量子力学知识点总结

量子力学期末复习完美总结自由粒子体系，_动量一守恒；中心力场中运动的粒子

_角动量_守恒

13.量子力学中的守恒量A是指：4不显含时间而且与百

对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随

一、填空题

时间改变。

1.玻尔-索末菲的量子化条件为：

14.隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E小于势垒

^\pdq=nh,（n=l,2,3,,

高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

h15.次通=1式玲/为氢原子的波函数，附），加

2.德布罗意关系为：E=hy=p——=Jik。

A的取值范围分别为：n=l,2,3,…；1=0,1,...,n-l；

m=-I,-1+1,...,0,1,

3.用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：

—mV2=hu-A,16.对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并

2

为:一考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的

4.波函数的统计解释：帆（尸，代表t时刻，粒子在

耦合时，能级的简并度为_2〃2_,如再考虑自旋与

空间尸处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这

是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间

的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的轨道角动量的耦合，能级的简并度为_2/+1_。

几率成正比，和粒子联系的波是概率波。

17.设体系的状态波函数为1'9》,如在该状态下测量

5.波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性o

力学量尸有确定的值云，则力学量算符户与态矢量

6.a?：1,I为单位矩阵，则算符a的本征值为：国＞的关系为：户附。

±1»

18.力学量算符#（尸，一谈章）在态于（尸）下的平均值可写

7.力学量算符应满足的两个性质是实数性和正交完备

性。为（"*卯（产）心力宓的条件为：力学量算符的本征

8.厄密算符的本征函数具有：正交性，它们可以组成值组成分立谱，并且“（产）是归一化波函数。

正交归一性。即

=鼠或J刎曲=双"£）.19.希尔伯特空间：量子力学中Q的本质函数有无限多

个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。

9.设CS/）为归一化的动量表象下的波函数，则

20.设粒子处于态+后n+叱°,甲为

Ic（p/）『女的物理意义为：表示在“任，。所描写

的态中测量粒子动量所得结果在力一万+期范围内的

归一化波函数，及为球谐函数，则系数c的取值为：

几率。

J-,上工的可能值为：1方，3本征值为防2出现

io,清；戒,；[工，刃=°。V63

的几率为：—O

A人2

11.如两力学量算符九8有共同本征函数完全系，则

[X5]=_o_o21.原子跃迁的选择定则为：△/=±1；Am=O,±l。

*2

12.坐标和动量的测不准关系是：（8）2口即、.）2

30.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为

22.自旋角动量与自旋磁矩的关系为：Ms^--S；

*=（已归一化），则［2r的，意

式中后s是自旋磁矩，S是自旋角动量，-e是电子的电

义为:表示在t时刻，在（x,y,z）点周围单位体积内找

荷，〃是电子的质量。

到自旋力的电子的几率。

23.台为泡利算符，则

（T2=3［承，阴=0,匚（|叼『+|叫|2）心力应=1

但。】=2汶。

31.量子力学中的态是希尔伯特空间的矢量_;算符

24.另为自旋算符，则a=」方2,是希尔伯特空间的一算符_。

4_

力学量算符在自身表象中的矩阵是对角的

［于,比］=0，色，M］=法&（,

32、W（x,y,z,f）「的物理意义：发现粒子的几率密

25.乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是:度与之成正比。

（1）每个电子具有自旋角动量6,它在空间任何方向上

33、/dr表示在r一r+dr单位立体角

的投影只能是两个数值：S,=±^!■力；（2）每个电子具

2

的球壳内发现粒子的几率。

有自旋磁矩而s，它和它的自旋角动量S的关系式是：

34、在量子力学中，微观体系的状态被一个波

Ms=--S,式中-e是电子的电荷，〃是电子的质

量。而$在空间任意方向上的投影只能取两个数值：函数完全描述:力学量用厄密算符表示。

M＜；=+^~—±MRo

邑2〃13二、问答题

1.你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不

26.轨道磁矩与轨道角动量的关系是：M,=-—£o成功的地方？试举一例说明。

2〃（简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半

经典半量子的？）

27.证明电子具有自旋的实验有：斯特恩-革拉赫实验。

答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量

28.费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有应对称不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的

性，玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有一概念及频率条件。首先，Bohr的量子理论虽然能成功的

对称性。说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至

对于氯原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里

有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光

29.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为

谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然

四（"刀（已归一化），则在态空下，自旋算符借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供

系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周

G/%叼期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其

〔GnGnJ对自旋的平均可表示为：次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连

续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，

G=〃+6/=（%*,归）.’G?甲'.对坐标和多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本

［G?］,G?2人%，质。

自旋同时求平均的结果可表示为：G=J〃+©“dr。

2.什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是

如何解释光电效应的？

答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金

属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.

