福建省泉州市高中数学2020-2021学年度高二年级上册教学质量监测数学试题（含答案解析）

福建省泉州市高中数学2020-2021学年度高二上学期教学质

量监测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

几

1.数列｛%｝中，若a“=-j、则%=()

V16-2H

A.yB.V2c.2V2D.8

2.已知1=(1,3,5),5=(2,6,x),无5<0,则x的取值范围为()

A.(TO,-4)B.(-8,10)C.(TKO)D.(10,-H»)

3.若直线2x-y+l=0与直线x+ay+3=0垂直，贝lja=()

A.12B.—C.gD.2

22

2、,2

4.若椭圆C:v>方=l(a>b>0)的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为()

A.；B.避C.—D.75

252

5.记正项等比数列｛q｝的前"项和为S"，若《=4,'=5邑，则$6=()

A.2B.-21C.32D.63

6.已知抛物线E：V=4X的焦点为产，准线为/,过E上一点P作/的垂线，垂足为

MF交E于点N,若NPFM=则■=（）

6\NF\

A.IB.立C.—D.2

223

7.三棱锥P-43C中，A8=6,AC=8,/R4c=90。，若PA=PB=PC=56，则点

B到平面PAC的距离为（）

.r-D30>/4?015-^34Cz

A.3J2B.---C.―--D.6

,4117

8.若0X=（w,O）,。耳=（0,：,p1,F（0,4,0）,|AF|=/?I+1,|BF|=/?+1,则加+〃的

最小值为（）

A.1B.2C.3D.6

二、多选题

9.在无穷数列｛《,｝中，若与必/小心旷人总有的小％”，此时定义｛q｝为“阶梯数

列''.设｛q｝为“阶梯数列“，且4=4=1,%=6,4为=26,则（）

A.“7=1B.“8=2&c.Sl0=10+3>/3D.a2020=1

10.若双曲线G：5-/=ig>o）与椭圆。2：］+《=1有相同的左右焦点《，尸?，且

C,,C?在第一象限相交于点尸，则（）

A.制=0B.G的渐近线方程为丫=枚

C.直线y=x+2与C1有两个公共点D.△PE写的面积为2&

11.已知A（l,0）,3（4,0）,圆。:r+丁=4,则以下选项正确的有

A.圆C上到8的距离为2的点有两个

B.圆C上任意一点尸都满足|PB|=2|E4|

C.若过/的直线被圆C所截得的弦为MN,则|MN|的最小值为2石

D.若点。满足过。作圆C的两条切线互相垂直，则忸口的最小值为4-2及

12.已知图1中，A、8、C、。是正方形EFG”各边的中点，分别沿着A3、BC、CD、

D4把AABF、ABCG、△CD"、zX/ME向上折起，使得每个三角形所在的平面都与

平面ABCD垂直，再顺次连接£7（",得到一个如图2所示的多面体，则（）

B.平面AEFJ_平面CG”

C.直线CG与平面心所成角的正切值为亚

Q

D.当钻=2时，多面体A8CD-E尸G”的体积为§

试卷第2页，共4页

三、填空题

13.圆心为(1,0),半径为2的圆的标准方程是.

14.已矢口a=(—2,—1,3),b=(1,-3,2),贝！Jcos<25>=.

四、双空题

15.已知双曲线-乐=1(。>0)的左焦点为F,点尸在£上且在第一象限，线段

PF的中点在以原点。为圆心，|。尸|为半径的圆上，若NPFO=m，则£的离心率为

O

;E的标准方程为.

16.设正项数列｛%｝的前〃项和S,=，%(%+3),则。"=:若对任意的〃eN*,

不等式2S,,+484-1)”姐，恒成立，则k的取值范围是.

五、解答题

17.已知等差数列｛《,｝中，％=2,4+%=6.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若2=2%,求数列仇｝的前〃项和R,.

18.已知直线-2，“+2=0(,"GR),圆C:f+_2x-6y+8=0.

(1)若/与圆C相切，求切点坐标；

(2)若/与圆C交于N,B,且=即，求AABC的面积.

19.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为下，直线x=3与E相交所得线段的长为

60.

(1)求E的方程；

(2)若不过点F的直线/与E相交于A,B两点,请从下列三个条件中任选两个作为补

充条件，并尝试依据补充条件，求/的方程(若因条件选择不当而无法求出，需分析具

体原因).

