高中数学 第二章 平面向量 2

2.1.1向量的概念

课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P77〜79,思考并完成以下问题

(1)向量是如何定义的？怎样表示向量？

(2)向量的相关概念有哪些?

［新知初探］

1.向量的概念及表示

概念具有大小和方向的量称为向量

具有方向的线段,叫做有向线段，以4为始点，6为终点的有向线段记作人臼，

表示

屋的长度记作1矗1.用有向线段屋］表示向量，读作向量回

代数

印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头

表示

［点睛］向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的

量，有向线段是规定了起点和终点的线段.

2.与向量有关的概念

名称定义记法

向量的

若寇=a,则祠的长度为向量的长度(模)\a\

长度(模)

零向量长度等于0的向量0

相等向量两个向量a和8同向且等长a=b

向量的基线通过有向线段区臼的直线一

向量共线或向量的基线互相平行或重合allb

平行规定：零向量与任意向量都挈I0//a

任给一定点。和向量a,过点。作有向线段Ol|=a,则点｛相对于点。的位

位置向量

置被向量a所唯一确定,这时向量质叫做点力相对于点。的位置向量

［点睛］共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.

［小试身手］

1.判断下列命题是否正确.（正确的打“，错误的打"义”）

（1）两个向量能比较大小.（）

⑵向量的模是一个正实数.（）

（3）向量弱与向量就是相等向量.（）

答案：（l）X（2）X（3）X

2.有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速.

其中可以看成是向量的个数（）

A.1B.2

C.3D.4

答案：B

3.已知向量a如图所示，下列说法不正确的是（）

—a,日

A.也可以用MN表示B.方向是由材指向N

C.始点是"D.终点是"

答案：D

4.如图，四边形4?必和/飒•都是平行四边形，则与观相等的向量有/\/\

EDC

答案：国园

课堂讲练设计，举一能通类题

向量的有叁概念

2

［典例］有下列说法：①向量应和向量应长度相等；②方向不同的两个向量一定

不平行；③向量国是有向线段；④向量0=0,其中正确的序号为.

［解析］对于①，1应1=1应］|={3故①正确；

对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；

对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；

对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误.

［答案］①

IQM©1

(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手

①是否有大小；②是否有方向.

(2)理解零向量应注意的问题

零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.

［活学活用］

有下列说法：

①若向量a与向量6不平行，则a与。方向一定不相同；

②若向量画，画满足寇|>|查||,且应与函同向，则迈>［|司；

③若=则a,6的长度相等且方向相同或相反；

④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行.

其中正确说法的个数是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正

确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|=|6|,只能说明a,6的

长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错

误.

［典例］在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:

①函，使|函|=4*,点4在点0北偏东45°；

封运，使1迈|=4,点8在点4正东；

③踵］,使画|=6,点。在点6北偏东30°.

［解］(1)由于点力在点。北偏东45°处，所以在坐标纸上点力距点。的横向小方格数

与纵向小方格数相等.又|函1=4位,小方格边长为1,所以点力距点。的横向小方格数

与纵向小方格数都为4,于是点4位置可以确定，画出向量施］如图所示.

(2)由于点6在点/正东方向处，且|应|=4,所以在坐标纸上点6距点力的横向小

方格数为4,纵向小方格数为0,于是点6位置可以确定，画出向量词如图所示.

(3)由于点C在点6北偏东30°处，且|区目=6,依据勾股定理可得：在坐标纸上点

C距点8的横向小方格数为3,纵向小方格数为3#-5.2,于是点C位置可以确定，画出向

量园|如图所示.

用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的

终点.

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比

例关系作出向量.

［活学活用］

4

一辆汽车从1点出发向西行驶了100千米到达8点，然后改变方向，向北偏西40°方

向行驶了200千米到达C点,最后又改变方向，向东行驶了100千米到达〃点.作出向量弱,

园国圆

解：如图所示.

