函数的奇偶性6种常见考法归类（原卷版）

3.1.3函数的奇偶性6种常见考法归类1、奇、偶函数的定义偶函数奇函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)结论则称y＝f(x)为偶函数则称y＝f(x)为奇函数定义域特征定义域关于原点对称等价形式若f(x)≠0，则eq\f(f（－x）,f（x）)＝－1⇔f(x)为奇函数，eq\f(f（－x）,f（x）)＝1⇔f(x)为偶函数2、利用定义法判断函数奇偶性的步骤(1)一看定义域．定义域D要具有对称性，即对∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数．(2)二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系：①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数；②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数；③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数；④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，且D关于原点对称．3、奇、偶函数的图像特征(几何意义)（1）奇函数的图像特征(几何意义)奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数．（2）偶函数的图像特征(几何意义)偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数．注：(1)若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图像上．(2)若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图像上．4、函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．(3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.(4)分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.5、函数奇偶性的图像特征根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．6、利用函数奇偶性求参数的解题思路奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型．(1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解．(2)解析式含参，需根据f(x)＝f(－x)或f(x)＝－f(－x)列式，比较各项的系数求解．7、利用函数奇偶性求函数解析式的方法已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).注意：若奇函数定义域包含0，则必有f(0)＝0.8、函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．9、利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．考点一函数奇偶性的判断考点二函数奇偶性的图像特征考点三利用函数奇偶性求参数考点四利用函数奇偶性求值考点五利用函数奇偶性求解析式考点六函数单调性与奇偶性的综合应用考点一函数奇偶性的判断1．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).2．（山东省潍坊市国开中学、日照市莒县某高中校级联考20232024学年高三上学期春季高考阶段性检测数学试题）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江西·高三宁冈中学校考期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（

）A．是偶函数B．是偶函数C．是奇函数D．是奇函数4．（2023秋·云南昆明·高一校考期中）已知函数，点，是图象上的两点．(1)求，的值；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．5．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数．(1)判断函数的奇偶性；(2)用定义法证明：在上单调递增；6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，且．(1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．(2)证明函数在上是增函数．(3)画出在上的图象，并求在上值域．考点二函数奇偶性的图像特征7．（2023秋·四川成都·高三校联考阶段练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

8．【多选】（2023秋·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考期中）已知定义在上的函数，对任意实数满足，且时，，则下列说法中，正确的是（

）A．2是的周期 B．不是图象的对称轴C． D．是图象的对称中心9．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，.(1)现已画出函数在轴及轴左侧的图象，如图所示，请把函数的图象补充完整，并根据图象写出函数的单调递增区间；(2)写出函数的值域．10．（2023秋·湖北黄冈·高一校考期中）已知定义在上的奇函数，当时，．(1)求函数在上的表达式；(2)画出函数的大致图象；(3)直接写出函数的值域和单调区间．(4)若方程a有两个实数根，直接写出a的取值范围．考点三利用函数奇偶性求参数11．（2023秋·福建泉州·高一校考期中）若是偶函数，则（

）A．2 B．1 C．1 D．312．（2023·全国·高一随堂练习）已知函数是偶函数，求实数a的值．13．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则．14．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，则．15．（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，则（

）A．1 B． C．0 D．216．（2023秋·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数是偶函数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．417．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）若是奇函数，则（

）A．， B．， C．， D．，18．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且．(1)求的值；(2)求使成立的实数的取值集合．考点四利用函数奇偶性求值19．（2023秋·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则.20．（2023·广东·高三学业考试）函数是定义在上的偶函数，当时，，则.21．（2023秋·江苏连云港·高一统考期中）已知，其中为常数，若，则．22．（2023秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）设函数，若是奇函数，则（

）A． B． C． D．考点五利用函数奇偶性求解析式23．（2023秋·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数为奇函数，且当时，则当时，．24．（2023秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为.25．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为.26．（2023·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.27．（2023秋·高一课时练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式．28．（2023秋·广东东莞·高一东莞高级中学校考期中）已知函数（）是偶函数．当时，．(1)求函数的解析式；(2)记在区间上的最小值为，求的表达式．29．（2023·全国·高一专题练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．考点六函数单调性与奇偶性的综合应用30．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是.31．（2023秋·江苏常州·高三常州市第三中学校联考阶段练习）已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为．32．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知是奇函数，且在上是增函数．又，则的解集为（

）A． B．C． D．33．（2023秋·江西·高三宁冈中学校考期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．34．（2023秋·北京东城·高一校考期中）若定义在R上的奇函数在上是增函数，又，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．35．（2023·河南·校联考模