程为x=，取+J根据与圆（X-+丁=1相切可得

加2=02_2c,再联立抛物线的方程，根据判别式大于0可得c>l或c<0,再结合

机2=‘2-2c20求解C的取值范围即可.

⑵设4%/）,8（%2，%），尸（1，°），联立直线与抛物线的方程，代入韦达定理化简

FAFB=O,结合⑴中/=。2-2c可得关于c的方程求解即可.

详解：（1）设直线/的方程为x=〃9'+c,

0-1）2+丁=1的圆心为（1,0）,半径为1.

由直线/与圆相切得：耳鼻=1,化简得病=’2-左，

V1+m~

直线/的方程代入抛物线，消去X得：<一4/2一4°=0（*）,

由直线/与