高中数学章末整合提升

章未整合提升

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「向量概念：既有大小又有方向的量

向量的几何表示

平面向量的实际背景及基本概念＜广且“而」口心口台豆

相等向量：长度相等且方向相同的向量；

、共线向量：方向相同或相反的非零向量（0与任意向量共线）

,向量的加法及其几何意义

平面向量的线性运算，向量的减法及其几何意义

.向量的数乘及其几何意义

〃平面向量基本定理：/、。2不共线，任意。有且只有一对实数

平Al＞ht使。=力4+2262

平面向量基本定理及其坐标表示《平面向量的正交分解及坐标表示

面＜

向平面向量共线的坐标表示设。=（戈|,yi）,b=（X2,”），

量7其中bWO,则°〃〃㈡X1.V2—X2yi=0

〃定义。、方为非零向量，0A=|0M|cos伏。为a,力的夹角）

性质•8=0；。、力同向，ab=\a\'\b\xa、）反向，a'b=—\a\-\b\

运算律（加）心=。（幼），（a+b）c=ac+bc

平面向量的数量积＜______

向量的模设。=（x,y）,则同=7♦+.

xi.¥2+yi,y2

夹角公式设。=（»,yi）,b=（x2f"），夹角为acos6=

平面向量在几何中的应用

平面向量的应用举例

平面向量在物理中的应用

|专修探究〉»»ZHUAN-TI-TAN・JIU〔2〕

专题一。平面向量的线性运算

1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算.

2.向量线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用

要注意大小、方向两个方面.

3.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算

的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题.

4.题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等.

■典例1如图所示，ZVIBC中，屈）=|矗，DE//BC,交AC于E,AM是BC

上的中线，交DE于N,设e=a,AC=b,用a,8分别表示向量赢，BC,DE,DN,AM,

AN.

专题二。平面向量的数量积

向量的数量积是一个数量，当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积为正数；当两个

向量的夹角为钝角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90。时，它们的数量积等

于0,零向量与任何向量的数量积等于0.

通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度(模卜平面内两点间

的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直.

■典例2如图所示，在平行四边形ABC。中，APVBD,垂足为尸，且AP=3,

则成后=.

为1』

专题三o向量的坐标运算

1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后，向量的运算完

全化为代数运算，实现数与形的统一.

2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分

类讨论、数形结合思想方法的具体体现.

3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直

等问题.

■典例3已知向量通=(4,3),AD=(-3,一1),点A(—1,-2).

(1)求线段BD的中点M的坐标；

(2)若点P(2,y)满足丽=2访(2WR),求y与2的值.

2.在解决与向量有关的最值问题时，常常利用坐标运算建立目标函数求解.

专题四Q平面向量的应用

1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数

乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方

法可以解决平面几何中的相关问题.

2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程.

3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题.

■典例4已知aABC中，N4cB是直角，CA=CB,。是CB的中点，E是AB

上一点，且AE=2£B,求证4O_LCE.

2.建立平面直角坐标系的原则，应尽量多的使图形顶点及边落在原点或坐标轴上.

专题五。数形结合思想在向量问题中的应用

在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维

结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，即数量关系转化为图形的性质来确定,

或者把图形的性质转化为数量关系来研究.

典例5已知向量a=（l』），6=（1,a）,其中。为实数，。点为原点，当此两

向量夹角在（0,节）变动时，a的取值范围是（）

B.（坐,小）

A.（0,1）

C.（坐，1）U（1,小）

D.（1,小）

即时巩固〉g

J\shigonggu

一、选择题

1.下列说法正确的是（）

A.单位向量都相等B.若aWb,则同并步|

C.若⑷=网,则a〃bD.若|旧步|,则aWB

2.若。是△ABC所在平面内的一点，且满足（病+沆＞（无一以）=0,则△ABC一定

是（）

A.等边三角形B,等腰直角三角形

C.直角三角形D.斜三角形

3.点P在平面上做匀速直线运动，速度向量。=（4,一3）（即点P的运动方向与。相同，

且每秒移动的距离为8个单位）.设开始时点P的坐标为（-10,10）,则5秒后点P的坐标为

（）

A.（-2,4）B.（-30,25）

C.（10,-5）D.（5,-10）

二、填空题

4.已知直角梯形ABC。中，AD//BC,ZADC=90°,AO