□AB中点的纵坐标为3；

匚AABF的重心在直线丫=2上；

|AF|+|BF|=13.

20.如图，正方体ABC。—AgGR的棱长为3,E,F,G分别为棱AR,RG,A8上

的点，且A£=AF=8G=1.

（1）求直线EG与平面尸所成角的正弦值；

HA

（2）设直线AA与平面EFG交于点，，求可厂的值.

21.在数列｛g｝,｛〃,｝中，all+2+6an=5all+l,。=4向-3%（〃eN"）,且q=l,b2=2.

（1）求4，瓦的值;

（2）求他｝的通项公式；

（3）设％=储丁1），记｛%｝的前"项和为S,,'证明：

22.已知圆E:（x-百/+y2=[6,圆E的弦AB过点网-6,0）,连接AE,BE,过点产

且与M平行的直线与AE交于点P,记点P的轨迹为曲线M.

（1）求M的方程；

（2）过点N（l,0）的直线/交”于C,。两点，试探究是否存在定点Q,使得

。（于+。右。力为定值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【解析】代入通项公式求解即可.

【详解】舟=亚

故选：B

2.A

【解析】由数量积公式再解不等式得出答案.

【详解】无B=1X2+3X6+5X=5X+20<0，解得

故选：A

3.D

【解析】根据两直线垂直，直接列出方程求解，即可得出结果.

【详解】若直线2x-y+l=0与直线x+ay+3=0垂直，

贝i]2xl+(-l)xa=0,解得。=2.

故选：D.

4.B

【解析】记椭圆的焦距为2c,根据题中条件，得到6=2c,进而可求出离心率.

【详解】记椭圆的焦距为2c,

•>2

因为椭圆<7:£+｝=1(。>6>0)的短轴长是焦距的2倍，

222

所以2A=4c,即8=2c,所以〃=4C2,^a-c=4c,即。？=5c2,所以

因此椭圆的离心率为e=£=」=好.

ay/55

故选：B.

5.D

【解析】先设正项等比数列｛《,｝的公比为q,根据题中条件，列出方程求出首项和公比，再

由求和公式，即可得出结果.

【详解】设正项等比数列｛4｝的公比为q(q>0),

因为4=4,54=5S2,

答案第1页，共19页

所以＜/■)3\7、，即V)3/人\»解得＜[，

(q+qq+4如)=5(4+4〃)〔夕一+4=4(1+“)[q=l

所以$6="，；)=26-1=63・

故选：D.

6.C

【解析】过点N作NGJJ于点G,记准线/与x轴交点为Q,根据抛物线的定义，结合题中

条件，得到=求出/NMG,根据|NG|=|NF|,即可求出结果.

【详解】过点N作NGJJ于点G,记准线/与x轴交点为Q,

因为尸为抛物线£：V=4x上一点，PMVI,

由抛物线的定义可得，1PMi=|PF|,|NGj=|NF|,

TT7T

又/PFM=—,所以NPMF=NPFM=—,

66

TT7T

则NNMG=NFMQ=--NPMF=-,

\\兀g|M^IM_L2^3

因此N涡G=si*=2,所以Ml|NG=|6=3.

故选：C.

7.C

【解析】取BC中点为。，连接OP,0A,根据题中条件，由线面垂直的判断定理，证明PO_L

平面ABC；求出三棱锥P-ABC的体积；以及的面积，设点B到平面PAC的距离为

d,根据等体积法，由匕-c=L』c，即可求出结果.

答案第2页，共19页

取BC中点为0,连接。P,0A,

因为AB=6,AC=8,ABAC=90°,所以BC==10，则AO=：8C=5；

又PA=PB=PC=56,所以PB'+PC?=100=5。2,则PBJ_3C,PO=；BC=5,

所以PO'+OA?=50=PM,所以PO_LA。；

因为PB=PC,。为BC中点，所以POJ_BC,

又8CcA0=0,BCu平面ABC,AOu平面ABC,所以PO_L平面ABC；

此时三棱锥尸-ABC的体积为VfBc=gSvMc.PO=gxgx6x8x5=40,

因为在△PAC中，PA=PC=5A/2.AC=8,所以△PAC的面积为

S“AC=?8XJ/>T_（第二45

设点B到平面PAC的距离为d,

由^P-ABC=^B-PAC可得40=§SypAC'”,

,12015取

所rr以r［=1==-----

45/3417

故选：C.

