高中-高中数学圆锥曲线

“圆锥曲线与方程”复习讲义

高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求：

(1)圆锥曲线

①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用

②掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单性质

③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质

④理解数形结合的思想⑤了解圆锥曲线的简单应用

(2)曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

第01讲椭圆

一、基础知识填空：

1.椭圆的定义：平面内与两定点Fl,Fz的距离的和的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的两焦点之间的距离叫做椭圆的_______.

22

2.椭圆的标准方程：椭圆与+4=1(a>b〉O)的中心在,焦点在轴上，

a'b'

焦点的坐标分别是是B，邑；

y2x2

椭圆二+三=1(a>b>0)的中心在______,焦点在_______轴上，焦点的坐标

a-b

分别是F,,F2.

3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的.a和b分别叫做椭圆的长和____长。

椭圆的焦距是a,b,c的关系式是_

椭圆的_—与—_的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e的范围是_

二、典型例题：

22

例1.(2001春招北京、内蒙、安徽文)已知与、尸2是椭圆器+/=1的两焦点，过点B的直线

交椭圆于点A、B,若IABI=5,贝IJI46I+I8K1=()

(A)11(B)10(C)9(D)16

例2.(2007全国II文)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为()

1V31V3

(A)-(B)一(C)-(D)三

3322

例3.(2005全国卷HI文、理)设椭圆的两个焦点分别为F-F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于

点P,若aFiPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()

A.—B./二।C.2-V2D.72-1

22

例4.(2008海南、宁夏文)过椭圆工+乙=1的右焦点作•条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两

54

点，O为坐标原点，则aOAB的面积为

三、基础训练:

22

1.（2004春招安徽文、理）已知Q、F2为椭圆，+3=1（。＞匕＞0）的焦点，M为椭圆上一点,

垂直于x轴，且NF"&=60°,则椭圆的离心率为（）

1R全「心」）立

Z41•2•Q1.3Jlx（0

2.（2005春招北京理）设abcwO,"ac＞0”是“曲线a/+by2=。为椭圆”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

3.（2005全国卷III文、理）设椭圆的两个焦点分别为R.、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点

P,若△F|PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

A.—B.C.2-V2D.V2-1

22

4.（2004湖北理）已知椭圆亮+3-=1的左、右焦点分别为耳、F2,点P在椭圆上，若P、自、

F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）

99779

（A）-（B）3（C）（D）-

574

5.（2004湖南文）BE是椭圆C：二+工=1的焦点，在C上满足PFJPF2的点P的个数为.

84

6.（2008浙江文、理）已知E、K为椭圆二+士=1的两个焦点，过E的直线交椭圆于力、占两

259

点。若|用川+|用?|=12,则|4曲=。

7.（2000全国文、理，江西、天津文、理，广东）椭圆亍+5=1的焦点与、巴，点「为其上的

动点，当NE尸B为钝角时，点P横坐标的取值范围是。

四、巩固练习:

1.（2004全国卷I文、理）椭圆L+y2=1的两个焦点为F|、F2,过F1作垂直于x轴的直线与

4

椭圆相交，一个交点为P,贝”而1=（）

A.——B.y/3C.-D.4

22

2.（2008江西文、理）已知耳、鸟是椭圆的两个焦点.满足〃片•=0的点M总在椭圆内部，

则椭圆离心率的取值范围是（）

1V2V2

A.（0,1）B.（0,—]C.（0>---）D.f---，1）

222

V2/I

3.（2007江西文、理）设椭圆—y+J=l（a>8>0）的离心率为e=/,右焦点为F（c,0）,方程

ax?+bx—c=0的两个实根分别为xi和X2，则点P（x”x2）（）

A.必在圆/+『=2上B.必在圆x?+y2=2外

C.必在圆x~+y?=2内D.以上三种情形都有可能

4.（2007福建理）已知正方形ABCD,则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为

7

5.（2008全国I卷理）在△45C中，AB^BC,COSJ8=--.若以48为焦点的椭圆经过点C,

则该椭圆的离心率e=.

6.（2007福建文）已知长方形4BC£）,AB=4,BC=3,则以A、B为焦点，且过C、。两点的椭圆的

离心率为»

7.（2003春招北京、文理）如图，F,,F?分别为椭圆£+与=1的左、

a2b2

右焦点，点P在椭圆上，aPOFz是面积为上的正三角形，则b?

的值是____________.

