新教材高中数学指数函数与对数函数章末复习教学案新人教A版必修第一册

第4章指数函数与对数函数

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1.指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，

在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化.

2.指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对

函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1,十8)两个区间取值时，函

数的单调性及图象特点.

3.比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它

们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1;然后在各类中两

两相比较.

4.求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、

对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义

域的子集.其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间.

5.函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知

图选式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质.在解方程或不等式

时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题.

6.方程的解与函数的零点：方程/1(旧二。有实数解=函数y=f(x)有零点o函数y=f(x)

的图象与x轴有交点.

7.零点判断法：如果函数y=f(x)在区间［a,3上的图象是一条连续不断的曲线，且有

/"(a)F(6)<0,那么，函数尸Mx)在区间(a,⑸内至少有一个零点，即存在cG(a,6),使得

Ac)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.

注意：由F(a)/>(»<()可判定在(a,6)内至少有一个变号零点c,除此之外，还可能有其

他的变号零点或不变号零点.若则/'(x)在(a,内可能有零点，也可能无零点.

8.二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择.

9.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：

学科思想培优

一、指数、对数函数的典型问题及求解策略

指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高

考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单调性

为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论.

1.求定义域

［典例1］⑴函数尸=—27的定义域是（）

A.[—2,+8)B.[―1,+°°)

C.(-8,-1]D.(-8,-2]

⑵函数『3="（1+1的定义域为（）

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

解析⑴由题意得瞅1-2720,所以即工又指数函数尸《）

’为R上的单调减函数，所以2*—lW—3,解得xW-l.

卜+1>0,

（2）要使函数式有意义，需｛in（x+l）#0,

〔4一

x>一1,

即〈xWO,得xG(-1,0)U(0,2].

.—2WE2,

答案（1）C（2）B

2.比较大小问题

比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较

大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥

法、图象法、特殊值法、作图法等方法.

［典例2］若OQ<K1,则（）

A.3'<3'B.10gt3Qog,3

C.logiKlogiyD.

解析因为0<求正1,则

对于A,函数尸3'在R上单调递增，故3VT,错误.

对于B,根据底数a对对数函数y=log,x的影响：当0<a〈l时，在xW（l,+8）上“底

小图高”.因为。〈水一因所以log&log,3,错误.

对于C,函数y=log“x在（0,+8）上单调递增，故logu<logiy,正确.

对于D,函数在R上单调递减，故G）〉G），错误.

答案C

［典例3］比较三个数0.3?,10gO3,2°3的大小.

223<I203

解解法一：V0<0.3<1=1,log20.3<log2l=0,20'>2=1,.*.log20.3<0.3<2.

解法二：作出函数y=V,y=log/,y=2'的大致图象，如图所示，画出直线x=0.3,根

据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log?。.3<0.32<2"3.

3.与指数、对数函数相关的单调性问题

［典例4］是否存在实数a,使函数/'(x)=log"(aV-x)在区间⑵4］上单调递增？如果存

在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由.

解设g(x)=aV—x,假设符合条件的a存在.

当a>l时，为使函数/1(入)=1。8〃储/一工)在区间②4］上单调递增，只需g(x)=a1—x在

区间［2,4］上单调递增，故应满足"a*，解得a*,.•.a>L

.42)=4a—2〉0,

当0〈a〈l时，为使函数/'(才)=1。心仁六一x)在区间⑵4］上单调递增，只需g(x)=af-x

424,

在区间⑵4］上单调递减，故应满足J2a此不等式组无解.

&4)=16a-4〉0,

综上可知，存在实数a,使f(x)=log"(ax2—x)在区间⑵4］上单调递增，a的取值范围是

a>l.

二、函数的图象问题

对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研

究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质.注意图象与函数解析式中参数的

关系，能够通过变换画出函数的图象.

