高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (四)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(4)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.已知向量五,至满足|五|=1,|K|=V2.(a-b)La.

(1)求|2五一方|的值;

(2)若向量7=山日+石，d=a-b<<c,d>=120°.求，”的值.

2.已知△ABC的顶点4(一2,3),B(—4,—5),C(6,0).

(1)设不=4荏+(3-4)前，&=3四一2配.若五〃方，求4的值；

(2)若AO是AABC的边8C上的高，求点。的坐标.

3.设百，号是不共线的非零向量，且日=瓦-2宅"=瓦+3瓦.

(1)若不=3百一与，用落方表示乙

(2)若4宙—3弑=；1五+〃3，求4,〃的值.

4.AABC中，。为BC的中点，。为外心，点M满足画+而+沅=50.

(1)证明：AM=2OD;

(2)若|瓦？+近|=|刀|=6，设A。与OM相交于点P，E,尸关于点P对称，且|前|=2,

求荏•疗的取值范围.

5.已知向量五=(cos]+siW，2sin》，b=(cos^-sinpV3cos|),函数/(x)=k,火

(1)求函数/(X)的最大值，并指出f(x)取最大值时X的取值集合；

(2)若a,0为锐角，cos(a+S)=||,/(3)=g,求f(a+§的值.

6.锐角△4BC的三个内角是A、B、C,若△ABC的外接圆的圆心为0,半径是1,且丽♦元=,.

(1)求角4的大小及角B的取值范围；

(2)求市.(话+元一2瓦4)的取值范围.

7.在A4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosd=2^,7LB-AC=3>c=1,求a

25

的值.

8.在4ABC中，点P满足2万+3而+4左=d，若存在点O,使得丽=［而,试用嬴，玩表示而.

O

9.已知椭圆条+，=1(£1>6>0)的离心率为呼，点7'(2短年)在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知直线丁=&x+/n与桶圆交于A,B两点，点尸的坐标为(2夜,0),且而•而=一1,

求实数m的值.

10.已知单位向量方茫的夹角为全

。)若而一不与方垂直，求左的值;

(n)若向量下满足(a-c)-(/>-c)=O.求|人的最大值.

11.平面内给定三个向量方=(3,2),b=(-1,2).c=(4,1).

(I)求满足1=m3+n下的实数〃?，"；

(n)(5+fc?)//(2K-a).求实数、

(111)设2=(万?)，满足(2-？)〃位+3),且了-/1,求名

12.已知|五|=4,㈤=3，(2a-3b).(2a+b)=61.

⑴求|五+)|;

(2)求向量行与向量五+B的夹角的余弦值.

13.已知向量沆=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),函数f(x)=沅•元+5.

(1)若/(f)=l，xe(0,7T),求tan。+》的值；

(2)若f(a)=-\,K或当，sin£=型,1€您),求2a+0的值.

1UN4*10N

14.已知△ABC中4c是直角，C4=CB,点。是CB的中点，E为AB上一点.

(1)设方=i，CD=b，当荏=：荏，请用区方来表示南，CE.

(2)当荏=2丽时，求证：AD1CE.

15.已知平面向量裙豆满足：|矶=2,|1|=1.

(1)若0+21)・0一］)=1，求)不的值;

(2)设向量五石的夹角为。.若存在t€R,使得|五+tE|=l，求cos。的取值范围.

16.己知向量记=(V5sin2x-l,cosx),n=(l,2cosx),设函数/(%)=记■汇

(1)求函数f(x)的最小正周期及XG［0《］时的最大值；

(2)把函数/(x)的图象向左平移＞0)个单位,所得到的图象对应的函数为奇函数,求w的最小值.

17.已知向量五在向量方=(1,6)方向上的投影为2,(1一2石)1落

(1)求向量行与3的夹角；

(2)求|2五一石|的值；

(3)若向量m=3五一4方，d=ma+b＜c//d，求机的值.

18.已知向量五,b满足：|日|=&，忸|=4,a•(Z?-a)=2.

(I)求向量己与石的夹角；(口)若向量t五一石与五+石垂直，求实数f的值.

