高中数学人教课标A版必修4-必修4第二章平面向量 公开课

2.1.1-2.1.2平面向量的实际背景及基本概念、几何表示

一、选择题

1、下列说法正确的是（）

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小.

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.

C.向量的大小与方向有关.

D.向量的模可以比较大小.

2、设。是正方形ABCD的中心，则向量衣,而，花，而是（）

A.相等的向量B.平行的向量

C.有相同起点的向量D.模相等的向量

3、下列物理量：①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程，其中是向

量的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4、下列命题中正确的是（）

—>—>->->->

A.若向量a与。同向，且则

B.若向量二=同，则）与办的长度相等且方向相同或相反

C.对于任意向量|a|=|d，且a与0的方向相同，则a

D.由于零向量方向不确定，故（!不能与任意向量平行。

二、填空题

5、既有又有的量叫向量。

6、有向线段包含三个要素、、

7、向量可以用表示。

8、长度等于一个单位的向量叫单位向量。

三、解答题

9、回答平行向量的概念。

10、一人从点A出发，向东走500米到达点B,接着向北偏东60。走300米到达点

C,然后再向北偏东45。走100米到达点D。试选择适当的比例尺，用向量表示这个

人的位移。

11、判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“J”，错误的打"X”）。

—>—>—>—>

（1）若4、〃都是单位向量，则4=8（）

（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（）

（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量（）

2.1.3相等向量与共线向量

一、选择题

1、给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同;

②若|a|=|B|,则a=B；

③若丽=反，则四边形ABCD是平行四边形;

④平行四边形ABCD中，一定有印月=力仁；

⑤若m=n9n=k,则zn=k；

@a\\b,b\\c,则a||c.

其中不正确的命题的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2、下列命中，正确的是（)

A、\a\=\b\^>a=bB、|a|>b\=>a>h

C、a=b^a//bD、IaI=0=a=0

3、判断下列各命题的真假：

（1）向量通的长度与向量丽的长度相等；

（2）向量Z与向量坂平行，则£与方的方向相同或相反；

（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；

（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

（5）向量而和向量C/5是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上;

（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中假命题的个数为（)

A.2个B.3个C.4个D.5个

4若a为任一非零向量，B为模为1的向量，下列各式：①Ia1>»

②公〃分③|£|>0④IB|=±1,其中正确的是（）

A.①④B.③C.①②③D.②③

二、填空题

5、平行向量方向o

6、两个非零向量相等的充要条件是o

7、与任意向量都平行的向量是。

8、与零向量相等的向量必定是o

三、解答题

9、如图所示，四边形ABCD为正方形，4BCE为等腰直角三角形,

（1）找出图中与AB共线的向量；

（2）找出图中与相等的向量；

（3）找出图中与IABI相等的向量;

（4）找出图中与反相等的向量.

10、如图，0是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在图

中所示的向量中，分别写出

（1）与〃，的相等的向量；

（2）与而共线的向量；

（3）写出与才。模相等的向量;

（4）向量正与前是否相等？

11、D、E、F分别是A48C各边AB,BC,CA的中点，写出图中与法，七"应>相等

的向量。

2.2.1向量的加法运算及其几何意义

一、选择题

l.D、E、F分别是aABC三边AB、BC、CA的中点，则下列等式不成立的是（）

A.+DA=FAB.'FD+DE+'EF=0

C.DE+DA=ECD.DA+DE=~DF

2.正方形ABCD中，边长为1,则I~AB+BC+CA|为（）

A.0B.V2C.2V2D.3

3.设0为。ABCD的中心，E为任意一点，则族+而+无+反为（）

A.OEB.20EC.30ED.40E

4.若三非零向量a、b、c满足a+b+c=6,则表示该三向量的三有向线段一定构成

()

A.一条直线B.一条线段

C.一个三角形D.以上都不正确

二、填空题

5.在QABCD中，已知诟=a,5^=b，则.

6.等式Ia+bI=IaI+Ib|成立的条件是.

7.化简：OM+MN=.

8.若a+b平分非零向量a、b之间的夹角，则a、b的关系是.

三、解答题

9.在正六边形ABCDEF中，已知赢=a,

而=1），用a、b表示前，CD,DE,EF.