“圆锥曲线与方程”复习讲义（参考答案）

第01讲椭圆（参考答案）

二、典型例题：

5

例1.A.例2.D.例3.D.例4.

3

三、基础训练：

'3753新、

1.C.2.B.3.D.4.D一丁'亨,

四、巩固练习：

3।

1.C.2.C.3.C.4,A/2—1.5.—.6.—o7.2-\/3

82

历届高考中的“椭圆”试题精选（自我测试）

一、选择题：

题号12345678

答案

1.(2007安徽文)椭圆x2+4y2=1的离心率为()

(A)—(B)-(C)—(D)-

2423

2.（2008上海文）设p是椭圆工+乙=1上的点.若F、,入是椭圆的两个焦点，则|「川+|尸产2］等于

2516

（）

A.4B.5C.8D.10

/V2I

3.（2005广东）若焦点在工轴上的椭圆一+1=1的离心率为一，则0!=（）

2m2

4.（2006全国H卷文、理）已知△板的顶点6、C在椭圆彳+/=1上，顶点力是椭圆的一个焦点,

且椭圆的另外一个焦点在%边匕则△?!比'的周长是（）

（4）2m（B）6（C）473（。）12

5.（2003北京文）如图，直线/:x-2y+2=0过椭圆的左焦点

R和一个顶点B,该椭圆的离心率为（）

1cV52V5

A.

5555

6.（2002春招北京文、理）已知椭圆的焦点是F|、F?、P是椭圆上的一个动点.如果延长FF到Q,

使得IPQI=IPF?I,那么动点Q的轨迹是（）

（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线

7.（2004福建文、理）已知H、F2是椭圆的两个焦点，过B且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、

B两点，若△ABF?是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）

旦（B）4百

(A)

32V

8.（2007重庆文）已知以后（2,0）,&（2,0）为焦点的椭圆与直线x+而+4=0有且仅有一个交点,

则椭圆的长轴长为（）

（A）372（B）2"(C)277(D)472

二、填空题：

3

9.（2008全国I卷文）在aABC中，NA=90°,tan8=—.若以46为焦点的椭圆经过点C,

4

则该椭圆的离心率e=.

10.（2006上海理）已知椭圆中心在原点，•个焦点为F（—26，0）,且长轴长是短轴长的2倍,

则该椭圆的标准方程是.

11.(2007江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知AA8C顶点A(—4,0)和。(4,0),顶点8在椭圆

x2y2,,sinA+sinC

—+—=1±,则nl------------=

259sinB

12.（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）椭圆/+4y2=4长轴上一个顶点为A,以4为直角顶点

作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是,_

历届高考中的“椭圆”试题精选（自我测试）

参考答案

一、选择题:

题号12345678

答案ADBCDABC

二、填空题:

“圆锥曲线与方程”复习讲义

第02讲双曲线

一、基础知识填空：

1.双曲线的定义：平面内与两定点F-&的距离的差____________________的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的两焦点之间的距离叫做双曲线的.

22

2.双曲线的标准方程：双曲线二―4=1匕〉0加>0）的中心在焦点在轴上，

a-b-

焦点的坐标是：顶点坐标是渐近线方程是.

22

双曲线¥7-27=19>0,b>0）的中心在，焦点在轴上，

atr

焦点的坐标是；顶点坐标是渐近线方程是

3.几个概念：双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的.a和b分别叫做双曲线的长

和_______长。双曲线的焦距是.a,b,c的关系式是。

双曲线的与的比称为双曲线的离心率，记作e=,e的范围是.

4.等轴双曲线：和等长的双曲线叫做等轴双曲线。

双曲线是等轴双曲线的两个充要条件：（1）离心率e=（2）渐近线方程是.

二、典型例题：

例1.（2008全国H卷文）设△ABC是等腰三角形，4480=120°,则以A,B为焦点且过点C的双

曲线的离心率为（）

A.上在B.上芭C.1+V2D.1+V3

22

例2.（2007江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴匕一条渐近线方程

为x—2y=0,则它的离心率为（）

A.y/5B.C.y/3D.2

2

例3..（2004天津文、理）设P是双曲线二-匕=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x—2y=0,