19.已知平面向量五=(2,2),K=(x,-l).

(1)若//石，求x；

(2)若有1(3-26).求五与方所成夹角的余弦值.

20.已知4，b＜不在同一平面内，且五=(1,2).

(1)若©=3倔且方1工，求工

(2)若石|=VL且位+2尤)1@-尤)，求。与石的夹角的余弦值.

21.已知游石兄是同一平面内的三个向量，其中K(1.2).

⑴©=2倔c||a,求搦坐标.

(2)|1|=9，且方+2方与2五一石垂直，求五与行的夹角仇

22.已知3>0,向量五=(sina)x,V3(sina>x+cos3x)),b=(2coscox,sina)x—coscox),函数

/(x)=|五不，且函数f(x)的周期为m

⑴求3的值及函数y=f(x)在[o,外上的最大值；

-x

(2)若出€[3,外，/(%0)~/(o)=1，求cos2x()的值.

23.已知函数/(%)=sina%—S羡osa%3>0)的最大值为2,且/(x)的最小正周期为TT.

(1)若xe[o,外，求/'(X)的最小值和最大值；

(2)设△4BC的内角A、B、C的对应边分别为a、6、c,。为AC的中点，若a=巾，BD=~

2

/(I)=0'求C.

24.在四边形ABC。中，彳豆=五，BC=b>CD=方了=Z且苍方=3笠==%五，那么四边

形A8CZ)是什么图形？

25.如图，已知在HMBCD中，AB=3,AD=1,/-DAB=p求对角线AC和8£)的长.

DC

26.如图，在AOAB中，已知P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB.

(1)若丽=证，求x,y的值;

(2)若丽=2函|鼐|=4,|而|=2,且玄与丽的夹角为60。时，求丽•品的值.

27.若点M是△力BC所在平面内一点，且满足祠=:荏+：尼.

44

(1)求448“与4ABC的面积之比；

(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点。，设的=%的+丫丽，则求x+y的值.

28.已知五万为单位向量，a-b=^.

(1)求|2五+「|;

(2)求2W+B与方的夹角。的余弦值.

29.已知P为△4BC内一点，且39+4前+5而=6.延长AP交BC于点。，若四=AC=b>

用五，3表示向量存，~AD.

30.如图，平行四边形48c£＞中，AB=4,AD=2,^BAD=60°,点E、尸分别为A。、DC边的

中点，BE与AP相交于点。.记通=五，AD=b.

(1)用不、石表示而，并求|屁|；

(2)若同=%而，求实数4的值.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)因为@—b)JLW，

所以(R—b)-a=0=>ba=a2=lf

所以|2方一方|=J(2a-bf=^4a2-4a-b+b2=V4-4+2=V2;

(2)因为下=m为+b，d=五一b，<c,d>=120°，所以cosV>=cosl20。='同=

(ma+5)(ct-K)

J(ma+b)2J(a-b)2

ma2+(l-m)a-b—b2

22、一-2

ma+2ma•石+K•-2a-b+b

m+(l-7n)-2c-1--=--1-,

Vm2+2?n+2->/l-2+2Vm2+2m+22

整理得：m2+2m—2=0,

解得?n=V3—1或?n=—V3—1.

解析：本题考查向量的模的求法，向量垂直与向量共线的充要条件，属于基础题.

⑴因为|2方一石|=J(2方-犷=j4——4方不+於所以利用已知条件同=1，向=夜，(五一

6)la.求出方•方即可解决问题；

DCOC-H(ma+d)(a-K)

(2)利用8S120=丽=而蒜苏君化简整理可得m2+2m-2=0,解出机的值即可.

2.答案：解：(1)3=3荏-2瓦:=3荏-2(前一而)=5荏一2就；

■.■a//b，且荏,1?不共线；

二：=甘，解得4=5；

5—2

(2)设前=〃方=〃(10,5)，则。(104-4,5〃-5),同=(10〃-2,5〃-8);

vAD1BC:

ADBC=(10/z-2,5〃-8)-(10,5)=10(10〃-2)+5(5〃-8)=0;

解得〃=养

解析：本题考查平面向量的坐标运算，共线向量基本定理，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐

标运算.