对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频

答：不一定，如果〃一收2对应的能量本征值相

率。0，当照射光频率4时，无论光的强度有多大，

等，则犷=q%+C2〃2还是能量的本征态，否则，

不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只

与照射光的频率有关，而与光强无关；C.当入射光频率

如果-I,乙对应的能量本征值不相等，则

U>vo时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻。10-95

W=cm+cm不是能量的本征态

观测到光电子。爱因斯坦认为：（1）电磁波能量被集中在

光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可

以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间8.什么是表象？不同表象之间的变换是一种什么变换？

在不同表象中不变的量有哪些？

应很短，是瞬间完

成的。（2）所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于

答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。

光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压不同表象之间的变换是一种幺正变换。在不同表象中不

与光强无关，饱和电流与光强成正比。（3）光子能量与其变的量有：算符的本征值，矩阵的迹即矩阵对角元素的

频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电和。

效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发

简述量子力学的五个基本假设。

光电子。9.

答：（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这

3.简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？

个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足

答：对于一般情况，如果也和“2是体系的可能状态，那连续性、有限性和单值性三个条件；（2）力学量用厄密

算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量

么它们的线性叠加:少%+。2%2（卬是复数）子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示中的将动

也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态量「换为算符-法▽得出。表示力学量的算符具有组成

叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态风和勿2完全系的本征函数。（3）将体系的状态波函数”用算符

户的本征函数展开（户外=%％,户外=kp）：

的线性叠加态杯时，粒子是既处于态玄，又处于态y2。

它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学W=£cnfPm+JCM”,则在“态中测量力学量F

nt

中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。

4.什么是定态？定态有什么性质？得到结果为4“的几率为卜丁,得到结果在丸口；i+dx

答:体系处于某个波函数/）="（r）exp[—zEr/方]

范围内的几率是kJdA；（4）体系的状态波函数满足薛

所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。

定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密定谓方程：访丝=月>,方是体系的哈密顿算符。（5）

度不随时间变化：（2）任何力学量（不显含时间）的平dt

在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变

均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取

体系的状态（全同性原理）。

各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。

10.波函数归一化的含义是什么？归一化随时间变化

6.经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？

吗？

答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，

答：粒子既不产生也不湮灭。根据波函数的统计解释，

而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典

在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以在整个空间中

波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成

发现粒子是必然事件，概率论中认为必然事件的概率等

另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函

数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影于lo因而粒子在整个空间中出现的概率即H『对整个空

响粒子在空间出现的儿率，即将波函数乘上一个常数，

间的积分应该等于1.即J帆（龙,y,z，O『dr=l式中积分

所描述的粒子状态并不改变；

表示对整个空间积分。这个条件我们称为归一化条件。

7.能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。波函数一

旦归一化，归一化常数将不随时间变化。

11.量子化是不是量子力学特有的效应？经典物理中是答：（1）不能；因为在量子力学中，粒子具有波粒二象

否有量子化现象？性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。（2）不

改变；根据Born对波函数的统计解释，描写体系量子状

答：所谓量子化，就是指某个力学量可取数值具有离散态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一

谱。一般来说，这不是量子力学的特有效应。经典物理点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1,因

中，例如声音中的泛音，无线电中的谐波都是频率具有而粒子在空间各点出现概率只决定于波函数在空间各点

离散谱。经典波在束缚态形成驻波时，频率也是量子化的相对强度。（3）可以；因为卜［2=］,如果M『对整

的，但经典波的频率量子化并不对应能量量子化。有时

量子化用了专指能量量子化，在这种意义上它就是量子个空间积分等于1,则忖“〃『对整个空间积分也等于1.