题型三共线向莫皴攀向量

［典例］如图所示，。是正六边形4加恸的中心，口.应=a，透］=b,

显

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？y~¥

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请---列出与a,b,c相等的向量.

［解］(D与a的长度相等、方向相反的向量有回，屈，应，词

(2)与a共线的向量有国，园，画，屋，宣］,囱］,国，应，国.

(3)与a相等的向量有屈，应，逅；与6相等的向量有园，回，函；与c

相等的向量有囱］,国］,懑.

［一题多变］

1.［变设问］本例条件不变，试写出与向量园相等的向量.

解：与向量同相等的向量有函踵寇.

2.［变条件，变设问］在本例中，若|a|=l,求正六边形的边长.

解：由正六边形性质知，△加为等边三角形，所以边长力?=|a|=1.

寻找共线向量或相等向量的方法

(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与

反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同

向共线.

16-课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.下列说法正确的是()

A.向量同〃同就是祠所在的直线平行于同所在的直线

B.长度相等的向量叫做相等向量

C.若a=b,b=c,贝Ua=c

D.共线向量是在一条直线上的向量

解析：选C向量应〃画包含画所在的直线与同所在的直线平行和重合两种情

况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向

量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错.

2.如图，在圆。中，向量胸，踵，祠是()

A.有相同起点的向量(Ji?)

B.共线向量入

C.模相等的向量

D.相等的向量

解析：选C由图可知园，过，应是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选

C.

3.向量应与向量园］共线，下列关于向量国的说法中，正确的为()

A.向量国与向量应一定同向

B.向量同,向量应，向量同一定共线

C.向量应与向量国一定相等

D.以上说法都不正确

解析：选B根据共线向量定义，可知祠,国这三个向量一定为共线向量,

AEB

6

故选B.

4.如图，在nABCD中，点、E,尸分别是5的中点，图中与以回平行的向量有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选C根据向量的基本概念可知与国平行的向量有踵，国逶，共3

个.

5.已知向量a,6是两个非零向量，国，同分别是与a,力同方向的模为1的向量，

则下列各式正确的是（）

A.国=H司B.国=踵或国=—踵

C.回=1D.|国|=画|

解析：选D由于a与6的方向不知，故丽与同无法判断是否相等,故A、B选项

均错.又前1与同均为模为1的向量..•.|亟|=|逋|,故C错D对.

6.已知|弱|=1,|园|=2,若N4?C=90°,则|迎=

解析：由勾股定理可知，BCfj百甘,所以|垣［=m.

答案：小

7.如图，四边形力版是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16nC

个交点，从中选取2个交点组成向量，则与国平行且长度为24的向量~

个数是______.\~/\\一

1

解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为2小，在其A*'~

中一个正方形中，与园平行且长度为2m的向量有2个，所以共8个.

答案：8

8.给出下列四个条件：①a=6；②|印=|引；③a与6方向相反；④|a|=0或|引=0.

其中能使a〃6成立的条件是（填序号）.

解析：若a=b,则a与6大小相等且方向相同，所以a〃加若|a1=|引，则a与力的

大小相等，而方向不确定，因此不一定有a〃6：方向相同或相反的向量都是平行向量，因

此若a与。方向相反，则有a〃左零向量与任意向量平行，所以若|a|=0或|引=0,则a

//b.

答案：①③④

A'D

9.如图，。是正方形/时的中心.

(1)写出与向量屋］相等的向量；

(2)写出与应的模相等的向量.

解：(1)与向量应相等的向量是园.

(2)与画的模相等的向量有：胸，园，园，囱］,画，回，国.

10.一辆消防车从A地去8地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行北

驶2千米到。地，然后从。地沿北偏东60°方向行驶6千米到达。地，从C

地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达8地.—-----------

r—,,^―,西常东

(1)在如图所示的坐标系中画出国，园，同，懑.

(2)求6地相对于4地的位移.

解：(1)向量同,回，画，寇如图所示.

(2)由题意知弱=词.

所以4。触比；则四边形/吸力为平行四边形.