【点睛】方法点睛：

求解空间中点尸到面a的距离的常用方法：

（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同

的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；

（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面a的一个法向量而，以及平面a

PA•加

的一条斜线PA所对应的向量中，则点尸到面a的距离即为d=

\m\

答案第3页，共19页

8.C

【解析】根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到,推出

2机+2°=〃2-8“+2-%+30,配方整理，即可求出最小值.

nn

【详解】因为函=（认〃,o）,而=（o,：p],尸（0,4,0）,|赤卜〃?+1,|丽卜夕+1,

22

y/m+(H-4)=m+1iir+(〃-4y=m2+2机+1

则(3)力="+22

所以2%+2P=〃2-8"+16+4-必+16-2=("2+/+8)-8(〃+3]+22

nn\n)\n)

4

当且仅当九十一=4,即〃=2时，2m+2〃取得最小值3,则帆+P的最小值为3.

n

故选：C.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于利用空间向量模的坐标表示，用〃表示出2m+2〃，即

2机+22=（/+，+8）-8（〃+：）+22,配方整理，即可求解.

9.ACD

【解析】根据“阶梯数歹『’的性质，结合题中条件，确定数列｛%｝以3为周期，进而可求出结

果.

【详解】因为｛〃〃｝为“阶梯数列"，由4=%=1可得=%，。3=。6，4=%，%=4,

4=4，…，

观察可得4=4=%=..•33n_2=...(〃£“)，a2=a5=4==...(〃£N),

%=4=%=•••二%]=••.(〃£N),

即数列｛乙｝以3为周期，

又〃5=3,4%=2G,所以马9=2>/3,即=2,

答案第4页，共19页

综上，4=q=%=・・・=%T=1（〃wN*）,a2=a5=N）,

a、=%=%=>••=a3n=2（〃wM）,

故A正确，B错；

+a

%=（4+%+%+4（））+（生s+4）+3+a6+«9）=10+3>/3,即C正确；

“2。2。=4+3x673=4=1,即D正确.

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：

求解数列新定义的问题时，一般需要根据新定义的概念，推出数列的性质（如周期性、增减

性等），再结合题中所给条件，进行求解即可.

10.BD

【解析】先由两曲线的焦点相同，求出从，可判断BC选项；再将两曲线联立，求出点尸的

坐标，可判断AD选项，

o22，

【详解】因为双曲线伫：5-方=1（。>0）与椭圆C2：a+5=1有相同的左右焦点％K，

所以2+〃=8-4,解得y=2,

即=所以其渐近线方程为》=北，焦点坐标为耳（-2,0）,鸟（2,0）,即B正确；

因为y=x+2与双曲线C1的一条渐近线平行，且y=x+2过右焦点6（2,0）,所以直线

y=x+2与G只有一个交点，即C错；

----------------=12_j

由：2,解得：12,又G，G在第一象限相交于点尸，所以尸（2,夜），

84

因此|PK|=J（2+21+2=3jL即A错，

△P耳鸟的面积为品"用=夕可目•力=2&,即D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线共焦点，先求出双曲线的方程;再结合双曲线的性质,

即可求解.

11.BCD

答案第5页，共19页

【解析】由以点8为圆心，半径为2的圆与圆C:x?+寸=4相切判断A；设P(a,b),分别求

出|PA|,忸臼即可判断B；由圆的对称性可知当时，|MN|最小，从而判断C；对

于D项，先确定点。的轨迹为圆心为原点，半径为2亚的圆，从而得出忸的最小值.

【详解】对于A,以点B为圆心，半径为2的圆与圆C:/+y2=4相切，即圆C上到8的

距离为2的点只有一个，则A错误：

对于B,设P(a,6),满足"2+从=4,1PAi=彼2+(“-1)2=,从+/+1一2a=j5-2a,

|P8|=J/+(a_4)2=J/+“2+16-8a=《20-8a=275-2a=2\PA\,则B正确；

对于C,过点A的直线被圆C所截得的弦为MN,|MN|要最小，即OALMN时，|MN|最小，

222

|A7N|n.n=2sM-OA2=272-1=2G,则C正确；

对于D,设过点D的两条直线与圆C的切点分别为E,F,则OELDE,OF1DF，且,

|OE|=|OF|=2,则四边形OE»尸为正方形，即|。£)|=2及，设点。(x,y),贝ij有$+尸=8,

即点。的轨迹为圆心为原点，半径为2夜的圆，由此当点。在x轴的正半轴时，忸力最小，

为4-2及，则D正确；

【点睛】关键点睛：对于A项，关键是将问题转化为两圆的位置关系进行求解；对于D项，

关键是确定点。的轨迹为圆心为原点，半径为20的圆，从而得出忸。|的最小值.