D

10.化简：（1）AB+BC+CA

（2）（ZB+MB）+sb+OM

IL一架飞机向北飞行300km,然后改变方向向西飞行400km,求飞机飞行的路程

及两次位移的合成。

2.2.2向量减法运算及其几何意义

一、选择题

1.Z与1互为相反向量，则有-----------------------------------()

A.a+b=2aB.a-b=6C.a+b=6D.a-b=~2a

2.下列说法中，不正确的是-------------------------------------()

A.等长且方向相反的两向量是相反向量B.方向相反的两向量是相反向量

C.零向量的相反向量是零向量D.互为相反向量的两向量之和是零向量

3.已知苏=3,丽=九若|为|=5,且NAOB=90°,则日工|等于()

A.7B.13C.15D.17

4.在下歹U各等式中，®a-b=b-a@a+b-c=a-b+c@b-(-a)=b+a

@Q-a--a⑤|a-3|=|1+a|⑥|a+3|=|a|+|3|正确的个数为------()

A.4B.3C.2D.1

二、填空题

5.a+b=b-

6.BC-BA+CD=

7.在^ABC中，BC=a,CA^b,则诟等于

8.在边长为1的正方形ABCD中，设而=Z,AD^h,AC=c,则

\a-b+c|=_____________

三、解答题

9.已知向量a,b,c,d,求作向量a-c,b-d

10.化简：

(1)(CD+CE)+(EA-AC)；

(2)BA+AC-(DB-CD).

11.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且苏=7,OB=b,

用向量3、B分别表示向量比，OD,DC,~BC.

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

一、选择题

1.下列各式计算正确的是)

A.c-2a+b+cB.3(a+B)+3,-a)=6

C.AB+BA=2ABD.a+b+3a-5b=4-a-4b

2.4、〃eR,下列关系中正确的是（）

A.若4=0,则4a=0B.若a=0,则4a=0

C./Aa/=/A/aD./Aa/=A/a/

3.在下列结论中，正确的结论为()

(1)a=b|na=b；(2)a〃b且|a|=|b|=>a=b；

(3)a=b=>a/7bKa|=|b|；(4)aWb=>a与b方向相反

A.(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(3)(4)

4.在三角形ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若赤=。,公="则而等于（）

A.—(o+b)B.-(a-b)C.—(/?-«)D.一；(a+Z?)

二、填空题:

5.a-(2a—万一Q)=.

6.若5x+3(x+a)=0则x-.

32

7.a二——e,b=——e,a=________b.

43

8.设ei和62为两个不共线的向量，则。=2d一62与》=ei+462(4£R)共线的

充要条件是几=.

三、解答题

9、已矢口a=ei+2e2，b-3e\-2ei求a+b,a——b,3a——2b。

10、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且苏a,OB=b,用

向量b分别表示向量灰■，而，皮，瑟.

11、如图，在AABC中，AB=a,~BC=b,AD为边BC的中线,

G为aABC的重心，求向量彳5

2.3.1-2平面向量的正交分解及坐标表示

一、选择题

1、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是()

A.a=(0,0)"=(1,-2)B.a=(-1,2)"=(5,7)

C.a=(3,5/=(6,10)D.a=(2,-3)5=(4,-6)

2、已知向量£=(一2,4)5=(1,-2)则占与♦的关系是()

A.不共线B.相等C.同向D.反向

二、填空题

3、在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为(2,3),点B的坐标为(6,5),则

OA=,OB=o

4、已知向量|51=4,的方向与x轴的正方向的夹角是30°,则［的坐标为

三、解答题

5、已知点A(2,2)B(-2,2)C(4,6)D(-5,6)E(-2,-2)F

(-5,-6)

在平面直角坐标系中，分别作出向量前BD而并求向量万BD阱的坐标。

6、已知，，且点的坐标为，求点的坐标.

2.3.3平面向量的坐标运算

一、选择题

1、若向量（x,y）=d,则必有（）

A.x=0或y=0B.x=0且y=0C.xy=0D.x+y=0

—>—>i—>

2、已知AM=(—2,4),MB=(2,6),则—AB=()

2

A.(0,5)B.(0,1)c.(2,5)D.(2,1)

3、已知平行四边形0ABC（0为坐标原点），OA=(2,0),。5=(3,1),则0c等于(

A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,-1)D.(-1,1)

4、若1=（4,6）,且J=2』则］的坐标为（)

A.(3,2)B.(2,3)C.(-3,-2)D.(-2,-3)