1.图象的变换

V—I—Q

［典例5］为了得到函数y=lg-标的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点

()

A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

V—I—Q

解析：y=lg-75-=lg(x+3)-l,.•.只需将y=lgx的图象上所有的点向左平移3

V—I—Q

个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y=lg一子的图象.

答案c

2.根据函数解析式确定图象

［典例6］己知/'(x)=a"T,g(x)=log/x|(a>0,且aWl),若/■⑷g(4)<0,则y=F(x),

y=g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是()

2

解析dh/(4)^(4)<oa•loga4<0,Alog^O,/.0<a<l,和g(x)在(0,+°°)

上都单调递减.

答案B

三、等价转化思想的体现

一般来说，小题对指数函数、对数函数的考查，仅限于这两类函数本身的概念、图象与

性质.而解答题往往注重考查与这两类函数有关的复合函数的性质.这类题目的解题思想是:

通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这两类函数来处理.

T

［典例7］已知函数/(x)—当xG[-1,1]时,求函数y="(x)]2—2af(x)+3的最

小值g(a).

解1],・•・《)-1-

e3.

O

'.y="(x)—2aF(x)+3=

=口1+3一或

令Y)

,则一个3.

若水］则当即x=1时,

OO

L在+3著一在

9393,

若；《3,则当即x=log^a时，，必访=3—

若a>3,则当1=3,即x=—1时,

%n=9—6a+3=12-6/L

综上可知：g(a)

四、函数零点与方程的解

根据函数零点的定义，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=O的解，判断一个方程是否有

零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=O是否有解，有几个解.从图形上说，函数的零点

就是函数了=代X)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象与x轴交点

的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与

不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视.

［典例8］关于x的方程x+lgx=3,x+10'=3的解分别为。，尸，则。+万等于()

A.6B.5

C.4D.3

解析将方程变形为lgx=3-x和10'=3—x.令％=lgx,%=10,,¥=3~~X,在同一

平面直角坐标系中分别作出B=lgx,必=10',%=3—x的图象，如图所示.这样方程lgx

=3-x的解可以看成函数M=lgx和%=3—x的图象的交点4的横坐标，方程10,=3—x的

解可以看成函数%=10'和%=3—x的图象交点8的横坐标.因为函数必=lgx和％=10'互

为反函数，所以必=lgx和%=10'的图象关于直线y=x对称，由题意可得出46两点也关

于直线y=x对称，于是46两点的坐标分别为4(%£),B(B,。).而儿6两点都在直

线y=3—x上，所以>9=3—a,所以a+^=3.

答案D

［典例9］已知函数f(x)=x+2',g(x)=x+lnx,力(x)=x一6一1的零点分别为为，

X2,X3,则Xl,X2,X3的大小关系是.

答案Xx<X2<Xz

解析令x+2'=0,得2'=-x；

令x+lnx=0,得Inx=­x；

在同一平面直角坐标系内画出y=2',y=lnx,y=-x的图象，如图可知不<0<也VI.

令/?(%)—x—\［x—l—0,则(W)2一5一1=0,所以/"=归即留=(上/目,Al.所以

Xl<X2<X3.

五、函数模型的应用

针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这当然需要我们深刻理解已

学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认

识.对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也

有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模

型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果.

［典例10］为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测

量最大积雪深度X与当年灌溉面积%现有连续10年的实测资料，如表所示.

(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；

(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；

(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉土地多少公

顷？

解(1)描点、作图，如图甲所示：

(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最

大积雪深度x满足一次函数模型y=a+bx(a,。为常数且^0).取其中的两组数据

[21.l=a+10.46,

(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+6x,得用计算器可得a«2.2,

[45.8—a+24.Ob,

6-1.8.这样，得到一个函数模型：

y=2.2+L8x,作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与己知数据的拟合程度

较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.

⑶由⑵得到的函数模型为y=2.2+1.8x,则由尸2.2+1.8X25,求得尸47.2,即当

最大积雪深度为25