江西省萍乡市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．下列各数中，绝对值最大的是（

）A．2 B． C． D．2．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．3．如图，这是由两个完全相同的小正方体与一个长方体搭成的几何体，则它的俯视图为（

）

A．

B．

C．

D．

4．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（

）A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”5．二次函数（）的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（

）A． B． C． D．6．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上）7．因式分解：．8．我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小贤利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上△，满八进一，用来记录一周背诵单词的个数，图1表示他第一周背的单词数为，图2表示他第二周背的单词数，则他第二周背了个单词．

9．如图，在中，，，，点、分别在、上，沿将翻折使顶点的对应点落在上，若，则等于．10．若，是方程的两个根，则的值为．11．某村电路发生断电，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离该村15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，则抢修车的速度是千米小时．12．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）计算：．（2）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，求证：．14．解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来．15．如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．

(1)在图①中，若，作一个的角；(2)在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．16．小明乘车从家到学校需要在公园站台转车，从家到该站台可乘三路车（小明乘三路车的可能性相同），到了该站台后可以转乘D路或E路车直接到学校（小明乘两路车的可能性相同）(1)小明从家到学校乘坐A路车的概率是________．(2)用列表或画树状图的方法，求小明先乘坐A路车，再转乘D路车到学校的概率．17．“光明商店”为了抓住某次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品5件，B种纪念品4件，需要620元；购进A种纪念品7件，B种纪念品8件，需要1180元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若每件A种纪念品的售价为56元，每件B种纪念品的售价为160元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为W元，请写出总利润W（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．某数学兴趣小组就周六早晨6点至7点在市民公园参加锻炼的各年龄段人群做了抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表．类别年龄段人数占总人数百分比少年人（A）5青年人（B）10中年人（C）m老年人（D）20根据以上信息回答下列问题：(1)扇形统计图中圆心角的度数为________，并补全条形统计图；(2)通过问卷了解到周六早晨6点至7点到公园参加锻炼的5个少年人的年龄依次是14，16，15，16，17，求这5个数据的中位数及众数；(3)该公园周六早晨6点至7点约有1000人进园锻炼，估计该公园周六约有多少青年人进园锻炼，你想对现在的青年人说些什么？19．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，点C在x轴上，为直角三角形，且．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)求点C的坐标．20．图1是放在散热支架上的笔记本电脑实物图，图2是它的侧面示意图，点B，C，D处可转动，支撑架．若电脑显示屏的边，且垂直于桌面，．

(1)求的度数．(2)求笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面的距高．（结果精确到1cm）（，）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图，在中，，是的外接圆，的延长线与的延长线交于E．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长.22．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知，，连接，．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以为顶点的三角形与相似，求出点P的坐标；(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接，．设的面积为S，试求S的最大值．六、解答题（本大题共12分）23．问题情境：如图1，在矩形中，，．E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．猜想验证：（1）填空：的长为________；（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到，与交于点F，与交于点G．①连接，．图中除矩形外，还有几个平行四边形？请一一列举出来，再选其中一个，进行证明；②求的长；拓展研究：（3）如图3，将绕点B按逆时针方向旋转一定角度，分别交和于点M和点N．当时，分别求出的值和线段的长．

参考答案与解析1．D解答：解：∵，，，，∴的绝对值最大，故选：D．2．D解答：解：A、，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算错误，不符合题意；D、，原式计算正确，符合题意；故选：D．3．C解答：解：从上面看得该几何体的俯视图是：