二、填空题：

-->—>—>T->

5.已知a=(—2,4)/=(5,2),则a+b=，a-b=o

--—>—>T

6.已知。=(4,3)/=(―3,8),贝！Ja+b=，a-h=o

-―->-->->

7.已知a=(2,3),b=(―2,—3),则a+Z?=,a—h=o

8.已知a=(3,2)5=(0,—1),则一务+4力=。

三、解答题

->—>—>—>—>—>—>—>

9.已知a=(2,1),Z?=(—3,4),求a+b,a-h,3a+4b的坐标。

10.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),

(3,4),试求顶点D的坐标。

11.已知A,B两点的坐标，求A民氏4的坐标。

(1)A(3,5),B(6,9)

(2)A(-3,4),B(6,3)

2.3.4平面向量共线的坐标表示

一、选择题

1、已知a=(-1,3),5=(x,-1),且£/小，则x=()

A.3B.-3C.-D.--

33

2、已知5=(-6/),B=(-2,1)且£与另共线，则外()

A.-6B.6C.3D.-3

3、已知A(2,-l),3(3,1)与福平行且方向相反的向量£的是()

A.a-(1,—)B.a=(—6,—3)C.a=(-1,2)D.a=(—4,—8)

4、已知4(1,3),8(8」)，且A、B、C三点共线，则C点的坐标是()

2

A.(-9,1)B.(9,-1)C.(9,1)D.(-9,1)

二、填空题：

5、已知：A(4,6),8(-3,—)与AB平行的向量的坐标可以是

2

①。,3)②(7,|)@(-y,-3)@(7,9)

A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④

6、下列各组向量相互平行的是

A.£=(-1,2)1=(3,5)B.3=(1,2),万=(2,1)

C.a=—=(3,4)D.a=(—2,1),b—(4,—2)

7、已知A(-1,7)B(1,1)C(2,3)D(6,19)则血与前的关系为

A.不共线B.共线C.相交D.以上均不对

三、解答题

8、判断下列向量£与A是否共线

-8

①3=(2,3)(=(3,4)②a=(2,3)力=(§，4)

9、证明下列各组点共线:

71

(1)A(l,2)B(-3,^)C(2,-)(2)P(9,l)Q(1-3)/?(8,-)

22

10、已知A(-2,-3),B(2,l),(l,4)E>(-7,-4)判断油与前是否共线？

2.4.1平面向量数量积的物理背景极其含义

一、选择题：

1.已知同=5,忖=4,2与b的夹角6=30。，则()

A.10B.-10C.10A/3D.-IOA/3

2.已知同=3,M=4,。与b的夹角6=120°,贝胆・B=()

A.6B.-6C.-673D.6百

3.已知方、B为两个单位向量，下列四个命题正确的是()

A.a=bB.a•b=0C.\a'b|<1D.a2=b~

4.已知同=3,W=4,。与6的夹角6=150。，则3+斤=()

A.25B.25-1273C.25+12V3C.25±12石

二、填空题：

5.已知同=12,忖=9,4・5=-54/，则G与6的夹角0=

6.若向量才、寸满足|tl=bltl=2,且才与寸的夹角为与，则|才+了|=_

7.已知|之1=5,5与B的夹角为3。°,则M在在方向上的投影为

8.若五•B<0,则M与B夹角。的取值范围是

三、解答题：

9.已知|之|=2,|=3,a±b,且3五+2区与与也互相垂直，求人的值。

10.已知上|=4,历|=3,(2"3励3+杨=61,求为与6的夹角6。

11.已知1与6的夹角为卫，\a\=2,历|=1,求|,+看|的值。

3

2.4.2平面向量数量积的坐标表示'模'夹角

一、选择题：

1.有下面四个关系式

①6•1=0②伍4)々=鼠(小[)③展很@\a-b\=\b\-\a\

其中正确的个数是()

A.4B.3C.2D.1

2.设5=&,y),b=(x2,y2),则下列命题中错误的是()

A.|«|=7?+y；B.a//hoxiy2+x2yt-0

C.a-b=xtx2+yxy2D.aLbx[x2+yxy2=0

3.已知5=(—4,3),b=(5,2),贝ij3・B=()

A.14B.-14C.12D.-12

4.在直角AABC中，4=90°,若丽=(2,3),/=(1次)，则仁()