12.AC

【解析】取8、A8的中点0、M,连接。8、OM,证明出QH_L平面A8CD,然后以点0

答案第6页，共19页

为坐标原点，OM、oc、O”所在直线分别为X、y、Z轴建立空间直角坐标系，求出但巴，

可判断A选项的正误，利用空间向量法可判断BC选项的正误，利用几何体的体积公式可判

断D选项的正误.

【详解】取8、A8的中点0、M,连接OM,

在图1中，:A、B、C、。是正方形EFG”各边的中点，则CH=gGH=；EH=DH,

•••o为co的中点，

•••平面CC归，平面ABC。，平面CO"n平面486=8,OHu平面CDH,

平面A8CD,

在图1中，设正方形EFG"的边长为2亚a（a>0）,可得四边形A8C。的边长为2a,

在图1中，AADE和AABE均为等腰直角三角形，可得NB4F=NDAE=45"

:.ZBAD=90,四边形ABC。是边长为2a的正方形，

•••O、M分别为CO、A3的中点，则OC7/8M且OC=BM,且N0C8=90,

所以，四边形OCBM为矩形，所以，0MLCD,

以点。为坐标原点，。“、oc、OH所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则A（2a,-a,0）、3（2«,。,0）、C（0,a,0）,D（0,-a,0）、E（a,-a,a）、F（2a,0,a^,G（a,a,a）、

”（0,0,a）.

对于A选项，由空间中两点间的距离公式可得|A目=|AF|=但耳=0a,

所以，所是正三角形，A选项正确；

对于B选项，设平面AEF的法向量为而=（用,如4）,AE=（-a,0,a）,AF^（O,a,a）,

in•AE=-ax+华=0u

]9取Z]=1,则%=1,%=T,则加=（1,一1,1）,

fn-AF=ay]+az]=0

设平面CGH的法向量为〃=（无2,%，z?），CG=（凡0,a）,CH=（O,-6f,«）,

n-CG=ax+az^=0〃，,1.、

由，无电-研?+陪0'取…，可得=，…，则—，

wn=l2+（-l）2-lxl=1^0,所以，平面AEF与平面CG"不垂直，B选项错误;

CG-rn2a_V6

对于C选项,COS<CG,m>=

HR3

答案第7页，共19页

设直线CG与平面AE尸所成角为，，则sin。=也，cos®=J1-sin*

33

所以，1血6=吗=夜，C选项正确；

COS0

对于D选项，以ABC£>为底面，以\OH\为高将几何体ABCD-EFGH补成长方体

ABCD-ARCR,贝?、G、，分别为4。、人与、B©、G0的中点，

因为AB=2,即。=1,则。”=1,长方体ABCO-ABCQ的体积为V=22xl=4,

2

V.n-A^Et.Fr=—3SL^^A.^CE,rF-A4!I=­3x—2xlxl=—6,

因此，多面体ABCD-EFGH的体积为匕BCD-EFGH"63，

D选项错误.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面

内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度3从而不必作出

线面角，则线面角夕满足sin®=：（/为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设2为直线/的方向向量，5为平面的法向量，

则线面角，的正弦值为sin0=|cos<a,n>^.

13.（x-l）2+y2=4

【解析】根据圆心和半径，可直接得出圆的标准方程.

答案第8页，共19页

【详解】圆心为(1,0),半径为2的圆的标准方程是(x-iy+y2=4.

故答案为：(X-1)2+V=4.

14-

-2

【解析】根据空间向量夹角的坐标表示，由题中条件，可直接得出结果.