故选：C．4．C解答：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意．故选：C．5．B解答：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴，，抛物线的对称轴位于轴的右侧，，，，由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限，由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限，故选：B．6．A解答：解：∵四边形ABCD是正方形，AB=，∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3．∵AF⊥BE，∴∠EBO=∠GAO．在△GAO和△EBO中，∵∠GAO=∠EBO，AO=BO，∠AOG=∠BOE，∴△GAO≌△EBO，∴OG=OE=1，∴BG=2．在Rt△BOE中，BE==，∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，∴△BFG∽△BOE，∴，即，解得，BF=．故选：A．7．解答：解：==故答案为：．8．156解答：解：由题意可得：个，∴他第二周背了156个单词，故答案为：156．9．解答：解：如图，连接，交于点，根据题意，可得：，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，又∵，，∴四边形为菱形，∴，设，则，∵，，∴，即，解得：，∴，∵，，∴，∴为等边三角形，∴．故答案为：10．7解答：解：∵，是方程的两个根，∴，，∴，故答案为：7．11．20解答：解：设抢修车的速度为千米/时，则吉普车的速度为千米/时，由题意得：解得：，经检验，是原方程的根．故答案为：20．12．2，3，4解答：解：考虑到∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，分两种情况探究：情况1，如图1，作△AOB，使∠AOB=1200，AO=BO=2，以点O为圆心，2为半径画圆，当点C在优弧AB上时，根据同弧所圆周角是圆心角一半，总有∠ACB=∠AOB=600，此时，OC=AO=BO=2．情况2，如图2，作菱形AOMB，使∠AOB=1200，AO=BO=AM=BM=2，以点M为圆心，2为半径画圆，当点C在优弧AB上时，根据圆内接四边形对角互补，总有∠ACB=1800－∠AOB=600．此时，OC的最大值是OC为⊙M的直径4时，所以，2＜OC≤4，整数有3，4．综上所述，满足题意的OC长度为整数的值可以是2，3，4．故答案为：2，3，4．13．（1）；（2）见解析解答：（1）解：；（2）证明：∵D，E分别是，的中点，∴是的中位线，∴，∴，∵，∴，∴．14．；图见解析解答：解：不等式①得：解不等式②得：，∴不等式组的解集为：解集在数轴上表示如图所示：15．(1)见解析(2)见解析解答：（1）解：在上找一点D，连接，如图，

则是直径，∴，∵，∴，∴即为所求；（2）解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点,根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心；

16．(1)(2)解答：（1）解：依题意，∵从家到该站台可乘三路车（小明乘三路车的可能性相同）∴小明从家到学校乘坐A路车的概率是．（2）解：依题意，画树状图如下：由图可知，共有6种等可能的结果，其中小明先乘坐A路车，再转乘路车到学校的结果有1种，小明先乘坐A路车，再转乘路车到学校的概率为．17．(1)A种纪念品每件价格为20元，种纪念币每件价格为130元(2)，种纪念品购买件，种纪念品购买件时利润高解答：（1）解：设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意，得，解得，答：种纪念品每件价格为20元，种纪念币每件价格为130元；（2）根据题意，得，解得，根据题意得：，，随的增大而减小，当时，有最大值：，（件，故购进种纪念品270件，购进种纪念品30件时利润最高，利润最高为10620元．18．(1)，图见解析(2)16，16(3)200名，加强锻炼，身体健康比什么都重要解答：（1）解：调查的总人数为：（人），∴C类人数（人），∴圆心角的度数为：，补图如下：（2）解：数据按从小到大排列为：14，15，16，16，17，∴最中间一个数为16，则中位数为16，∵16出现的次数最多，则众数为16．（3）解：（名），∴估计该公园周六约有200名青年人进园锻炼我想对青年人说，加强锻炼，身体健康比什么都重要（答案不唯一）．19．(1)，(2)解答：（1）将代入反比例函数中，得，解得，故反比例函数的表达式为

将代入反比例函数中，得，解得，故

将代入一次函数中得，解得故一次函数解析式为（2）如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，

则，为等腰直角三角形，，．在和中，20．(1)；(2)端点F到桌面的距高为．解答：（1）解：在图2中，分别过点C、D、E作水平线，再分别过点C、D作竖直线，交点分别有J、G、K．

得，，，∴；（2）解：在中，，，∴，在中，，，∴，在中，，，∴．∴，答：端点F到桌面的距高为．21．(1)见解析(2)解答：（1）证明：∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：连接，如图所示：∵四边形是平行四边形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，设，则，的半径为，由勾股定理得：，即，解得：，即．22．(1)(2)或或或(3)解答：（1）∵抛物线经过和两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式：；（2）解：，∴的坐标是，，，∵抛物线的对称轴是，，∴点的横坐标是1，∵为顶点的三角形与相似，，∴或；∴或，∴或，∴点的坐标为或或或；（3）如图，过点作交于点，交轴于点，设点的坐标为，∵位于第一象限，∴，∵和，