力学特有的效应。

即用任意相因子e"（5是实常数）去乘以波函数，既不

12.什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化。（4）

意义？满足关系式a的为厄密算符，满足关系式b的为幺正算

符；（5）证明：以4表示F的本征值，〃表示所属的本

征函数，则户"=4”因为F是厄密算符，于是有

答：含有算符F的方程F（pm=Fm（pm称为户的本质方

%〃办=4*,由此可得4=2*,即4为实

程，Fm为F的一个本质值。而（pm则为F的属于本征值

月”的本征函数。如果算符多代表一个力学量，上述概数。

念的物理意义如下：当体系处于户的本征态夕,“时，测量

16.薛定谭方程应该满足哪些条件？

F的数值时确定的，恒等于耳“。当体系处于任意态时，答：（1）它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微

单次测量F的值必等于它的本征值之一。

分方程；（2）方程是线性的，即如果匕和〃2都是方程的

13.算符运算与一般代数运算有什么异同之处？

姐，那么叫和i//2的线性叠加w=ci%+（:却［也是方程

答：（1）相同点:都满足加法运算中的加法交换律和加

法结合律。（2）不同点：a.算符乘积一般不满足代数乘

的解，这是因为根据态叠加原理，如果由和色2是体系的

法运算的交换律，即户户；b.算符乘积定义

（户。方）收=户［@（£〃）］,运算次序由后至前，不能随

可能状态，那么它们的线性叠加：w=cw、+cy：

意变换。

（G，C2是复数）也是这个体系的一个可能状态；（3）

14.什么是束缚态和定态？束缚态是否必为定态？定态

是否必为束缚态？这个方程的系数不应该包含状态的参量，如动量、能量

等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被

答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。粒子的部分状态所满足，而不能被各种的状态所满足。

OTT

若势场恒定丝•=（）,则体系可以处于定态。当粒子被外17.量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力

dt学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？

力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函

数等于零的态叫做束缚态。束缚态是离散的。例如一维答：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。因为

谐振子就属于束缚定态，具有量子化能级。但束缚态不所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的

一定是定态。例如限制在一维箱子中的粒子，最一般的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，

可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包。这种叠它的本征值必须是实数。力学量算符在自身表象中的矩

加是没有确定值的非定态。虽然一般情况下定态多属束阵是一个对角矩阵。

缚态，当定态也可能有非束缚态。

18.简述力学量算符的性质？

15.（1）在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量

的确定值来描写粒子的量子状态？（2）将描写的体系量

答：（1）实数性：厄密算符的本征值和平均值皆为实数；

子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态

（2）正交性：属于不同本征值的本征态彼此正交。即

是否改变？（3）归一化波函数是否可以含有任意相因子

\（pm（pndT=8mn-,（3）完备性：力学量算符的本征态的

e泊（3是实常数）？（4）己知F为一个算符，当F满

足如下的两式时，a.F+=F,b.F-l=F+，问何为厄全体构成一完备集，即“=

n

米算符，何为幺正算符？（5）证明厄米算符的本征值为

实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄米算

符？19.在什么情况下两个算符相互对易？

答：如果两个算符户和自有一组共同本征函数外,,而

答：乌伦贝克和高斯密特提出了电子自旋的假设。他们

且（p组成完全系，则算符片和G对易。

m主要根据的两个实验事实是：碱金属光谱的双线结构和

20.请写出测不准关系？反常的Zeeman效应。他们假设的主要内容为：a.每个电

答：设算符户和。的对易关系为：[户，G]=ii,则子具有自旋角动量它在空间任何方向上的投影只能

是两个数值：S一=±工方；b.每个电子具有自旋磁矩网s，

测不准关系式为：（△户△勾^，如果I不为零,

’2s

则户和@的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于

它和它的自旋角动量S的关系式是：Ms=--S,式

一正数。

21.量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么中-e是电子的电荷，〃是电子的质量。

性质？量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有

什么不同，并举例说明？表明电子有自旋的实验事实：斯特恩-盖拉赫实验。其现

答：量子力学中不显含时间，且其算符与体系的哈密顿象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀

算符对易的力学量称为守恒量；量子体系的守恒量，无

磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两

论在什么态下，平均值和概率分布都不随时间改变；量

子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量概念不相同，

条分立线。解释：氢原子具有磁矩，设至沿Z方向：

实质上是不确定度关系的反映。a.量子体系的守恒量并

不一定取确定值，及体系的状态并不一定就是某个守恒

„dU..dB.

