事件的关系和运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章

概

率10.1随机事件与概率

10.1.2

事件的关系和运算一二三学习目标了解随机事件的并、交与互斥的含义能够利用维恩图理解随机事件当中的（和事件、积事件）运算能结合实例进行随机事件的并与交运算学习目标复习回顾1.样本空间有关概念：(2)样本空间：全体样本点的集合，用Ω表示.

2.随机事件有关概念：(1)基本事件:只包含一个样本点的事件.(3)事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.(4)必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.Ω为必然事件.(5)不可能事件：在每次试验中都不会发生.

为不可能事件.(2)随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集.(1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示.

从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.新知探究探究

在掷骰子的试验中,观察骰子朝上面的点数,我们可以定义许多事件,例如：

Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6；

D1

=“点数不大于3”,D2

=“点数大于3”；

E1

=“点数为1或2”,E2

=“点数为2或3”；

F=“点数为偶数”,G=“点数为奇数”；……你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些事件之间的联系吗？C1={1}；C2={2}；C3={3}；C4={4}；C5={5}；C6={6}；D1={1,2,3}；D2={4,5,6}；E1={1,2}；E2={2,3};F={2,4,6};G={1,3,5};新知探究探究

在掷骰子的试验中,观察骰子朝上面的点数,我们可以定义许多事件,例如：

Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6；

D1

=“点数不大于3”,D2

=“点数大于3”；

E1

=“点数为1或2”,E2

=“点数为2或3”；

F=“点数为偶数”,G=“点数为奇数”；……你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些事件之间的联系吗？C1={1}；C2={2}；C3={3}；C4={4}；C5={5}；C6={6}；D1={1,2,3}；D2={4,5,6}；E1={1,2}；E2={2,3};F={2,4,6};G={1,3,5};新知探究问题1

用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的关系如何？C1={1}和G={1,3,5}如果事件C1发生，那么事件G一定发生.集合表示：

即事件G包含事件C1.包含关系

一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作如图示.

特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即

则称事件A与事件B相等，记作A=B.ABΩ新知探究问题2

用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}.事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生.集合表示：这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.

一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作

(如右图所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件)ABΩ并事件（和事件）新知探究问题3

用集合的形式表示事件C2=“点数为2”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？C1={2},E1={1,2},E2={2,3}.事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生，集合表示:这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件.交事件（积事件）

一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作

(如右图所示的蓝色区域)ABΩ新知探究问题4

用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系是什么？C3={3}，C4={4}事件C3与事件C4不可能同时发生.集合表示：这时我们称事件C3与事件C4互斥.互斥事件

一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=

，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）.（如右图所示）ABΩ（1）事件A与事件B在任何一次

试验中不会同时发生。（2）两事件同时发生的概率为0。注：事件A与事件B互斥时新知探究问题5

用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，这两个事件之间的联系如何？F={2,4,6}，G={1,3,5}在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.集合表示：F∩G=

且F∪G=Ω称事件F与事件G互为对立事件

一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=

，我们就称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记作.（如右图所示）对立事件AΩ追问

具有这种关系的事件还有那些？D1与D2.（1）事件A与事件B在任何一次

试验中有且仅有一个发生。注：事件A与事件B对立时（2）A

B为不可能事件，

A

B为必然事件（3）对立事件一定是互斥事件，

但互斥事件不一定是对立事件。新知探究问题6“对立事件”、“互斥事件”都是指不会同时发生的事件，那么这两种事件之间的关系有什么异同呢？①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，而对立事件只针对两个事件而言.②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，就是不可能同时发生；对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生.

因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件.归纳小结综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=

互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=

,A∪B=Ω类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件，例如，对于三个事件A,B,C，A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生，等等.典例解析例5如图示，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.

(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；

(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；

(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件，并说明它们的含义及关系.乙甲解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1,

x2)表示这个并联电路的状态.用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω

={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)},

B={(0,1),(1,1)}，={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}.典例解析例5如图示，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.

(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；

(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；

(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件，并说明它们的含义及关系.乙甲∴A∪B

和

互为对立事件.

(3)A∪B={(0,1),

(1,0),(1,1)},={(0,0)};A∪B表示电路工作正常，

表示电路工作不正常.典例解析例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？

事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1,x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间为Ω

={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3)},R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)},R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}，N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}.典例解析例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？

事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？解：(2)∵R⊆R1,∴R1包含事件R；∵R∩G=

,∴事件R与事件G互斥；∵M∪N=Ω,M∩N=

，∴事件M与事件N互为对立事件.(3)∵R∪G=M，

∴事件M是事件R与事件G的并事件.∵R1∩R2=R，∴事件R是事件R1与事件R2的交事件.巩固练习课本P2351.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是().

(A)至多一次中靶(B)两次都中靶

(C)只有一次中靶(D)两次都没有中靶D[变式]某人连续射击3次，则事件“至少击中两次”的对立事件是()

A．恰有一次击中

B．三次都没击中

C．三次都击中

D．至多击中一次D[练习]把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(

)

A.对立事件

B.互斥但不对立事件

C.不可能事件

D.以上都不对B巩固练习课本P2