所以近=皮］,则6地相对于4地的位移为“在北偏东60°的方向距4地6千米”.

层级二应试能力达标

1.如图所示，梯形/腼中，对角线4C与初交于点只点反尸分别在两腰

AD,BC上,断过点只豆EF〃AB,则下列等式成立的是()

A.国=函B.国=函］

C.弱=屋D.四=透

解析：选D根据相等向量的定义，分析可得:

A中，同与同方向不同,故应=因错误；

B中，而与同方向不同,故同=同错误;

C中，词与同方向相反,故而=而错误;

D中，画与屋|方向相同，且长度都等于线段跖长度的一半，故居司=而正确.

8

2.下列说法正确的是（）

A.若a〃&,b//c,则a〃c

B.终点相同的两个向量不共线

C.若arb,则a一定不与。共线

D.零向量的长度为0

解析：选DA中，因为零向量与任意向量平行，若6=0,则a与c不一定平行.B中，

两向量终点相同，若夹角是0°或180。，则共线.C中，对于两个向量不相等，可能是长

度不相等，但方向相同或相反，所以a与6可能共线.

A

3.在△4?。中，点〃，£分别为边47,从?的中点，则如图所示的向量中A

相等向量有（）

A.一组B.二组-------V

C.三组D.四组

解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即词=扇.

4.如图，在菱形4%方中，ZW=120°,则以下说法错误的是（）

A.与画相等的向量只有一个（不含画）

B.与懑的模相等的向量有9个（不含国）

C.通的模为量模的十倍

D.同与扈不共线

解析：选DA项，由相等向量的定义知，与前相等的向量只有同,故A正确；B

项，因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与H同的模相等的向量除应外有9个，正确；C项，

在中，N447=60°,则凶=芋为，所以即=小加,故C项正确；D项，因为四

边形肥切是菱形，所以园与园共线，故D项错误，选D.

5.四边形ABCD满足凝1=园|,且|园1=画］,则四边形四切是（填

四边形/腼的形状）.

解析：•.•国=用，：.AD//BCS.{XB\=|区Hl，四边形4%是平行四边形.又

［AC"'--［BD\I知该平行四边形对角线相等，故四边形/国力是矩形.

答案：矩形

A

6.如图，。是正三角形1及7的中心，四边形/切力和/迹均为平行四边形，

则与向量⑥相等的向量为；与向量园共线的向量为；/XA

与向量囱的模相等的向量为.(填图中所画出的向量)B

解析：是正三角形相C的中心，.•.力=如=%，易知四边形和四边形血火£均

为菱形，,与国］相等的向量为国；与画共线的向量为园，画；与画的模相等

的向量为祠,园，园，质］,圆.

答案:\OC\DC\,扇祠,园园，画),国］

7.如图，D,E,尸分别是正三角形力6c各边的中点.

(1)写出图中所示向量与向量透)长度相等的向量.

(2)写出图中所示向量与向量质J相等的向量.

(3)分别写出图中所示向量与向量质］,画共线的向量.

解：(1)与厉司长度相等的向量是同,

国，园园,圆园国园

(2)与同相等的向量是显,应

(3)与岳司共线的向量是底1,由，同

与国共线的向量是运，面］,词

及选做题

8.如图,已知函数y=x的图象/与直线历平行,彳0,

10

力是R上的点.求

(1)X,P为何值时,国=0；

(2)x,y为何值时，I国1=1.

x=0,

解：(1)要使屋］=0,当且仅当点4与点6重合，于是《m

尸—2,

(2)如图，由已知,

所以台点的坐标是俘，0)

.在RtZUg中，有

|画园『+|画『=图旺闺』，

即［国］1=1.

同理可得，当区的坐标是(一坐一4)时，M阂=1.

综上有，当■"=当’［=_亚

或02,时，囱|=1.