量的本征态。如对于自由粒子，动量是守恒量，但自由U=-MB=-MBcos&.*一法一加法cos如加■在空

粒子的状态并不一定是动量的本征态（平面波），在一

般情况下是一个波包；b.量子体系的各守恒量并不一定

间可取任何方向，9应连续变化，照片上应是一连续带,

都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，/的三个

分量都守恒，但由于小l,/工不对易，一般说来它们并

y但实验结果只有两条，说明必是空间量子化的，只有

不能同时取确定值（角动量/=0的态除外）。

22.定态微扰理论的适用范围和适用条件是什么？两个取向cos6=±l,对S态，，=0,没轨道角动量，

答：适用范围：求分立能级及所属波函数的修正；适用所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩，即自旋磁矩。

条件是：1与而口1，式中£2力£：°＞。自旋的特点：（1）电子具有自旋角动量这一特点纯粹是

量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本

身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。（2）电

23.什么是自发跃迁？什么是受激跃迁？子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示

为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无

答：在不受外界影响的情况下，体系由高能级跃迁到低

关，不能表示为方，它是电子内部状态的表征，是

能级，这种跃迁称为自发跃迁；体系在外界（如辐射场）

作用下，由低能级跃迁到高能级，这种跃迁称为受激跃

h

迁。

一个新的自由度。（3）电子自旋值是2,而不是弁的

24.什么是严格禁戒跃迁？角量子数和磁量子数的选择心=_£__e

定则是什么？整数倍。（4）一",而Z而两者在差一倍。

自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对

答：如果在任何级近似中跃迁几率均为零，这这种跃迁

称为严格禁戒跃迁。角量子数和磁量子数的选择定则是：易关系：=而。

△/=±1；Am=O,±1。

©它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间

25.谁提出了电子自旋的假设？表明电子有自旋的实验等变量表示；

事实有哪些？自旋有什么特征？

②它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就

是说，当力-0时，自旋效应消失。

③它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而1Y0-i}02(0-lYoI、

oJU-0Ju

且电子自旋在空间任何方向上的投影只取±力/2两0,

个值。

四1

rnS:

26.什么是斯塔克效应？

答：当原子置于外电场中，它发射的光谱线将发生分裂,

这称为Stark效应。

其中同心0)=E“(p”00；H2(pm(5)=Em(pm(r2)»

27.什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什

32.请简述微扰论的基本思想。

么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？

答：由于电子自旋与轨道角动量耦合，是原来简并的能答：将复杂的体系的哈密顿量身分成型与自'两部

级分裂成几条差别很小的能级，称为光谱的精细结构；

当n和1给定后，j可以取/=/±;，(/=0除外)，分。自°是可求出精确解的，而自'可看成力。的微扰。

即具有相同的量子数n,1的能级有两个，它们的差别很只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代,

小，这就是产生精细结构的原因。考虑精细结构后能级

的简并度为(2j+l)逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。确定育'时，

28.什么是塞曼效应？什么是反常的塞曼效应？对简单

先确定6°,再用自'=育一育。确定分二

塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为

几条？

33.什么是玻色子和费米子？

答：把原子(光源)置于强磁场中，原子发出的每条光h

谱线都分裂为三条，我们把这称为正常的塞曼效应。而答：由电子，质子，中子这些自旋为5的粒子以及自旋

反常的塞曼效应是指在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂

(分裂成偶条数)。对简单塞曼效应，没有外磁场时的h

为5的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是

一条谱线在外磁场中分裂为三条。

反对称的，这类粒子服从费米(Fermi)—狄拉克(Dirac)

29.什么是全同性原理和泡利不相容原理？

统计，称为费米子，由光子(自旋为1)以及其它自旋为

答：全同性原理：由全同粒子所组成的体系中，两全同

粒子相互代换不引起物理状态的改变。描写全同粒子体零，或克整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数

