人教A版（2019）高中数学必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂

4.1.1n次方根与分数指数塞

教材分析：

教科书章引言一方面指出了章头图所蕴含的数学模型，另一方面还列举了这些数学模型

的其他背景实例，从而指出本章将类比幕函数的研究方法，学习指数函数、对数函数的概念、

图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较，以及运用它们解决一些实际问

题.

教科书章头图是良渚遗址.通过章引言，指出生物体死亡后，体内碳14的含量随着时

间的变化按一定的规律衰减，引出本章将要学习的指数函数.在实际应用中，往往是先通过

技术手段测出死亡生物体内碳14的含量,然后根据指数函数建立生物体内碳14的含量与死

亡时间的关系，并利用对数和对数函数推算生物死亡的大致时间，从而实现考古的目的.由

于死亡生物体内碳14的含量随时间连续变化，说明引进分数指数幕和无理数指数幕的必要

性，并为指数函数的定义域是实数集提供了现实背景.

研究函数必先掌握运算，而数及其运算是推动数学发展的源泉和动力之一，是数学的基

石.指数累运算和对数运算是两类基本运算，对数运算与指数幕运算紧密相连，需要转化成

指数幕运算，因此，熟练掌握指数幕运算是本章的基础.

指数累运算的本质是数的自乘,把整数指数累运算推广到有理数指数幕运算的本质就是

使用新的运算符号表示根式运算和分式运算（负数指数塞运算），简而言之就是从一个符号

的规定再到另一个符号的规定.只要能够准确进行两种运算符号的转化即可.而有理数指数

幕这种数学运算符号表示的简洁性、运算的倬捕性都优于分式和根式，这一符号的产生具有

其必然性.比如：a与b的算术平均数为：（。+5），几何平均数为，可理解为运算

级的上升.事实上从16世纪比利时数学家斯蒂文尝试用分数对应根式开始，历经17世纪牛

顿用有理数指数累符号表示根式，直至18世纪欧拉才明确给出定"而«:表示法才被人们

普遍接受和使用.指数幕运算的发展史充分说明基于数学语言的简洁性、准确性和合理性，

有理数指数幕运算符号的产生与完善是有其历史必然性的.

教科书在研究累函数时把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作

c=S）引出分数指数幕的表示法.数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与己有

的概念或法则相容，于是从根式的意义入手，将正整数指数累转化为被°=君【指数能被根

指数整除的根式，推广到被开方数的指数不能被根指数整除的根式，又为了希望整数指数幕

的运算能与其相容，于是只规定了被开方数为正数的分数指数运算.事实上分数指数幕是根

式的一种新的表示方法，其表示的简洁性、运算的便捷性都优于根式.而负数为被开方数的

分数指数幕是需要扩充到复数空间研究的，不能用根式解释，故此时讨论(-2)’之类的问

题也是没有意义的.

因此本节课的教学重点是：根式与有理数指数幕的意义及运算性质.

学情分析：

虽然学生已经掌握了整数指数幕的概念及其运算性质，并在学习塞函数的过程中接触过

二次根式的分数指数幕的符号表示，但是由于n次方根及有理指数幕比较抽象，学生理解起

来还是有困难.

因此本节课教学难点是：理解根式及分数指数幕的定义，及有理数指数塞的运算性质.

教科书是通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n次方根，归纳类比出n次方根

的一般定义与性质.n次方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广.教学时，可以用

平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概

念的又一次推广，教学中应多举实例让学生理解分数指数幕的意义，明确分数指数幕是根式

的一种新的写法，并通过根式和分数指数幕的互化区分负数指数幕与分数指数幕的不同，巩

固、加深对有理数指数幕的理解.

教学目标：

1.经历n次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质.

2.了解分数指数塞表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数累间的互化.

3.理解有理数指数幕意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养.

教学重点：理解〃次方根及根式的概念，掌握根式的性质.

教学难点：理解根式及分数指数哥的定义，有理数指数基的运算性质.

教学过程：

1.独立阅读，明确任务

问题1请同学们先阅读教材第四章的章头图和章引言，再回答如下问题：

(1)本章将要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？

(2)这些函数可以解决哪些现实问题？

师生活动：学生独立阅读教材内容，回答上述问题.

预设的答案：(1)指数函数与对数函数，及其相关知识.