⑴根据条件可求出石=5荏-2而，根据云〃石，并且布，而不共线可得出“当，解出;I即可;

(2)可设前=〃豆？=”(10,5)，从而得出。(10〃一4,5〃一5),同=(10〃一2,5〃—8),根据而J.就

可得出同BC=0,进行数量积的坐标运算即可求出〃的值，进而得出点D的坐标.

3.答案：解：(1)设力=+yE=x(京-2与)+y(/+3石)=(x+y)瓦+(3y—2x)五，

因为不=3万一或，所以(x+y)瓦+(3y-2x)eJ=3瓦*一孩，

又瓦，右是不共线的非零向量，

所以｛辨2：二解得忧；艮―

(2)因为4百一3同=2五+/方=2®-2或++3遍)=(4+“)百一(23-3”)司,

且向量蓝，石是不共线的非零向量，

所以｛才W解得忆；

解析：本题考查平面向量基本定理以及向量的加减数乘运算，属基础题目.

(1)可设1=久日+丫3，从而得到不=xZ+yE=x(可一2或)+y(耳+3宅)=(x+y)可+(3y-

2x)器，根据平面向量基本定理即可建立关于x,y的方程组，解出x,y便可用乙3表示出向量L

(2)方法同(1),根据平面向量基本定理建立关于九〃的二元一次方程组，解出九〃即可.

4.答案：解：(1)由题意得宿=丽一瓦？=话+历=2前，

(2)由|瓦？+就|=|而|=6，得|下X+前|=|配一瓦今瓦L百日=0今NB=90°

此时。为AC的中点，M与B重合，尸为A/IBC的重心,

1

\PO\=-\BO\=1

所以AE-CF=(4P+PE)•(CP+PF)

=AP-CP+AP-~PF+PE-CP+'PE-TF

=\P0\2-\A0\2+7F-(AP-CP)-1=-9+PF-AC

=-9+6cos(PF,AC)e[-15,-3]

解析：本题考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，熟悉向量的三角形法则和数量积公式以

及平面向量的几何意义为关键.

(1)根据条件有利三角形法则可证结果；

(2)由|瓦？+近|=|前|=6,得|即+前|=7寸-瓦?|今司•前=0。NB=90°此时。为

AC的中点，M与B重合，P为AaBC的重心，|PO|=1旧0|=1,再将荏.而转化到一9+前•前=

一9+6cos(丽，前〉G[-15,—3]可得结果.

5.答案：解：(1)••,向量胃=(cos；+sinp2sin|),b=(cos；-sinpV3cos|),函数/(x)=a-b.

贝！If(x)co«2^—xiir^+2\/3siu-=COSH+《siur=2sin(工+—),

令xH—=—F2/CTT,得x=—F2/CTT,k£Z,

623

所以/(%)最大值为2,此时x的取值集合为｛%|x=g+2knfkeZ)；

195

(2)由a,6为锐角，由“Mc+3)二得sin(c+3),

・•〈夕+大〈三，

vSv?4,,•76O5

T7.,,3.1\/2.兀/A,71■/7r

又sm(8+n)=RW(5，kk)'.•NV夕+&<I，

s7T\4

：.coti(ii+--)-，

65

TT7TTTh《

/,<<>S(Q---)=cos[(a+3)—(3+-)1=cos(a+3)cos(3+，)+sin(a+3)sin(8+—)=—,

666665

■7r7T7T7T7TI*xo

.••/(a+g)=2sms+3)=2sin(-+«--)=2cos(a-.

解析：本题考查向量的数量积公式，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式及函数

y.4sin(u；x+⑼+。的性质，属于中档题.

(1)根据二倍角公式及两角和的正弦函数公式化简已知函数，再利用性质求最大值及此时x的值；

(2)利用已知角表示未知角，由a)s[(a4-3)-(3+*：)],结合诱导公式即可求解.