系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称

性不随时间改变。泡利不相容原理：不能有两个或两个是对称的，这类粒子服从玻色(Bose)—爱因斯坦统计，

以上的费米子处于同一状态。

称为玻色子。

30.写出泡利矩阵的形式及其对易关系。请用泡利矩阵定

义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。34.什么是隧道效应？请举例说明隧道效应的应用。

八(on八ro

答：泡利矩阵：巴=；°\=；答：粒子在其能量E小于势垒高度时，仍然会有部分

Uoj'U0J

(10)粒子穿过势垒的现象叫隧道效应，又叫隧穿效应。隧道

；对易关系为：；自旋算

a.-=lo-1J&Xa=21&效应的应用：1.扫描隧道显微镜(STM)是电子隧道效应

的重要应用之一。扫描隧道显微镜可以显示表面原子台

A"pl八八人

符s=25；对易关系为SxS=[%S。验证过程如下：阶和原子排布的表面三维图案。在表面物理、材料科学

2

和生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十

S*，SJ=即：

SxSy—SySx分有价值的信息。2.隧道二极管是一种利用隧道效应的半

导体器件，也是隧道效应的重要应用之一。由于隧道效

应而使其伏安特性曲线出现负阳区，因而隧道二级管具

有高频、低噪声的特点。隧道二级管是低频放大器、低

频噪声振荡器和超高速开关电路中的重要器件。

35.厄米算符具有哪些性质？厄米算符的平均值、本征

5x(秘)方rw士gd(t)hk

值、本征函数具有哪些性质？答：tico=--------，a>=------,则群速度：v——=—

答：厄米算符具有下列性质：a.两厄米算符之和仍为2m2mdkm

厄米算符；b.当且仅当两厄米算符A和后对易（对应的才是粒子运动的速度）。而相速度：

囚=处（不是粒子运动速度）。

时，它们之积才为厄米算符。因为

「k2m

=8\4'=84。只有在[A,B]=O时，

40.什么是希尔伯特空间？波函数与希尔伯特空间的关

BA=AB,才有，（4与『=4月，即4与仍为厄米算系？

答：希尔伯特空间是定义在复数域上的一个有限维或无

符；C.无论厄米算符X、月是否对易，算符

限维的完备矢量空间。波函数对应于希尔伯特空间中的

及天（A3—BA）必为厄米算符，因为

态矢。

一，…知试带”有哪些实景揭示了光的粒子性质？哪些实验

I//X人ZV11

—(AB-BA

2八2i2i2”揭东了粒学的波动理质？

答：黑体辐射、光电效应、康普顿散射实验给出了能量

d.任何算符总可分解为6=6++访_。令分立、光场量子化的概念，从实验上揭示了光的粒子性

<5_=g（6+6*）、6_=:（6-6*）,则6+和6一均为质。电子杨氏双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验、

厄米算符。中子在晶体上的衍射实验从实验上揭示了微粒的波动性

厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质：质。

①厄米算符的平均值是实数；②在任何状态下平均值均

为实数的算符必为厄米算符；

③厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平3.试以基态氢原子为例证明：*不是f或。的本征函

均值就是本征值。

④厄米算符属于不同本征值的本征函数正交；⑤厄米算数，而是亍+0的本征函数。

符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一

化；⑥厄米算符的本征函数系具有完备性；⑦厄米算符

2e”

的本征函数系具有封闭型。脩“看右产

37.为什么物质的波动性在宏观尺度不显现？

答：由于％=h/p,原因是普朗克常数太小

学方21dd17•Ad、13?1

T=---------[—(r2—)+--------(sin0—)+---------------]

2〃r2drdrsin0dOsin20d(p

（%=6.6X1（T34Js）,而宏观尺度的运动动量太大，

导致波长太小，难以引起可以观察的物理效应。因为

p=^2mE,要减小宏观尺度运动的动量，必须减小动

能E,但从物理上考虑E不可能减小到比热运动能量奶7

更小，所以必须减小质量。质量的减小对应于尺度的减

小。只有把物体尺度减小到微观尺度，才可能出现较大

的物质波波长丸。从而引起可以观察到的物理效应。

39.自由粒子非相对论情形的相速度和群速度分别为多

少？

所以：叫,w不是涵本征函数

2d22d22d2

可见4x—T(CU+CH)=4X--(cw)+4x--(CM

ih1。，100=J%00X122112

rdxdxdx

d2

巴。。不是。的本征函数

1dx212

2-,4,

而(,+O)%0G=_q--^=(—),(-4--)e"--<^00r,

2〃J%/aQaQr「仓)[]②不是线性算符

fi21方2方2方21

一一万至内00+购7%°°一诟"叱=酶拜=c；W+2cg/%+c)；

22

^c,[w,]+c2[w2]

可见，kw是（不+0）的本征函数。③£是线性算符；

K=1

4.证明：L=®L=±方的氢原子中的电子在

7.指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

0=45。和135°的方向上被发现的几率最大。

(1)—,i—>4——；(2)(i)xp,

dxdxdxx

解：-：Wfm（e,（p）dQ=\^flXdQ；