.7=0尸一小

2.1.2向量的加法

课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P80〜83,思考并完成以下问题

(1)向量的加法如何定义？

(2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？

(3)向量加法的运算律有哪两条？

［新知初探］

1.向量的加法

⑴三角形法则

已知向量a,b,在平面上任取一点4作应=a,正=6,再作向量应，则向

原理

量园叫做a与6的和(或和向量)，记作a+b,即a+b^A^\-^^\^Xc\

Caa.

图示)的，上-

BABCCAB

(1)(2)(3)

［点睛］(1)和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点.

⑵零向量与任一向量a的和都有a+O=O+a=a.

(2)平行四边形法则

已知两个不共线向量a,b,作％*=a,®］=6,则4B,〃三点不共线,以

原理懑，同为邻边作平行四边形,则对角线上的向量园=a+6,这个法则叫

做两个向量求和的平行四边形法则

/DQCl

图示

(3)多边形法则

已知〃个向量，依次把这〃个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第

原理n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求

和的多边形法则

12

图示

2.向量加法的运算律

运算交换律a+，=b+a

律结合律(a+A)+c=a+(b+c)

［小试身手］

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)两个向量相加结果可能是一个数量.()

(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.()

(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.()

答案：(1)X(2)X(3)X

2.对任意四边形47G9,下列式子中不等于迹的是()

A.园+园B.国+应+园

C.踵］+质］+园|I).园+应+国

答案：C

3.边长为1的正方形力腼中，四+园1=()

A.2B.72

C.1D.272

答案：B

4.画+图国］=

答案：0

Lr>>皿'44•公、儿'1»JAAk.工山E

球呈班舜以“，牛H匕胆尖您

向量加法及其几何意义

［典例］如图1,图2,图3所示，求作向量和.

［解］如图中①，②所示,

A

图①图②

首先作函=必然后作皿=6,则瀛=a+=

如图③所示，作踵|=a,覆］="则园=a+6,再作逅=c,则国=国+四

=(a+6)+c,即％力|=a+8+c.

应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题

(1)三角形法则可以推广到〃个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即〃个首尾相连

的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第A个向量的终点的向量.

(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合.

(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单.

［活学活用］

如图，已知a,b,c,求作向量a+力+c.

解：作法：在平面内任取一点0,如图所示，作园=a,［AB\=b,则园=

a+b+c.

向量加法运算

［典例］化简或计算：

(1)屈+园+词

14

(2)祠+同+函+园+司

［解］(1)同+祠+祠=(祠+同)+同=同+同=同.

(2)弱+词+同+同+同

=(@+园+画+^)+而

=晶+国+回凌+国=0.

解决向量加法运算时应关注两点

(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算.

(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺

序，特别注意勿将0写成0.

［活学活用］

如图，在正六边形/优颇■中，。是其中心.

____ED

则©£2+CD

@［^］+矗+显=_______;

@+应=_______."

解析：①应+画=［1司+屈=碗］.

②应+亟+园每+爵国+园病

③园+园+前届+园+爵园

答案：①近］③踵

课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.下列等式错误的是()

B.踵+园|+园=0

A.a+0=0+d=a

C.四+园=0D.国+昼颓回国

解析：选B由向量加法可知祠+值H+回=回+其=2区.

2.（祠+丽I）+（而+词）+加|等于（）

A.四B.迈

C.瑟|D.—T

解析：选c原式=（7司+丽|+丽+园|+丽］

=（逅+函）+（［^］+踵+^］）

=园+0=园.

3.下列各式不一定成立的是（）

A.a+b=b+aB.O+a=a

C.国+同=应D.|a+/>|—\a\+\b\

解析：选DA成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；

D不一定成立，只有a,8同向或有一者为零向量时，才有|a+6|=|a|+|引.

4.在矩形/时中，|回|=4,|迎|=2,则向量应+国+回的长度等于（）

A.2#B.4^5

C.12D.6

解析：选B因为国+国=/记，所以国+国+踵的长度为国的模的

2倍，故答案是4m.