6.答案：解：⑴••・三个内角是4、B、C,若AABC的外接圆的圆心为0,半径是1,且方•沆=点

1x1xcos2A=-=>cos2A=-=>A=30°；

22

・・•锐角△ABC；

.(B<90°

••心+8〉90°

可得60。<B<90°,

>)>>>>>一-->>2

(2)•••OA・(0B+0C-2。4)=0A-OB+0A-0C-20A=CQSZ.AOB+cos^AOC-2

=cos2C+cos2B—2

=cos(150°—2B)+cos2B—2

3V3..............

=­cos2B---sin2B—2

22

=V5COS(2B+30°)-2,

•••60°<B<90°,

150°<2B+30°<210°,

可得cos(2B+30。)6

故初•(丽+沉一26不)的取值范围是[一2一次,一

解析：本题考查平面向量的数量积的运用，考查三角函数的恒等变换，以及余弦函数的图象和性质,

考查运算能力，属于中档题.

（1）利用向量的数量积求出NBOC,即可求出角A,再结合锐角三角形的范围限制求出8的范围；

（2）运用向量的坐标运算和数量积的定义，以及三角函数的恒等变换，结合余弦函数的图象和性质，

即可得到所求范围.

7.答案：解：rcos'=公，

25

cosA=2cos2--1=2x（―）2—1=

又4e（0,71）,

•••sinA=V1—cos2/l=由AB-AC=|AB|•|AC|•cosA=|bc=3得be=5,

而c=l,所以b=5,又cos4=|,

根据余弦定理a?=b2+c2—2bc-cosA,

得：a=y/b2+c2-2bccosA=J25+1—2x5x1=2V5.

解析：本题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，向量的数量积运算以及余

弦定理，属于中档题.

利用二倍角的余弦函数公式化简cosA,把cos?的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用

同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，又尻=5,c=l,求出6的值，再由cosA的值，利用

余弦定理即可求出。的值.

8.答案：解：因为而=:配，

由已知条件得2（万？-OP）+3（0B-0P）+4（0C-OP）=0，

所以9前=2或+3函+4元=|（历一成），

所以3而=--OA--OC,0B=--OA--OC.

2266

解析：本题考查了平面向量的加减和数乘运算，平面向量基本定理的运用，考查了分析和运算能力，

属于中档题.

由条件得到2（瓦？—9）+3（万一加）+4（0?—而）=6,再由丽=：近，AC=OC-OA，即可求

得可而，历的关系，用鼐，充表示丽.

9.答案：解•椭圆的离心率e=£=在，

a3

・••不妨设a=3t,c=V6t（t>0）,・•・b2=a2-c2=3t2,

•••点7（2夜，空）在椭圆上，.•.白+工=1，解得t2=l,

二椭圆的方程为亡+”=1.

93

(2)设A,3的坐标为01，%),(%2而，

y=\[2x+m

联立y2,

上+匕=1

93

得77+6y/2mx+3m2—9=0,

6V2m

%+X2=一不

3m2-9

(=­T-

J=(6V2m)2-4x7x(3m2-9)>0即0<m2<21,

.PF=-1,

・・・一・丽=(%]-2vxy0・％-2V2,y2)

2

=3%I%2+(V2m-272)(%1+x2)+8+m

=3x+(V2m-2V2)x+8+病=-1,

化简整理得，m2+6m4-9=0,解得?n=-3,符合0Win?<21.

故m=-3.

解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，

属于中档题.

(1)结合椭圆的基本几何性质求解即可；

,6y[2m

+%2=------

7

3m2_9，则刀•丽=

{%1%2=与一

(%1-2夜,y。•(上一2鱼,%)=47n+；血+28=一],从而解得相的值.

10.答案：解：(/)因为ka-b与。垂直,

所以(证-h)-a=0化简得k滔一2％=0,即kxl2-lxlx|=0,

解得k=*

(II)设小以0为原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图

y

则2=(1,0)工=

设c=(%,y)»

由(q-c),(b—c)=0，可得(x—l,y)•(x-g,y——=0,

2

化简得卜_：)2+0_¥)=；,

即”的轨迹为以C©，1)为圆心，r=［为半径的圆，

则|c|的最大值为|oc|+「=g)2+(乎j+l=~

解析：本题考查平面向量数量积的应用，考查数量积的坐标表示，属于一般题.