a9

F「F2分别是双曲线的左、右焦点，若IPK1=3,贝"PF21=（）

A.1或5B.6C.7D.9

例4.（2005春招北京理）已知双曲线的两个焦点为鸟（—括,0）,F2（V5,O）,P是此双曲线上的一点,

且1尸61・1尸产21=2，则该双曲线的方程是（）

三、基础训练：

1.（2005福建文）已知定点A、B且IABI=4,动点P满足IPALIPBI=3,则IPAI的最小值是（）

3「7

A.-B.-C.一D.5

222

（冰4

2.（2006全国II卷文、理）已知双曲线不一力=1的一条渐近线方程为尸袅,则双曲线的离心率为（）

晶仪3

5唠4（。5弓（%3

JJTZ

2

3.（2007全国II文）设BE分别是双曲线x2-^-=l的左右焦点，若点P在双曲线上，且西•瓯=0,

则画+叫=（）

（A）V10（B）2V10（C）A/5（D）2A/5

4.（2008四川文）已知双曲线C：土-匕=1的左右焦点分别为耳,P为。的右支上一点，且

916

\PF2\=\FtF2\,则A/岑乙的面积等于（）

（A）24（B）36（C）48（D）96

5.（2005上海理）若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是（JI3,0）,则双曲线的方程

是,

6.（2008山东文）已知圆C:F+y2—6x-4y+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的•个

焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为

7.（2007海南、宁夏文、理）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该

双曲线的离心率为.

四、巩固练习：

1.（2003全国文，天津文，广东）双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F|、F2,

ZF,MF2=120O,则双曲线的离心率为（）

ACH底

A.73D.C・D.--

233

2.（2007辽宁理）设P为双曲线/一定■=1上的一点，片，居是该双曲线的两个焦点，若

IPF11:1PF2\=3:2,则丛PF\F］的面积为（）

A.6y/3B.12C.12^/3D.24

22

3.（2005福建理）已知H、F2是双曲线27-==1（。>0,〃>0）的两焦点，以线段FF2为边作正三

h

角形MFF2,若边MF|的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

V3+1

A.4+273B.V3-1C.D.V3+1

2

4.（2008全国II卷理）设。〉1,则双曲线j--J=1的离心率e的取值范围是（）

a2（a+1>

A.（72,2）B.（近⑹C.（2,5）D.（2,75）

5.（2001春招上海）若双曲线的一个顶点坐标为（3,0）,焦距为10,则它的标准方程为

22

6.（2007湖北文）过双曲线二-匕=1左焦点厂的直线交双曲线的左支于A/、N两点，F2为其右焦

43

点，则IMF2I+INBLIMNI的值为。

7、（2008海南、宁夏理）双曲线工-二=1的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐

916

近线的直线与双曲线交于点B,则AAPB的面积为

第02讲双曲线（参考答案）

二、典型例题：

例LB.例2.A.例3..C.例4.C.

三、基础训练:

2222

1.C.2.A.3.B4.C.5.二上=1;6.-----------=1.7.3

19412

四、巩固练习:

2,,232

7.

1?

)

243、9

(A)y=±—x(B)y=±—x(C)y=±—x(D)y=±—x

3924

2.（2006全国I卷文、理）双曲线〃优2+/2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则相=（）

11

--4-

A.4B.~4C.D.4

3.（2000春招北京、安徽文、理）双曲线1-4=1的两条渐近线互相垂直，那么该

b-a-

双曲线的离心率是（）

A.2B.V3C.V2D.-

2

4.（2007全国I文、理）已知双曲线的离心率为2,焦点是（-4,0）,（4,0）,则双曲线方程为（)

22222222

(A)土-匕=1(B)土-汇=1(C)三-2=1(C)土-匕=1

412124106610

5.（2008辽宁文）已知双曲线9y2-机2苫2=1（加＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1,

则团=（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2005全国卷III文、理）已知双曲线》2一上_=1的焦点为P、F,,点M在双曲线上且

2

而记•而再=0,则点M到x轴的距离为（）

A.-B.-C.D.y/3

333

7.（2008福建文、理）双曲线与一与=1（40力＞0）的两个焦点为耳，工，若P为其上的一点,

a"/?'