(2)比如人口增长模型是指数函数；不可治愈的强传染病在大量人群中传播的初期都

是一个简单的指数增长；声音的强度单位分贝是用对数做单位的(因为人耳对声音的变化很

不敏感，其变化成倍数时才会有感)；衡量酸碱度的PH值也是取离子浓度的对数做单位

的……举例时应突出指数函数爆炸性增长的特点，对数函数增速变缓的特征.

设计意图：明确本章研究内容、目的、实际应用背景，为本章的研究指明方向.

2.创设情境，引发思考

问题2为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.初中已经学过整

数指数累，请回顾正整数指数累、负整数指数基的意义，并谈谈整数指数幕运算与乘法、除

法运算的关系.指数的范围还能进一步扩充吗？

师生活动：学生回答，提出自己的猜想，教师予以归纳.

预设的答案：正整数指数幕来源于自乘运算，负整数指数累运算来源于数的自乘运算的

倒数，这种募运算在表示形式上更加简洁.在学习幕函数时曾经把正方形场地的边长c关于

面积s的函数0二君记作c=,因此猜想，指数的范围还能进一步扩充.

设计意图：通过复习整数指数幕的运算，体会指数运算源于数的自乘，同时为了表示的

简洁才引入了指数幕运算，阐述指数塞运算产生的必要性，以便引出分数指数幕运算.

3.类比归纳，形成定义

问题3请类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根，5次方根，10次方根，11

次方根，……你认为n次方根应该是什么？

预设的师生活动：先由学生举例解释，然后进行观察、归纳、抽象.

预设答案：

学生举例：①(土2)4=16,我们把叫做16的4次方根;

②(-2)5=-32,我们把叫做-32的5次方根；

③37=2187,我们把3叫做2187的7次方根;

教师讲解:

〃次方根：一般地，若工”=4,则x叫做。的〃次方根，其中力＞L且

5

追问1：观察所举的例AD(±2)=16,我们把±2叫做16的4次方根；②(-2)=-32,

我们把-2叫做-32的5次方根；@37=2187,我们把3叫做2187的7次方根.当n为偶数

时，被开方数的符号、〃次方根分别是什么？〃为奇数时呢？

预设的答案：当«为偶数时，正数a的正的«次方根用也表示；正数。的负的»次方

根用-也表示.正的n次方根与负的n次方根合并写成士也.

当〃为奇数时，。的〃次方根用符号也表示.

国叫做根式，其中"称为根指数，。为被开方数.

追问2：。的"次方根该如何规定？

预设的答案：零的“次方根为零，记为a=0.

设计意图：引导学生由特殊到一般进行观察、归纳、抽象.形成n次方根的定义.

4.深入分析，精致定义

问题4对于任意一个实数，它的n次方根分别是怎样的？

预设答案：

〃为奇数，而欹方根有一个，为融

协正数:

〃为偶数，邳欹方根有两个,为土而

〃为奇数，曲，次方根只有一个，为乐

a为负数:.

〃为偶数，曲，次方根不存在.

设计意图：规范根式的表示方法，通过对被开方数的分类讨论，理解根式的意义.

问题5:（加）"=。一定成立吗？而7表示"的"次方根,等式海=。一定成立吗？

如果不一定成立，那么"等于什么？

预设的师生活动：学生依然是通过大量举例来解决问题.在举例过程中注意进行分类条

理，分类标准是："为奇数或偶数，。的符号.

预设答案：

（1）由（检/=2,（退/=-2,（皖/=-3,（盟『=4

（平球无意义，可以抽象得到：（％）"=。（。>0,〃曰*）；

（%）"=4（4<0,〃是奇数）；（夜）无意义是偶数）

也就是说，只要根式有意义则（柘）”=O.

（2）由取—3）3=划-27=-3,N2,=432=2,—^/0=0,…

可以抽象得到："为奇数，聒=a；

（3）由0（-8）4=|-81=8，^（-3）=|-3|=3,>/7^'=|7|=7）^/o^=|o|=O,...

r-fa67>0

可以抽象得到：〃为偶数，0/旦。|=A.

一4a<0

小结：当n为偶数时,化简得到结果先取绝对值，再根据绝对值算具体的值,

这样就容易避免出现错误.

设计意图：通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解n次方根概念，形成严谨

的逻辑划分思想，提升逻辑推理的核心素养.将正整数指数塞转化为被开方数的指数能被根

指数整除的根式引出分数指数幕运算的定义.