(/)由已知可得(总一9彳=0,计算可得%的值；

(II)设&法以。为原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用坐标得出展的

轨迹，利用几何意义可得|c|的最大值.

11.答案：解：(1》.•向量为=(3,2),b=(-1,2).c=(4,1),

••mb+nc=771(—1,2)+九(4,1)=(-m+4n,2m+n)，

va=mb4-ncy

m=-5

累;生I解得9

8・

n=-

(2))a+fcc=(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k),

2h-a=2(-l,2)-(3,2)=(-5,2)，

v(a+kc)//(2b-a)，

—5(2+k)-2(3+4/c)0,解得k——•

(3)a+d=(2,4)，d—c=(x-4,y—1)，

v(d-c)//(a+K)，K|d-c|=1.

f4(x-4)-2(y-1)=0

-44+(y-1产=1，

“4+9或X=4-在

解得5

>=1+等12后

y=1~~

••.%=(4+9,i+等)或m=(4-泉1一怜.

解析：本题考查了向量的坐标运算、平面向量基本定理、向量共线定理、向量的模的计算公式，考

查了计算能力，属于基础题.

(1)利用向量的坐标运算和平面向量基本定理即可得出；

(2)利用向量共线定理即可得出；

(3)利用向量共线定理、向量的模的计算公式即可得出.

12.答案：解：⑴•：(23一33)•(2五+3)=61,

■■4\a\2-4a-b-3\b\2=61,

•••|a|=4,|石|=3，.•.百•方=—6.

\a+b\=^\a\2+\b\2+2a-b=742+32+2x(-6)=V13；

(2)a-(a+b)=\a\2+a-b=42-6=10，

・••向量五与向量五+B的夹角的余弦值为黎寒=提=察.

|a||a+Z?|4V1326

解析：本题考查向量的数量积，向量的模，向量的夹角，属于基础题.

(1)由已知条件求得万不，再由|方+1|=加/+|郎+2为不即可得解;

(2)根据向量的夹角公式求解即可.

13.答案:解：(1)因为向量沅=(cos%,sin%),祠=(cosx,—si九%),

所以/(%)=m-n+1=cos2%—sin2%-F|=cos2x+

因为f(9=1，所以cosx+T=l，BPcosx=i

又因为“e(0,7T),所以』=三，

7T7T

7r7T7T1+tan-

所以+彳)=t；W(；+-)=---37r----=-2-瓜、

4J4]_tan-tan7

«54

(2)若f(a)=-^,则cos2a+；=即cos2a=—,.

因为cW(.；)，所以2Q€(7T，：)，

所以sin2a=—Vl—cos22a=—1.

因为sin/?=黑，，E■)・,

所以cos/?=Jl-siM/?=Y|,

所以cos(2a+/?)=cos2acosp—sin2asin/3

3四,4、772V2

=--X------(--)X——=—.

510k57102

?7T7T

又因为2°€(不：；-)，，€((),,,),所以2a+6e(兀,2兀)，

所以2a+。的值为；.

解析：本题考查了向量的数量积、二倍角公式及两角和与差的三角函数公式，属于中档题.

(1)由向量的数量积可得f(x)=cos2x+3由f(|)=l求得x的值，再由两角和与差的三角函数公式

可得+：)的值；

(2)先求得cos2a=-|,结合角的范围得s讥2a.同理由sin/?得cos£,由两角和与差的三角函数公式可

得cos(2a+£),故可得答案.

14.答案：解：(1),・,CA=五，CD=8，点。是。8的中点,

:・CB=2b，

•.AB=CB-CA=2b-af

：-CE=U+AE=a+lAB=a+^2b-a)=la+b.