【详解】因为，=(-2,-1,3),£>=(1,-3,2),

ryci'b_2+3+6I

所以8s酮",石1+92H7

故答案为：y

15.3里《-斗=1

242V3

【解析】记线段PF的中点为N,双曲线的右焦点为尸，双曲线的焦距为2c,连接ON,PF',

根据题中条件，结合双曲线的定义，得至“PF'|=2c,\PF\=2a+2c,在△外尸中，利用余

弦定理，列出关于a，c的等量关系，即可求出离心率，进而可得标准方程.

【详解】记线段PF的中点为N,双曲线的右焦点为尸，双曲线的焦距为2c,

连接。N,PF',

由题意可得，|CW|=|OP|=c,

因为。为“'的中点，所以ON〃尸F',且|ON|=；|PF'卜c,即|P尸［=2c,

由双曲线的定义可得，忸尸|一忸尸1=2%所以|PP|=2a+2c,

TT由余弦定理可得'eosZPW=MlMzM

又乙PFO=1在中,

6

叩石（2〃+2c了+4c*-4c2a+c16+1

因此离心率为e=£=

22（2Q+2C）X2C2Ca也-1一2

该双曲线的方程为E：£•-加=1(。>0),

解得/=4,

2o

因此E的标准方程为『木=】.

答案第9页，共19页

求解本题的关键在于根据题中条件，得到“，C之间的关系式；由线段尸尸的中点在以原点0

为圆心，|。口为半径的圆上，结合双曲线的定义，求出|尸尸|和|尸日，根据=再

由余弦定理，即可得出。工之间的关系式，从而即可求解.

46

16.3〃；---<k<9.

5

【解析】先由递推公式，得到=/“1+（%（〃22）,与原式两式作差整理，判断数列

｛%｝是等差数列，进而可求出通项；求出根据题中条件，得到对任意的"WN’,不等式

〃+1+：2（-1）入恒成立，令”〃）=〃+1+9,求出其最小值，讨论〃为偶数，〃为奇数，

两种情况，分别求解，即可得出结果.

【详解】因为正项数列｛4｝的前n项和S“=/（4,+3）=/：+[“口，

o62

2

所以S"_|=；an_,+（«>2）J,

由匚一匚得Sn-Sn_]=：一）+g（a〃一一）（〃之2）,

则；（%+*）=:（a：-*）=；（4+4J（%一％J（九之2）,

2oo

因为｛可｝为正项数列，所以则=3（"，2）,

又q=5=，4（囚+3）,解得q=3,

O

因此数列｛%｝是以3为首项，以3为公差的等差数列，因此q=3”；

答案第10页，共19页

所以s“=’x3"x(3〃+3)=3及(〃+1)

2

由对任意的MN*,不等式2szl+482(-1)"他恒成立，可得,

对任意的〃cN”,不等式3〃(〃+1)+48之(-1)"2x3〃恒成立，

即对任意的〃eN”,不等式〃+1+3“-1)”我恒成立，

n

/、16\11616116

令/(〃)=〃+1+7，则/■(〃+])_"〃)=1+亦一丁=1_而而，

当“24时，〃〃+1)-“")=1一就用>°，此时/(〃+1)>/(〃)，即/(〃)单调递增；

当〃43时，/(n+l)-/(n)=l--^jj<0,此时“〃+1)</(〃)，即/(〃)单调递减；

X/(3)=4+y=9+1,〃4)=5++9,/(5)=6+y=9+|=y,

所以"%"="4)=9,/(5)</(3),

当”为偶数时，n+l+->k,即％4/(〃)，因此只需％4/(4)=9；

n

当"为奇数时，〃+1+祚-3即22—/(〃)，因为"为奇数时，/(«)min=/(5)=y,因此

只需―一半；

46

^±-y<*<9.

46

故答案为：3”；--k<9.

【点睛】思路点睛：

已知数列不等式恒成求参数的问题，求解时，一般需要先分离参数，得到参数大于(大于等

于)或小于(小于等于)某个式子的形式，构造新的的数列(或关于〃的函数)，求出其最

值，即可求解.

17.(1)a„=n.(2)5„=2,,+l-2.

【解析】(1)先设等差数列的公差为d,由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出

通项公式；

(2)根据(1)的结果，得到打，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.