且1""=212工1,则双曲线离心率的取值范围为（)

A."3）B.（1,3]C.（3,+00）D.[3,+00)

Xr*■

8.（2007安徽理）如图，K和工分别是双曲线二一一=1（。＞0,6a0）的两个焦点，A和5是以。

ab~

为圆心，以|OK|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，

且△KA8是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

（A）V3（B）V5（C）—（D）1+V3

2

二、填空题：

22

9.（2008安徽文）已知双曲线^-------=1的离心率是6。则“=

n12-n

10.（2006上海文）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为（3,0）,且焦距与虚轴长

之比为5:4,则双曲线的标准方程是

22

11.（2001广东、全国文、理）双曲线土一-上-=1的两个焦点为尸,、尸2,点尸在双曲线上，若P

916

尸I，P尸2,则点尸到X轴的距离为.

x2y2

12.（2005浙江文、理）过双曲线r1（。>0/>0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相

交于M、N两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.

历届高考中的“双曲线”试题精选（自我测试）

参考答案

一、选择题：

题号12345678

答案CACADCBD

二、填空题:

16

9.410.11.12._2

916T

“圆锥曲线与方程”复习讲义

第三课时抛物线

一、基础知识填空：

1.抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线/（/不经过点F）的点的轨迹

叫做抛物线。这个定点F叫做抛物线的,定直线/叫做抛物线的.

2.抛物线的标准方程：抛物线y?=2px的焦点坐标为,准线方程是

抛物线y2=-2pX的焦点坐标为,准线方程是

抛物线x2=2py的焦点坐标为,准线方程是;

抛物线X?=-2py的焦点坐标为,准线方程是

3.几个概念：抛物线的叫做抛物线的轴，抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的o

抛物线上的点M到的距离与它到的距离的比，叫做抛物线的离心率，记作e,

e的值是.

4.焦半径、焦点弦长公式：过抛物线y?=2px焦点F的直线交抛物线于A（x“yJ、B（x?,y2）两点，则

|AF|=|BF|=|AB|=

二、典型例题：

例1.（2005全国卷fl文）抛物线f=4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为（）

（A）2（B）3（C）4（D）5

例2.（2006江西理）设0为坐标原点，F为抛物线/=4x的焦点，A是抛物线上一点，

若6A•而=一4,则点A的坐标是（）

A.（2,±2-72）B.（1,±2）C.（1,2）D.（2,20）

例3.（2008辽宁理）已知点尸是抛物线/=2x上的一个动点，则点尸到点（0,2）的距离与P到

该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

A.-B.3C.V5D.-

22

例4.（2007广东理）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2,1）,若线段OA的垂直平分线过抛物

线V=2Px（p>0）的焦点，则该抛物线的准线方程是.

三、基础训练：

1.（2008北京理）若点尸到直线x=-l的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点P的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

2.（2007山东文）设。是坐标原点，尸是抛物线=2px（p>0）的焦点，A是抛物线上的一点，FA

与x轴正向的夹角为60°,则网为（）

21P屈p八岳一13

A.----B•-----C.----pD.—p

42636

3.（2003全国文、天津文，江苏）抛物线y=ax2的准线方程是丫=2,则&的值为（）

（A）-（B）--（C）8（D）-8

88

4.（2008全国I卷文、理）己知抛物线y=a?—i的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个

交点为顶点的三角形面积为_.

5.（2006福建文、理）己知直线x-y—l=0与抛物线y=a/相切，贝Ua=

四.巩固练习：

1.（2005上海理）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的

横坐标之和等于5,则这样的直线（）

（A）有且仅有一条（B）有且仅有两条（C）有无穷多条（D）不存在

2.（2007江西文）连接抛物线x?=4y的焦点F与点M（l,0）所得的线段与抛物线交于点A,设点O

为坐标原点，则三角形OAM的面积为（）

aa

A.—1+V2B.——V2C.1+V2D.-I-V2

22

3.（2006全国I卷文、理）抛物线y=-%2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是（）

4.（2008四川理）已知抛物线C：V=8x的焦点为产，准线与x轴的交点为K,点A在C上且

\AK\^y/2\AF\,则A4FK的面积为（）

（A）4（B）8（C）16（D）32

5.（2008全国II卷文）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，48是C上的两个点，线段A8的中

点为M（2,2）,则XABF的面积等于.

6.（2008全国H卷理）已知产是抛物线C：y2=4x的焦点，过口且斜率为1的直线交C于A,B两

点.设归山〉怛河，则怛山与归却的比值等于.

第03讲抛物线（参考答案）

二、典型例题：

例1.D.例2.B.例3.A.例4.y2=5x

三、基础训练：

1.D.2.B.3.B..4.2.

4

四.巩固练习：

1.B.2.B.3.A.4.B5.26.3+272.

历届高考中的“抛物线”试