(2)以C点为坐标原点，以CB,C4为x,y轴，建立如图所示平面直角坐标系,

设4(0,a),B点坐标为(a,0),另设点E坐标为(%,y),

•・•点。是CB的中点,

二点0坐标为(泉0),

又•:AE=2瓯(x,y-a)=2(a-x,-y),二x=*y-p

所以而=6,一a),CE=(y，5,

所以而-CF=^Xy+(-a)X?=0,

・•・AD1CE.

解析：本题重点考查平面向量的分解和数量积与垂直，属于一般题.

(1)利用平面向量基本定理和线性运算即可求解；

(2)建立平面直角坐标系，通过求证而.CE=0即可.

15.答案：解:(1)若(3+2b)•(3—b)=1,

则五2+五.石—2石2=1，

又因为|五|=2,|h|=1，

所以4+a-b-2=1»

所以五•b——1:

(2)若|五+行|=1，

则五2+2ta-6+t2ft2=1，

又因为|N|=2,|另|=1,

所以产+20・5)t+3=0,

即产+4tcos0+3=0,

所以4=16COS26—12N0,

解得cos。>3或cos。<——,

22

所以cos。e[―1,-y]u[y,1]>

解析：本题考查平面向量数量积的性质及其运算，涉及根的判别式，属于中档题.

(1)条件可转化为片+&i_2方2=1，代入|初=2,|石|=1，即可得到。石；

(2)条件转化为t2+4tcos6+3=0,则有4=16cos2。-12>0,解出不等式即可.

16.答案：解：(l)f(x)=m-n=V3sin2x—1+2cos2%

=V3sin2x+cos2x

71

=2sin(2x+-).

最小正周期为7=§=兀.

"X6[0,勺，

・•・2万+混弓需],

因此当2X+»泄/⑶=2.

(2)图象平移后解析式为y=2sin(2(x+W)+》，

y=2sin(2x+2卬+?)为奇函数，

・•・2g+：=kn,(FCGZ),

7r

k五i广7

<p>0,

k=1时9最小值为工.

解析：本题考查了向量的数量积公式和三角函数的图象与性质，属于中档题，熟练运用三角函数的

降累公式和辅助角公式，是中档题.

（1）根据向量数量积的定义，将式子f（%）=沅•五用坐标展开得：/（%）=V3sin2x—1+2cos2%,利用

降幕公式和辅助角公式，化简合并为/（X）=2sin（2x+》最后利用函数y=Asm^x+9）的性质得

到函数的最小正周期和最大值；

⑵向左平移仪W＞。）个单位，得到了=25皿2（%+。）+柒的图象，所得函数为奇函数，利用函数的

性质得到方程2勿+擀=上兀，（k€Z）,,可得卬的最小值.

17.答案：解：（1）因为方=（1,遮）,

所以也|=^12+（V3）2=2，

因为向量日在向量石方向上的投影为2,

设向量瓦与3的夹角为仇

所以|方|cos6=2,

所以W-b=\a\\b\cosO=2x2=4,

v（a—2K）1五,

/.（a-26）-a=0,

・,•方2一2方•方=0，

・•・a2=8,则同=2V2,

则cos。=7^1=

又丁。€[（）,/],

•响量五与E的夹角为9；

（2）由向量模的计算公式同=付方得：憎日一同=J（2a-K）2=^4a2-4a-b+b2=

V32-16+4=2V5.

⑶•・1〃工

-c=Ad»

A3a-4d=A（ma4-b）,

•・・之坂不共线，

.C3=Am

'1-4=A'

解得m=

4

解析：本题考查向量的数量积，向量的夹角以及向量的模的求法，向量垂直与平行的判定，限量的

投影的求解，属于中档题.

(1)先求出同，再利用向量五在向量方方向上的投影为2,求出五不，由2石)得到同=2企,

再利用夹角公式求出两向量;与了的夹角；

(2)利用向量模的平方等于向量的平方可求得向量的模；

(3)由口〃Z则存在实数九使得［=2%成立，由此利用向量相等可得参数值.