追问1："=（%）”是否成立，举例说明.

预设的答案：存'=（用［将'=（汨［如6）5=（2j,

［（一6『=6,（注,无意义.

追问2：谈谈你对乘方与开方关系的理解，在实际化简运算中该注意什么？

预设的答案：被开方数是正数时"=（夜）"，将=（我）'=25=32简化运算.

预设的师生活动：学生独立完成证明，然后交流展示.

设计意图：通过简单应用，落实一个数到底有没有n次方根，一定先考虑被开方数到底

是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.通过反例说明两步缺一不可.如果被

开方数是一个正数，那么一是一定成立的，并且其结果就是•为引出分数指数

幕做铺垫.

5.初步应用，深化理解

例1求下列各式的值：

(1)^7；

(2)7(-10)2；

(3)#(3_万)3

(4)&a-bf

追问：求解的依据是什么？

解：⑴而铲'=-8;

(2)7(-10)2=|-10|=10；

(3).(3田，=万-3；

(4)J(a_b)，=._.=［：b

\p-a,a<b-

6.类比研究，获得有理数指数塞

问题6负整数指数幕是用于表示分式的，如-，其本质是通过扩充指数

的范围表示分式.那么根式可以利用指数幕的形式表示吗？如果能，你要如何扩充指数的范

围呢？尝试给出一个合理规定表示根式，并谈谈你这样规定的合理性.

预设的师生活动：学生分组交流，可谈出多种方法，教师可提示以不改变指数塞的运

算性质为标准.

设计意图：从16世纪比利时数学家斯蒂文尝试用分数对应根式开始，历经17世纪牛顿

用有理数指数幕符号表示根式，直至18世纪欧拉明确给出定义，这一表示法才被人们普遍

接受和使用.这一历史发展过程充分说明分数指数幕的产生有其历史必然性，学生可以通过

类比归纳，感受数学家制定规则时内在的逻辑性、概念之间的相容性，体会数学的简洁美，

提升类比推理的能力.

追问1:根据n次方根的定义和数的运算，我们知道

ma'。='(一/=a?=q5>0),

y[a^='3『=a3=a4(a>0),

这就是说，被开方数的指数能被根指数整除的根式，可以表示为分数指数累的形式.那

么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如''，是否

也可以表示为分数指数幕的形式？如何表示？

预设的师生活动：学生类比猜想得到答案.

221331

拓出桂安标=〃，标=。4=。2,汨=疳，=a9=a3,(a>0)

坎收•告•莱：

教师讲解：我们规定正数的分数指数累的意义是

m

被开方数为负时不做研究.

设计意图：为问题6的解决铺设阶梯.

追问2：阅读教科书，理解分数指数幕的意义，谈谈负分数指数幕的意义.零与负数有

分数指数累吗？能不能说说这些规定的合理性？

预设的师生活动：学生阅读教科书，回答问题.

预设答案：负分数指数幕是在正分数指数募的基础上取倒数.规定0的正分数指数幕都

是0;0不能做分母，零的负分数指数塞没有意义.而负数为被开方数的分数指数幕是需要

2

扩充到复数空间研究的，不能用根式解释，故此时讨论(-2)3之类的问题也是没有意义的.

规定：(1)0的正分数指数幕等于0；

(2)0的负分数指数累没有意义.

设计意图：规范表示方法，通过探讨数学符号形成的科学性与合理性，与根式比较体会

分数指数表示在运算中的简洁性，同时理解分数指数幕意义的本质就是根式.

追问3：有理指数塞的运算性质有哪些？

预设的答案：

⑴a"=a"*(a>0,r,se0);

⑵=a"(o>0,7,,se0);

(3)(ab)'-arbr(a>0,6>0,7,e0);

7.初步应用，深化理解

例2求值：

211

(1)83；(2)252；(3)(―尸

例3用分数指数募的形式表示下列各式（其中a>0）：

⑴a城(2)Ja设.

追问：求解的依据是什么？

预设的师生活动：学生独立完成，并展示，教师予以纠错并规范.

预设的答案：

例2

223x2

解：⑴第=（2厅=2.=2?=4；

⑵25T=(52)+=5"咛=5-J；；

例3

22

解：⑴a2^=a2a^=a^