5.已知平行四边形/比〃设四+由+词+而=a,且6是一非零向量，则下

列结论：①a〃庆②a+6=a；③a+6=8；④Ia+6|<|a|+|加.其中正确的是（）

A.①③B.②③

C.②④D.①@

解析：选A•.•在平行四边形4版中，近+逅=0,词+向=0,:.a为零向

量，•••零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，，①③正确，

②④错误.

6.而+|^+函+|W|=..

解析：原式=而+西+丽+丽=用+函+丽=河.

答案：画

7.已知正方形ABCD的边长为1,|AB|=a,|Ac|=c,|JBC|=b,则|a+6+c|=.

16

解析：Ia+6+c|=|祠+同+同|=|同+同|二2|同|=2W.

答案：272

8.如图，在平行四边形46缪中，

_pC

⑴园+翅:

(2)园+逅+画=;AB

(3)踵］+国+画=；

(4)园+应+近=.

解析：(1)由平行四边形法则可知为园.

(2)园+谖+由=屈+闲=弱.

(3)/^+助+由=函+园=而.

(4)应+函+应每+国+量每+园=0.

答案：(1)国(2)应(3)国(4)0

9.如图，E,F,6,〃分别是梯形力比®的边4氏BC,CD,分的中点，

化简下列各式：//'

咽+园+国口Gc

②回+西+南十国

解:①同+同+词=祠+扇+同=弱+国+弱=词+谒=

园

®［^］+应+应+嬴亘+园+量+国=面+度+国痘

+国=0.

AA3A

10.如图所示，中心为。的正八边形44…44中，女尸44一］('=/\L/\

1,2,­••,7),"=|QAJJ(J=1,2,—,8),试化简/+a5+公+益+勿.

解：因为［^+叵］=0,

所以&+&+段+瓜+勿

=画+祠+函+函+函

=（回+函）+国+量）+国

=|网|=4

层级二应试能力达标

1.已知〃，E,b分别是△/比1的边BC,G4的中点，则下列等

式中不正确的是（）

A.同十丽=祠8C

B.画+远］+［1司=0

C.+应=叵

D.词十词:同

解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，丽+同=同#同.

2.下列命题错误的是（）

A.两个向量的和仍是一个向量

B.当向量a与向量，不共线时，d+b的方向与2人都不同向，且|a+b|<|a|+|b|

C.当向量a与向量力同向时，a+b,a,。都同向，且1a+引=|a|+|6|

D.如果向量a=6,那么a,6有相同的起点和终点

解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平

行四边形/腼中，有应=园，起点和终点都不相同.

3.已知△49C的三个顶点4B,，及平面内一点尸满足画+国］=园，则下列结

论中正确的是（）

A."在△/鸵的内部

B.尸在△/欧的边46上

C."在边所在的直线上

D.尸在△/欧的外部

解析：选D诙+福二同,根据平行四边形法则，如图，则点

户在△力比外部.

4.下列命题正确的是（）

A.如果非零向量分6的方向相反或相同，那么a+6的方向必与a,6之一的方向相同

B.若港|+踵+厘|=0,则/,B,C为三角形的三个顶点

C.设a#0,若a〃（a~\~,则a〃6

18

D.若|a|一|引=|a+Z?|,则6=0

解析：选C当a+b=0时，A选项不正确；若|AZ|+|5c|+EZ|=0,则力，B,C三

点共线或4,B,。为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则a+6与a

不共线，故C选项正确；若|川一|引=|a+，|,则。=0或bW0（a与力反向共线，且|a|>

1引），故D选项不正确.

5.。为三角形18。内一点，若加+丽+函|=0,贝IJ0是三角形45C的—

心.

解析：•.•园+函+硬=0,

.•国+翦—爵国

此时应与逅共起点，

以园，国为边构造一平行四边形，设4?的中点为〃点,

则加+丽=2宙,

即2函=访,

是三角形/比1的重心.