18.答案：解：(1)设向量；与％的夹角为。，

•••Q•(b—Q)=Q•b—=2，

Tr

・•・Q•b=4,

所以cos。=ab_5/2

日向2

06[0,n]，

-，-0=7

(2)因为向量房_而之+1垂直,

所以(ta-b)■(a+b)=ta2—h2+(t—l)a-b—2t—16+4(t-1)=0>

从而t=g.

解析：本题考查了数量积定义和运算性质、向量垂直于数量积的关系，属于基础题.

(1)利用数量积定义和运算性质即可得出;

(2)由向量m—b与a+b垂直,得到(ta—b)•(a+b)=ta2—b2+(t—l)a-h=2t—16+4(t—

1)=0,解出即可.

19.答案:解：(1),・•a//by

—2—2x=0,**•x=-1；

(2)依题意方-2b=(2-2x,4).

vai(a-2h).a•(a-26)=0，

即4—4%+8=0,解得x=3,

:.b—(3,-1).

设向量万与石的夹角为巴

...cos0=吗=2X3+2X(-1)_\/5

•,|a|-|5|V22+22X732+(-1)25,

即百与1所成夹角的余弦值为立.

5

解析：本题考查了向量平行和垂直的充要条件，考查了向量夹角的求解以及向量的坐标的运算，属

于基础题.

(1)利用平行的充要条件得一2-2x=0,解出x即可；

(2)首先求出方-2石，再利用垂直充要条件求出x,进而得到石，利用向量夹角公式求出结果.

20.答案：解：(1)根据题意，设下=(x,y)

则方〃3a=(1,2),则有2x-y=0,即y=2x,①

又由|有=3遥，则有/+y2=45,②

解可得:

Ac=(3,6)^c=(-3,-6);

(2)又由@+2方)1(a-b),则有0+2石).G-石)=0，

变形可得片石—2片=0即|中2+五不一2向2=0,

又|引2=5,|方|2=2，则有五.石=—1，

设有与E的夹角为仇

则有，°50=晶=忌=一噂'

故日与石的夹角的余弦值为-叵.

10

解析：本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算以及向量平行的坐标表示，属于中档题.

(1)根据题意，设m=(x,y),由向量平行的坐标表示可得2x-y=0,即y=2无，由向量模的公式可

得/+丫2=45,解可得x、y的值，即可得答案；

(2)根据题意，由向量垂直的判断方法可得0+2B)•①一5=0,变形可得片+五不一2/=0即

|a|2+a-K-2|K|2=0.又由数量积计算公式，变形分析即可得答案.

21.答案：解：(1)设m=(x,y),「©=2小,

•••yjx2+y2=2-\/5.

即/+y2=20

由乙/五和国=2V5,

可得生"丁"=0

1U2+y2=20,

解瞰:袅仁二・

故不=(2,4)或2=(-2,-4)；

(2)IKI=y>(a+2fa)1(2a-b)«

(a+2b)(2a-b)=0.即2片+3日不一2片=0，

•••2x5+3a-6-2x-=0,

4

整理得小方=一|,

万h--

又。G[0,71],

・・・9=71.

解析：本题考查了平面向量的共线、垂直的概念与数量积应用问题，是中档题.

(1)设m=Q,y),根据题意列方程组求出下的坐标；

(2)根据五+29与2五一另垂直，列方程求出五•9的值，再计算才与3的夹角.

22.答案：解：(l)f(x)=|a-b=I[2sino)xcosa)x+V3(sintox+cosa)x)(sintox-coscox)]

=|(sin2eox-V5cos23%)=3sin(2o)x-》

因为函数"X)的周期T=/r,

27r

所以%=y=2,即3=1,

所以/(x)=3sin(2%-$,

因为xe[O,§,

所以[-py],

sin(2x-G[-y,1]>

二函数y=f(x)在[o,§上的最大值为3；

(2)由/Xx)=3sin(2x-g),且/(a)-/■(一a)=1.

可得3sin(2x0--3sin(-2x0-^)=1,

整理得sin2x0=p

因为a6[%J

所以2x°eg,初，

2

故cos2x0=—y/1—(sin2x0)=-手.