【详解】(1)设等差数列｛q｝的公差为d，因为q=2,q+%=6,

答案第11页，共19页

\a.+d=2

所以,/，解得4="=1，所以凡=1+("-1)=〃；

[24+4d=6

(2)由(1)可得,4=2%=2",即数列｛a｝为等比数列，

所以数列圾｝的前〃项和S,,=2。-2")=2向_2.

1—2

4

18.(1)(2,2)(2)y

【解析】(1)求出直线/的定点，再由定点在圆上得出切点坐标；

(2)由(1)知A(2,2),证明A。4c为直角三角形，求出cosNOCA,sin/OCA,最后由三

角形的面积公式求出AABC的面积.

【详解】(1)圆C可化为(x-l)2+(y—3)2=2

直线/可化为利(x_2)+2_y=0,由]:一2=，解得x=2,y=2

[2-y=0

即直线/过定点(2,2),由于J(2—+(2-3)2=夜=厂,则点(2,2)在圆C上

因为/与圆C相切，所以切点坐标为(2⑵

(2)因为/与圆C交于4B,所以点A(2,2)

如下图所示，与CO相交于点。，由|。4|=|。目以及圆的对称性可知，点。为A8的中点，

且Afi_LOC

由以。=咨=1,则直线AO的方程为x-y=o

2—0

圆心C(l,3)到直线A。的距离为4=立等=及=/，即直线A。与圆C相切

即。4,AC,则|OC|=JF+32=加

中％-/Ci_瓜_2后

因cosNOCA=——=■=—,sinNOCA=—^=-=---

V105V105

所以5/=；陷.忸qsinNAC2=gx&x0x2x^x^=《

答案第12页，共19页

【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是先确定直线/过定点，再由定点在圆上，从而确定

切点的坐标.

19.）（1）V=6x；（2）见详解.

【解析】（1）先由题意，得到抛物线过点（3,3&）,将该点坐标代入抛物线方程，求出P,

即可得出结果；

（2）先讨论直线I的斜率不存在时,得出AB的中点纵坐标为0，一定不满足□和U两个条件，

无论选旧，口口，均不符合；故直线/的斜率存在；设/：y=H+A（Z*O）,A（3，x）,

3（孙、2），联立直线与抛物线方程，得到,+%=，，分别选择，n门，根据重心坐标公

式，以及抛物线的焦半径公式，即可求出直线方程；选择口口时，两个条件都只能求出斜率，

故不能得出直线方程.

【详解】（1）因为直线x=3与E:y2=2px（p>0）相交所得线段的长为6夜，

所以抛物线£：丁=20犬（0>0）过点卜,3&）,则18=6p,所以p=3,

则E的方程为y2=6x；

（2）当直线/的斜率不存在时，/与E相交于A,B两点，A8的中点纵坐标为0,

不管选门口，均不符合；故直线/的斜率存在；

设/:y=H+》（AwO）,A（X1,yJ,B（x2,y2）,

由⑴知F（|，0），

答案第13页，共19页

由「么消去无，整理得江-6y+6b=0,所以乂+%=不；

[y=6xk

若选□□:

因为4B中点的纵坐标为3,所以乂+丫2=：=6,则&=1,

k

因为|4司+怛曰=13,所以内+々+2=13,则占+々=10,即%+%-26=10,所以b=-2,

因此直线/的方程为y=x-2；

若选□□:

因为△曲■的重心在直线尸2上，所以-+/+»=2,则%+必=64，所以〃=1,

3k

因为|AF|+|BF|=13,所以％+々+〃=13,则%+々=10,即%+%-2人=1(),所以分=-2,

因此直线/的方程为y=x-2；

若选□□:

因为A8中点的纵坐标为3,所以y+y2=g=6,则4=1;

因为AABF的重心在直线)=2上，所以多士)/见=2,则x+%=6=2,所以A=l；

两个条件，都只能得出斜率々=1,无法计算出匕的值，因此不能得到直线/的方程.

【点睛】思路点睛：

根据直线与抛物线交点满足的条件求直线方程时，一般需要讨论直线的斜率是否存在，斜率

存在时，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理以及题中条件，即可求解.

20.(1)史N(2)4.

14

【解析】正方体ABC。-4NGR的棱长为3,可以直接建立空间直角坐标系，

找到的=(1,2,-3)和平面DEF的一个法向量5=(-3,-6⑵，利用向量法求直线EG与平面

DEF所成角的余弦值；

先设出“(3,0,z),则求出平面GEF的一个法向量石=(1,2怖)，由得到丽，而，

HA

从而求出z,算出77r.

