2024-2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时距离问题分层作业新人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量探讨距离、夹角问题第1课时距离问题A级必备学问基础练1.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.1652 B.2C.53 D.532.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.2 B.2C.3 D.323.已知直线l过点P(1,3,1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点A(1,-1,-1)到直线l的距离为 ()A.32 B.4C.25 D.34.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2BB1=2,则点C到直线AB1的距离为()A.155 B.C.153 D.5.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是棱A1B1的中点,P在正方体内部且满足AP=34A.点A到直线BE的距离是5B.点A到直线BE的距离是2C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3D.点P到直线AB的距离为256.已知平面α内一点P(8,9,5),点Q(1,2,2)在平面α外,若α的一个法向量为n=(4,3,-12),则点Q到平面α的距离为.

7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D间的距离是.

8.如图所示,四边形ABCD为正方形,ABEF为矩形,且它们所在的平面相互垂直,AB=2BE=4,M为对角线AC上的一个定点,且3AM=MC,则M到直线BF的距离为.

B级关键实力提升练9.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|Ax0+By0+Cz0A.55 B.C.2 D.510.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=2,直线AD与A1C1所成的角为π4,E为棱BB1的中点,则点D1到平面ACE的距离为11.如图,多面体ABC-A1B1C1是由长方体一分为二得到的,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,点D是棱BB1的中点,则异面直线DA1与B1C1的距离是.

12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求点F到平面AEC1的距离.13.如图,在四棱锥A-BCDE中,AB=AC=CD=2BE=4,BE∥CD,CD⊥CB,AB⊥AC,O为BC中点,且AO⊥平面BCDE.(1)求点B到平面ADE的距离.(2)线段AC上是否存在一点Q,使OQ∥平面ADE?假如不存在,请说明理由;假如存在,求AQAC的值

参考答案1.4.2用空间向量探讨距离、夹角问题第1课时距离问题1.D∵OP=12(OA+OB)∴PC=∴|PC|=4+12.A∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),则OA=(1,2,3).又两平面的一个法向量n=(-1,0,1),∴两平面间的距离d=|n·OA3.A由题得,PA=(0,-4,-2),|PA|=25,|PA·m||m|=224.D由题意知,BC=AC=AB=2,BB1=2.取棱AC的中点O,则BO⊥AC,BO=3.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B1(3,0,2),C(0,1,0),所以AB1=(3,1,2),CA=(0,-2,0),所以CA在AB1上的投影的长度为|CA·A故选D.5.BC如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以BA=(-1,0,0),BE=-12,0,1.设∠ABE=θ,则cosθ=BA·sinθ=1-故点A到直线BE的距离d1=|BA|sinθ=1×255由图易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离.则A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=0,n·A所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离d2=|A即平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33,故C正确因为AP=34AB+12又AB=(1,0,0),则|AP·AB||AB|=34,所以点6.1因为P(8,9,5),Q(1,2,2),所以PQ=(-7,-7,-3).又α的一个法向量为n=(4,3,-12),所以点Q到平面α的距离为|PQ·n7.33以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z则A(0,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1).设平面AB1C的法向量为m=(x1,y1,z1),AB1=(1,0,1),AC=(1,1,0),由m·AB=x1+z1=0,m·AC=x1+y1设平面A1C1D的法向量为n=(x2,y2,z2),DA1=(0,-1,1),DC1=(1,0,1),由n·DA1=-y2+z2=0,n·DC因为m=n,平面AB1C与平面A1C1D不重合,故平面AB1C∥平面A1C1D.因为AD=(0,1,0),所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d=|AD8.705以B为原点,BA,BE,BC所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),F(4,2,0),C(0,0,4),A(4,0,0),BA=(4,0,0),BF=(4,2,0),AC=(-4,0,4)因为3AM=MC,所以AM=则BM=BA+14AC=(4,0,0)+1令a=BM=(3,0,1),u=BF|BF|=(4,2,0)25=255,55,0,所以9.B以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-12D,所以方程可化为-Dy-12即2y+z-2=0,所以d=|210.3依据题意可得A1C1∥AC,故直线AD与A1C1所成的角即为直线AD与AC所成的角,即∠DAC=π4,则∠DCA=π∴△CDA为等腰直角三角形,∴CD=AD=1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),B1(1,1,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),AC=(-1,1,0),AE=(0,1,1),D1A=(1,0,-2),设平面ACE的法向量n=(x,y,则n·AC=-x+y=0,n·AE故点D1到平面ACE的距离为|D11.22以B为坐标原点,分别以BC,AB,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),A1(0,1,2),B1(0,0,2),C1∴DA1=(0,1,1),B1设m=(x,y,z)是DA则DA1·m=0,即y+z=B1C1·m=0,即易知x2+y2+z2=1,③联立①②③,解得x不妨取m=0,22,-22,又C1D=(-1,0,则异面直线DA1与B1C1的距离d=|C12.解(1)以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),C1(0,1,0),E1,12,0,F1,12,1,则AB=(0,1,0),AC1=(-1,1,-1),AE=0,12,-1,EC1=-1,12,0,AF=0,12,0.取a=AB=(0,1,0),u=AC1|AC1|=33(-1,1,-1),则a2=1,a·u(2)设点F到平面AEC1的距离为d,平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则n取z=1,则x=1,y=2,所以n=(1,2,1).又AF=0,12,0,故点F到平面AEC1的距离为d=|AF·13.解(1)∵AO⊥平面BCDE,BC⊂平面BCDE,∴AO⊥BC.∵O为BC中点,取ED中点M,∴OM∥CD.∵CD⊥CB,∴OM⊥CB.如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,∵AB⊥AC,且AB=AC,∴BC=42+42=42.则A(0,0,22),B(22,0,0),C(-22,0,0),E(22,2,0),D(-22,4,0),O(0,0,0),∴BE=(0,2,0),DE=(42,-2,0),AE=(22,2,-设平面ADE的法向量n=(x,y,z),则n令x=1,则y=22,z=