A.--B.-C.-D.--

3322

二、填空题：

5.已知5=(2,1),月=(3,-1),则行与6的夹角。=

6.已知近=(3,T),\b\=\a\,且。贝

7.已知向量m=(1,3),n=(2a,l-a),若〃z"L",贝lja=

8.设万=(尤,3),B=(2,-1),若2与6的夹角为钝角，则X的取值范围是

三、解答题：

9.已知万=(—3,4),b-(5,2),求\b\,a»b

10.已知己=(2,3),b=(-2,4)»c=(-1,-2),求五(a-b)(a+b),(a+b)2

11.已知Z+B=(2,—8)*—B=(—8,16),求方的值

2.5.1平面几何中的向量方法

一、选择题

1、已知M(3,-2),N(-5,-1),则MN中点的坐标是()

A.(8,1)B.(-1,--)C.(-8,-1)D.(1,-)

22

2、已知42,1),3(3,2),。(—1,4),则以8。是()

A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形

3、平行四边形有三个顶点，分别是A(0,0),仇0,份,C(a,c),则第四个顶点的坐标为

)

A.(。,。+c)或(a,c-。)或(-a,b-c)B.(a,b+c)

C.(a,c-b)D.(-a,b-c)

->__>

4、和直线3x-4y+7=0平行的向量。及垂直的向量〃分别是()

->—>->->

A.a=(3,4),/?=(3,-4)B.a=(—3,4),〃=(4,-3)

—>—>—>—>

C.a—(4,3),^—(3,-4)D.a—(—4,3),Z?=(3,4)

二、填空题：

5、若。=(乂1)/=(4,犬)，贝|当工=时，。与人共线且同向。

—>—>—>

6、已知A8=(2,—1),AC=(-4,1),则BC=。

—>—>

7、已知点A(-l-2),B(2,3),C(-2,0),Z)(x,y),且AC=2BD,则x+y=

8、AB+BA=0是(真、假)命题。

三、解答题

9、求通过点A(-2,1),且平行于向量W=(3,1)的直线方程。

->—>->11―>―>—>

10.已知。=(-1,0),/?=(3,-2),c=(耳，3),求2。+3〃一6。

11.已知a=3,b=4,求。一人的范围。

2.5.2向量在物理中的应用举例

一、选择题

1.在四边形ABCD中，若元=而+而则（）

A.ABCD是矩形B.ABCD是菱形

CABCD是正方形D.ABCD是平行四边形

2.已知：在△ABOtbQ•元<0,则443提（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.任意三角形

3.某人由A地向正东走4km到达B地，然后改变方向向北行，走2km到达C地,

则此人在AB方向上的位移是（）

A.3kmB.4kmC.273kmD.5km

->—>—>—>—>—>

4.若AB=3G，CO=5q,且AO与C8的模相等，则四边形ABCD是（）

A.平行四边形B.梯形C.等腰梯形D.菱形

二.解答题

5.设M、N分别是四边形ABCD的对边AB、CD的中点，求证：M7V=1（AD+fiC）

6.求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

7.A4BC中，BD,CE为中线，目B4=|CE|,求证目=|人。

AE

第二章平面向量单元练习

选择题

->—>—>—>

1、若a=(4,6),a=26,则b的坐标为()

A.(3,2)B.(2,3)C.(-3,—2)D.(_2,—3)

—>—>

2、如图，四边形ABCD中,AB=DC,则相等的向量是()

A.茄与&B.办与ob

c.公与访D.A与ob

3、设。表示向西走10km,〃表示向北走108km,

-»->

若先向西再向北走，则a-b表示()

A.沿南偏西30。走20kmB.沿北偏西30。走20km

C.沿南偏东30°走20kmD.沿北偏东30°走20km

—>—>f—>

4、化简(AB—CD)+(BE—的结果是)

—>—>

A.0B.AEC.CAD.AC

->Tff—―->

5、已知向量a、b,且AB=a+2Z?,BC=—5a+6b,C£>=7a—2〃，则一定共线的

三点是()

A.A、B、DB.A、B、CC.B^C、DD.A、C、D

6、下列关系正确的是()

~~►

A.若a=0,则Xa=0B.若a=0,则4a=0

C.A,a\=MaD.2a=|A|a

->->—>->———>—>->->

7、已知ei,C2不共线，若a=3e{-^e2,b=6ei+ke2，且a〃方，则攵的值为()

A.8B.-8C.3D.-3

8、AA8C中，已知44,1),8(7,5),C(T,7),则BC边的中线AD的长是()

7V5

A.2V5B.*C.3>/5

,F

2

二、填空题

1「17rT7]