答案第14页，共19页

z

G

因为ABCO-A8GR是棱长为3的正方体，可以以。为原点为x轴,。C为y轴QQ为z

轴建立空间直角坐标系，则

0(0,0,0),43,0,0),8(3,3,0),C(0,3,0),A(3,0,3),B,(3,3,3),C,(0,3,3),£),(0,0,3),

£(2,0,3),G(3,2,0),EG=(1,2,-3),DE=(2,0,3),DF=(0,1,3),

(1)设石=(x,y,z)为平面。£尸的一个法向量，则:

:盥:即2x+3z=0_

y+3z=0'解得〃=(-3，F2).

设直线EG与平面DEF所成角为。，则

।3V14

sin0=|cos(EG,〃)|=|安lx(-\3=)1+2x,_(-_6_)+_(_-3_)x2,_____

222222

\EG\\^\71+2+(-3).A/3+6+2

即直线EG与平面DEF所成角的余弦值为主叵

14

(2)连接尸G,设H(3,0,z)则而==(_2,1,0),防=(一3,-1,3),

设加=(x,y,z)为平面GEF的一个法向量，则：

窗即-32x+-y；+=30z=。,.解，得一i2朴5

EHcEFG,:.EH±m,

•.­EH=(l,0,z-3),w=(l,2,1),.-.lxl+0x2+(z-3)x|=0

12123

解得：Z=-^.\HA\=-AHA]\=-

HA

-----=4A

HA.

答案第15页，共19页

【点睛】立体几何解答题的基本结构：

(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；如果容易建系的话，也可用向量法证明或计

算；

(2)第二问是计算，求角或求距离(求体积通常需要先求距离)，通常可以建立空间直角坐标

系，利用向量法计算.

21.(1)%=14,2=1；(2)bn=2"-'；(3)见详解.

【解析】(1)根据题中条件，得到求出生,七，进而可得4；

(2)根据题中条件，得到4+2-3%+|=2(.-3%),推出数列｛〃,｝是以2为公比的等比数

列，进而可求出通项公式；

2"

(3)由(2)先得,，，=产诃匚D，利用裂项相消的方法求出S,,，进而可得结论成立.

/[a.+6a.=5tz,

【详解】(l)因为4+2+6%=5a向，2=a,用-3a,,〃eN,所以J一，

(仆+6=5氏[a>=4

又4=1，瓦=2,所以「解得一

[%—3%=2[a3=14

所以4=%-3《=1；

(2)由all+2+6a„=5a向可得an+2-3an+l=2an+l-6an,即an+2-3a„+1=2(a„+l-3a„),

又a=q+「3%(〃eN*),所以%=2b„,则数列低｝是以2为公比的等比数列，

又4=1,所以或=2"T；

b2"1(2"2-1)-(2"-1)

(3)山(2)可得c"=闻门族+3_i)=(2"-I.*—1)=§x(2"-1)(2*-1)

因此｛g｝的前"项和为

答案第16页，共19页

lf_1___1___Olfl___1____因为

=3(1+22-l2n+l-12n+2-l)=3(32B+,-12,,+2-lJ93^2,,+|-12n+2-lJ

«eN\所以21_]+2"」_]>0,贝UE，+2"」_

又S"=：-：[#r+亍D显然单调递增，

y。l1—Iz—1y

2

所以S〃NS|=5,

24

综上<-.

/y

【点睛】结论点睛:

裂项相消法求数列和的常见类型:

等差型一!一=4

(1),其中｛〃〃｝是公差为d（dwO）的等差数列;

的,用d

无理型,

(2)I,

y/n+7n+kk

（3）指数型（a—1）"="用一〃〃；

（4）对数型lOga-nlOgaazTOga%.

%

22.（1）9+y2=［；⑵存在定点使得交+配而为定值.

【解析】（1）先由BEHPF,根据题中条件，得到归尸|=|网，推出|叩+|阳=|砌＞|闭，即

可得出点P的轨迹是椭圆，进而可求出其轨迹方程；

（2）假设存在定点Q,使得。心'西.而为定值，设Q（肛〃），C（xl,yl）,。（々,必），讨

论直线/的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理，以及向量数量积

的坐标运算，计