人教B版高中数学选修223.2.2复数的乘法和除法学案

复数的乘法和除法（学案）一、知识梳理回顾旧知：复数加、减法法则：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ .其中a，b，c，d为实数．二、基础知识感知（一）：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设，是任意两个复数，那么=即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？新知：对于任意，有反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.※知识拓展具有周期性，即：；；；（二）：共轭复数当两个复数的，虚部互为，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.试试：的共轭复数为问：若是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为：（2）是一个怎样的数？（三）：复数的除法法则二、情境导学1.复数的乘法(1)复数的乘法运算与多项式乘法很类似，可仿多项式乘法进行运算，但最后结果实部、虚部要分开(i2＝－1)．(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，且乘法公式也适用．2．复数的除法在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成商的形式，即(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，然后分子，分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果．这个过程实际上就是把分母“实数化”，这与根式除法的分母“有理化”很类似，注意最后结果要实部、虚部分开．复数乘除运算可推广到多个复数相乘除，其最后结果仍是一个复数．3．共轭复数的性质(1)实数的共轭复数是其本身．即z∈R⇔eq\x\to(z)＝z.(2)z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.(3)当z∈C时，|z|2∈R，但z2∈C，所以一般z2≠|z|2.(4)两个互为共轭复数的对应点关于x轴对称．4．几个常用结论(1)i2＝－1，eq\f(1,i)＝－i，(1±i)2＝±2i.(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)．(3)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.三、典例解析计算下列各题．(1)(2＋3i)2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i). 例2、复数z满足4z＋2eq\o(z,\s\up6(－))＝3eq\r(3)＋i，w＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－w|的取值范围例3、计算：i＋i2＋i3…＋i2013.四、当堂检测1、已知复数z满足z·i＝2－i，i为虚数单位，则复数z＝()A．－1－2i B．1＋2iC．2－i D．－1＋2i2．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝()A．4＋2iB．z＋iC．2＋2iD．3＋i3．(2016·葫芦岛六校联考)eq\f(1＋i3,1－i2)＝()A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i4．已知复数z＝1＋i，则eq\f(z＋1,z2)＝()A.eq\f(1,2)－iB.eq\f(1,2)＋iC．－eq\f(1,2)－iD．－eq\f(1,2)＋i5．设复数z满足(1－i)z＝2i，则eq\x\to(z)＝()A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i6.在复平面内，复数z1与z2对应的点关于虚轴对称，且z1＝－1＋i，则eq\f(z1,z2)＝________.7．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________.8．已知