9.化简：——(2。+8人)一(4。-2/7)=o

32

—>—>—>—>

10.若向量W、办满足口=朴12,则a+b的最小值是a-b的最大

值是_。

—>—>―>

11.已知A5=(2,-1),AC=(-4,1),则BC=。

12.若口=2,"=后二与/；的夹角为45。，要使以—1与W垂直，则％=

三、解答题

—»—>—>I1—>—>—>

13.已知a-(-1,0),Z?=(3,—2),c=^<2a+3b-6c。

14.已知4口),8(3,-1),。(〃力)，若公=2低，求点C的坐标。

—>—>—>—>

15.已知。均为单位向量，它们的夹角为60°,求a+38

—>—>1->—>—>—>—>—>—>—>

16.已知a=4,q=3,a与b的夹角为120°,且c=a+2"d=2a+%人，问当女为

—>—>—>—>

何值时，(1)cJ_d?(2)clld'i

必修4第二章平面向量参考答案

2.1平面向量的实际背景及基本概念参考答案

一、选择题

1、D；2、D；3、C4、C

二、填空题

5、大小、方向

6、起点、方向、长度

7、有向线段

8、1

三、解答题

9、方向相同或相反的非零向量叫平行向量。

10>略。

11、(1)X(2)V(3)X

2.1.3相等向量与共线向量参考答案

一、选择题

1、C；2、C；3、C；4^B；

二、填空题

5、相同或相反6、长度相等，方向相同

7、零向量8、零向量

三、解答题

9、解：VE>F分别是AC、AB的中点，EF〃BC且EF=』BC

2

又因为D是BC的中点

，①与丽共线的向量有：FE,BD,DB,DC,CD,BC,CB

②与丽的模大小相等的向量有屋，丽，丽，觉，丽

③与前相等的向量有：DB,CD.

10、解：(1)AO=BF,BO^AE；

(2)与X。共线的向量为：BF,CO,DE

(3)与印0模相等的向量有：CO,DO,BO,BF,CF,AE,DE

(4)向量％。与if。不相等.因为它们的方向不相同.

11、DE=AF=FC,

EF=BD=DA

FD=CE=EB

2.2.1向量的加法运算及其几何意义参考答案

1.C2.A3.D4.D

->

5.2a-b6.a>b方向相同7.ON8.IaI=IbI

9.BC=a+b,CD=b,DE=-a,EF=-a-b

10.(1)0(2)AB

11.飞机两次飞行的路程为700km,两次位移的合成为向北偏西(tana=3)飞行

3

500km.

2.2.2向量减法运算及其几何意义参考答案

一、选择题

1.C2.B3.B4.C

二、填空题

5.~a6.AD7.-a-b8.2

三、解答题

9.略

10.化简：

(1)(CD+CE)+(EA-AQ=2C\+CD

(2)BA+AC-(DB-CD)=BD

11.OC=~a，OD=-b,DC=b-a,BC=~a-b

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

一、选择题

l.D2.B3.A4.C

二、填空题

391

5.b6.--a7.-8.--

882

三、解答题

9.解：a-f~b=4e\a—b=-2ei+4e23a—2b=-3ei+10e2

10.解：OC=-：a^dD^-bJ)C^b-a,~BC=^a-b

.I—►...—►I—►.).

BD=-b,AD=AB+BD=a+-b\-AG=-AD

273

11.解：如图,”I、，I

.•前=21+与=匕+D

312J33,

B

2.3.1-2平面向量的正交分解及坐标表示参考答案

一、选择题

1、B2、D

二、填空题

3、(2,3)(6,5)4、(2百，2)

三、解答题

略

2.3.3平面向量的坐标运算参考答案

1、B2.D3.A4.B

5.(3,6)(-7,2)

6.(1,11)(7,-5)

7.(0,0)(4,6)

8.(-6,-8)

9.(-1,5),(5,-3),(-6,19)见书本108页

10.书本108页例5

—>—>

11.(1)A3=(3,4),氏4=(—3,—4)

(2)=79,-1),BA=(-9,1)

2.3.4平面向量共线的坐标表示参考答案

1.C2.C3.D4.C5.B6.D7.B

8.①不共线②共线9.略10.共线

2.4.1平面向量数量积的物理背景极其含义

一、选择题

1.C2.B3.D4.B

二、填空题：

5.-7t6.V77.-V38.(生，万］

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