高三高考数学复习练习113变量间的相关关系统计案例

1131．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4x＋2.3 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝2x－2.4C.eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋9.5 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.3x＋4.4【解析】因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标代入检验，A满足．【答案】A2．(2018·武昌元月调考)根据如下样本数据：x34567y4.02.5－0.50.5－2.0得到的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，若a＝7.9，则x每增加一个单位，y就()A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位 D．减少1.2个单位【解析】根据样本数据可得，eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝0.9，由于样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))满足eq\o(y,\s\up6(－))＝beq\o(x,\s\up6(－))＋a，所以0.9＝b×5＋7.9，可得b＝－1.4.故选B.【答案】B3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【解析】∵0.85>0，∴y与x正相关，∴A正确；∵回归直线经过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴B正确；∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，∴C正确．【答案】D4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：优秀非优秀总计A班14620B班71320总计211940附：参考公式及数据：(1)统计量：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(n＝a＋b＋c＋d)．(2)独立性检验的临界值表：P(K2≥k0)0.0500.010k03.8416.635则下列说法正确的是()A．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关【解析】因为K2＝eq\f(40×（14×13－7×6）2,20×20×21×19)≈4.912，【答案】C5．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30合计附：P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为eq\f(2,7)，则下列说法正确的是()A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到K2＝eq\f(105×（10×30－20×45）2,55×50×30×75)≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．【答案】C6．已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则“(x0，y0)满足线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))”是“x0＝eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)，y0＝eq\f(y1＋y2＋…＋y10,10)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】x0，y0为这10组数据的平均数，根据公式计算线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的eq\o(b,\s\up6(^))以后，再根据eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))为样本平均数)求得eq\o(a,\s\up6(^)).因此(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))外，可能还有其他样本点．【答案】B7．(2018·海南模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间(min)62758189现发现表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为________．【解析】eq\o(x,\s\up6(－))＝30，线性回归方程必过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，则eq\o(y,\s\up6(－))＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数据为a，则eq\f(62＋a＋75＋81＋89,5)＝75，解得a＝68.故填68.【答案】688．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 181310－1用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为________度．【解析】根据题意知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(18＋13＋10＋（－1）,4)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度．【答案】689．(2018·广州模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________．【解析】由K2＝4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%.【答案】5%10．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\o(a,\s\up6(^))，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数eq\o(a,\s\up6(^))的值是________．【解析】依题意可知样本点的中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,8)))，则eq\f(3,8)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(1,8).【答案】eq\f(1,8)11．某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如下表：月份123456销售量x(万件)1011131286利润y(万元)222529261612(1)根据2～5月份的数据，画出散点图，求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问所得线性回归方程是否理想？【解析】(1)根据表中2～5月份的数据作出散点图，如图所示：计算得eq\o(x,\s\up6(－))＝11，eq\o(y,\s\up6(－))＝24，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝24－eq\f(18,7)×11＝－eq\f(30,7).故y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)x－eq\f(30,7).(2)当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)×10－eq\f(30,7)＝eq\f(150,7)，此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(150,7)－22))<2；当x＝6时，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)×6－eq\f(30,7)＝eq\f(78,7)，此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(78,7)－12))<2.故所得的线性回归方程是理想的.12．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请列出每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879【解析】(1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育