答案：重

6.若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|a-\-b\=______，a+b

的方向是

解析：如图所示，设港］=a,［Bd\=b,则园=a+4且△/阿为等腰直角三角形,

则函||=睢,/氏伍=45°.

答案：872km北偏东45°

7.如图所示，只0是三角形力比■的边比1上两点，且BP=QC.求证:踵］

+届每+国.

证明：国届+画

逅=回+因

.•画+国=四+匾国园

•.质与运I大小相等，方向相反，

.•.国+西=0,

故回+国=屋]+回+0=园+国.

I三星诿做题

8.如图，已知向量a,b,c,

(1)求作a+8+c+d

(2)设|a|=2,e为模为1的向量，求|a+e|的最大

解：(1)在平面内任取一点0,作函=a,懑=6,[Bd\=c,画=d,则园=a

+b+c+a

(2)在平面内任取一点“作词=a,应=d

则@+3=园+迈=函，

因为e为模为1的向量，

所以点8在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，

由图可知当点8在点台时，0,A,台三点共线,

所以1函即|a+e|最大，最大值是3.

2.1.3&2.1.4向量的减法数乘向量

课前自主学习，基稳才能楼高

[对应学生用书P36]

20

预习课本P84~89,思考并完成以下问题

(1)a的相反向量是什么？

(2)向量的减法运算及其几何意义是什么？

(3)向量数乘的定义及其几何意义是什么？

(4)向量数乘运算满足哪三条运算律？

［新知初探］

1.相反向量

与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量，记作一a.

(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量;

(2)—(—a)=a；

(3)a+(—a)=(—a)+a=0；

(4)若a与b互为相反向量，则a=—4b——a,a+b—O.

［点睛］相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量

必为平行向量.

2.向量的减法

已知向量a,从如图)，作词=a,同=6,则。+应=a.向量Vx_fc

函叫做向量a与b的差，并记作a-b,\

即园=a-6=祠-丽|.由定义可知：'

(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为她昼，被

减向量的终点为终点的向量:

(2)一个向量丽等于它的终点相对于点0的位置向量祠减去它的始点相对于点0

的位置向量前，或简记为“终点向量减始点向量”;

(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.

［点睛］在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”

即可.

3.数乘向量

(1)定义：实数4和向量a的乘积是一个向量,记作4a.

⑵长度：|Aa|=|A\\a\.

(3)方向：，a(a#O)的方向：当幺>0时，与a回方向；当/<0时，与a反方向.特

别地，当儿=0或a=0时，0a=0或40=0.4a中的实数才叫做向量a的系数.

(4)几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.

(5)运算律：设儿，〃GR,则①(4+〃)a=4a+〃a.②4(〃a)=(4〃)a；③4(a

+b)=4a+Ab.

［点睛］(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如儿+a,儿一a

均无法运算.

(2)4a的结果为向量，所以当4=0时，得到的结果为0而不是0.

4.向量的线性运算

向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算.

［小试身手］

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)两个向量的差仍是一个向量.()

(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.()

(3)向量a与向量6的差与向量力与向量a的差互为相反向量.()

22

⑷相反向量是共线向量.()

(5)对于任意实数/〃和向量a,b,若〃㈤=/滴，则a=b.()

答案：⑴V(2)V(3)V(4)V(5)X

2.非零向量力与〃是相反向量，下列不正确的是()

A.m=nB.m——n

C.\/n\=\n\D.方向相反

答案：A

3i

3.-(a+26)--(4a—3/?)可化简为()

55

-a-

Ac.4B.4

a+

55

4-4-

答案：C

4.在平行四边形力解中，向量届的相反向量为—

答案：园，H司

课堂讲练设计，举一能通类题

___向__量__的__运__算__与化简

［典例］化简下列各式:

(3)(应一画)-函］)；

(4)(国+国+园-(国-踵一函.

［解］(1)原式=18a+3b—9a—3，=9a

(2)原式=氐28+5'一己一

(3)应-国-(国-西)

=(寇+应)-(园+丽)=国-国=0.

(4)(国+园