2025-2026学年上海戏剧学院附属高级中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海戏剧学院附属高级中学高一（上）期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、填空题（共12题，1-6题，每题4分，7-12题，每题5分共54分）1．设全集，，则．2．若，，则是的条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）3．将化成有理数指数幂的形式．4．用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设．5．已知幂函数的图像过点，则的解析式为．6．已知，，且，求的最小值是．7．集合，，且，则实数的取值范围．8．不等式等号成立时的取值范围为．（结果用区间表示）9．已知，且，则的值为．10．已知集合，，若，则．11．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为．12．已知不等式的解集为或，若，，，并且恒成立，则实数的取值范围是．二、选择题：（本大题共4题，13，14题，每题4分，15，16题，每题5分共18分，请将结果直接填写在答题纸上）13．若，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．14．若，，，，下列运算正确的是（）A． B． C． D．15．若关于的不等式组解集为，则实数的取值范围是（）A． B．， C．，， D．，，16．，，，，，为非零实数，则“”是“关于的不等式和的解集相同”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件三、简答题：（本大题共5题，共78分，请将结果直接填写在答题纸上）17．已知集合，．（1）若，求集合；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．18．（1）已知，，试用、表示，．（2）已知且，若，求的值．19．解关于的不等式：（1）；（2）．20．（18分）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本（万元）与年产量（吨之间的函数关系式近似地表示为．问：（1）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求每吨最低平均成本；（2）如果每吨平均出厂价为16万元，求年生产量为何范围时，获得的年利润可超过1200万元．21．（18分）（1）集合表示不等式对任意恒成立的的集合，求集合；（2）若实数、、满足，则称比远离．①若比1远离0，求的取值范围；②对任意两个不相等的正数、，证明：比远离．

参考答案一、填空题：（本大题共12题，1-6题，每题4分，7-12题，每题5分共54分，请将结果直接填写在答题纸上）1．设全集，，则．解：全集，，则．故答案为：．2．若，，则是的必要非充分条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）解：由，解得或，即或；所以是的必要非充分条件．故答案为：必要非充分3．将化成有理数指数幂的形式．解：．故答案为：．4．用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设且．解：用反证法证明“若，则或”时，第一步应先假设“且”．故答案为：且．5．已知幂函数的图像过点，则的解析式为．解：根据题意，幂函数的图像过点，则，解可得，故的解析式为．故答案为：．6．已知，，且，求的最小值是4．解：，，当且仅当时等号成立，故答案为：4．7．集合，，且，则实数的取值范围．解：集合，，且，由并集定义得，实数的取值范围为．故答案为：．8．不等式等号成立时的取值范围为，．（结果用区间表示）解：由绝对值的三角不等式得，当且仅当时，等号成立，即的取值范围为，时，等号成立，故答案为：，．9．已知，且，则的值为．解：，则即而则故答案为：10．已知集合，，若，则．解：因为，所以，且，，当时，，则，因为，所以或，所以或；当时，，此时满足，故符合条件；综上所述，的取值为．故答案为：．11．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为，．解：由题意可知，关于的不等式的解集为，当时，不等式的解集为，符合题意，当时，则，解得，综上，实数的取值范围为，．故答案为：，．12．已知不等式的解集为或，若，，，并且恒成立，则实数的取值范围是．解：由不等式的解集为或，得，且1和3是方程的两根，由根与系数的关系得，解得，，所以，即为，所以，当且仅当，即，又，所以，此时等号成立，所以的最小值为3，因为恒成立，则，即，解得．因此，实数的取值范围是．故答案为：．二、选择题：（本大题共4题，13，14题，每题4分，15，16题，每题5分共18分，请将结果直接填写在答题纸上）13．若，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．解：根据题意，依次分析选项：对于，由于，则，错误；对于，若，则，错误；对于，由于，则，正确；对于，若，则，错误；故选：．14．若，，，，下列运算正确的是（）A． B． C． D．解：根据对数的运算性质可知正确．故选：．15．若关于的不等式组解集为，则实数的取值范围是（）A． B．， C．，， D．，，解：由，即，因为关于的不等式组解集为，所以，解得或，所以实数的取值范围是，，．故选：．16．，，，，，为非零实数，则“”是“关于的不等式和的解集相同”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：举反例，不等式与的解集都是，但是，若，则不等式与的解集不相同，故是“关于的不等式和“的解集相同的既非充分又非必要条件．故选：．三、简答题：（本大题共5题，共78分，请将结果直接填写在答题纸上）17．已知集合，．（1）若，求集合；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，解得，所以集合，，；（2）当时，，，所以，符合题意，当时，方程无解或仅有1解，则只需△，解得，综上所述，的取值范围是．18．（1）已知，，试用、表示，．（2）已知且，若，求的值．解：（1），，，．（2），，，，．19．解关于的不等式：（1）；（2）．解：（1）不等式，即，即，即，等价于，解得或，的解集为，．（2）可化为，当时，即当或时，原不等式即为，解得；当时，即当或时，解原不等式得或；当时，即当时，解不等式得或，故当时，原不等式的解集为或；当或时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为或．20．（18分）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本（万元）与年产量（吨之间的函数关系式近似地表示为．问：（1）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求每吨最低平均成本；（2）如果每吨平均出厂价为16万元，求年生产量为何范围时，获得的年利润可超过1200万元．解：（1）设每吨的平均成本为万元，则，当且仅当，即时取等号，所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，且每吨最低平均成本为10万元；（2）设年利润为万元，则，由，得，即，解得，因为，，所以当，时，获得的年利润可超过1200万元．21．（18分）（1）集合表示不等式对任意恒成立的的集合，求集合；（2）若