解析：本题考查了向量数量积的运算，三角恒等变换，三角函数最值，考查了分析和运算能力，属

于中档题.

(1)先代入向量数量积坐标运算公式，然后结合三角函数二倍角公式和两角差正弦公式可得/(%)=

3sin(23X-》进而根据函数人为的周期为兀即可求出3,再求f(x)在[0,外上的最大值即可；

(2)根据/(3一/(-x0)=1,代入/⑶解析式化简可得sin2x0=%再根据2x06生扪即可求出

cos23的值.

23.答案：解：(1)因为函数/'(%)=sintox—Vmcosa)x=Vm+lsin(a)x—9)(3>0)，

9为锐角，Rtancp=Vm.

而函数/(%)的最大值为2,且最小正周期为TT,

'+12_

所以《2开，解得产=以

.=7T(3=2

3

因此/(工)=sin2/—CO«2J2sin(±r—;.

又因为工所以21一11_：2：;,

«5<>•J

因此2siu(21—€[-/3.2],即/0)G[-73,2],

所以函数f(x)的最小值为-百，最大值为2.

(2)a=m=3,/(|)=2sin(B-；)=0,即sin(B-；)=0,

•••0<B<兀，.•.一I<B—,则B—?=0,B=

BD=BA+AD=B4+；4C=B4+：(8C-B4)=：(BA+BC),

：.2JD=BA+BC，

所以4|JD\2=(BA+BC)2=BA2+BC2+2BA-JC

2

=\BA\+\BC\2+2\BA\\^C\COS^ABC^

即37=c2+a2+2cacosg=c24-9+3c,B[Jc2+3c-28=0,

c>0,解得c=4.

解析：本题考查了函数y=4s讥(3久+0)的图象与性质，辅助角公式和向量的数量积，属于中档题.

(1)利用辅助角公式得/(%)=7m+lsin(a)x一(p)(o)>0),再利用函数y=Asin^x+9)的最值和

周期得劈二，从而得/⑺2siu(2.9,再求函数在x6[0,那最值即可；

(2)求出8,再由向量的线性运算得2前=函+沅，平方得关于c的方程，解方程即可.

24.答案：解-.■ci-b=b-c，.-.b-(a-c)=0,

Ab1(a—c),

同理可得210—F)，

：.b//d，同理可得五〃乙

四边形ABC。为平行四边形.

又b-L(0—c)>

:.b1a>

•••四边形ABC。为矩形.

解析：本题考查向量减法、数量积的运算，考查平行和垂直的判断，通过向量的运算判断对边平行，

邻边垂直，从而四边形48C。是矩形.

25.答案：解：设荏=上而五与B的夹角为仇

则同=3,同=1,0=p

所以方.方=|a||K|cos0=3xlx|=|,

又因为Z=a+b，DB=a-b'

所以|近产=日+加2=滔+228+。2=9+1+2x|=13，

\DB\2=\a-b\2=a2-2a-b+b2=9+l-2xl=7,

所以4c=旧，BD=巾.

解析：本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，属于中档题.

设通=房AD=b>为与方的夹角为仇根据条件可以得到而=征_京AC=a+b^然后由向量数

量积求解即可.

26.答案：解：（1）由乔=同，得丽-丽=市-丽,

所以加=3（市+而）=3涓+之而，

所以x=j-y=1；

（2）由前=2对，得丽-丽=2画-而）,

所以而=|瓦？+：而；

又|万？|=4，|而|=2，且次与丽的夹角为60。，

则9•AB=（|CM+|OB）-（OB-OA）

2―>21—>21―>―>

=--OA-{--OB+-O/1-OB

333

29191

=——X42+-X22+-X4X2XCOS60°

333

解析：本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题.

（1）由前=同得加一砺=65一而，用万5、而表示而即可；

（2）由邮=2可得而-丽=2（初一诃），用万5、南表示而，AB，再计算而•南的值.

27.答案：解：⑴因为点M是△ABC所在平面内一点，且满足旃=3荏+［正，

所以M、B、C三点共线.

如图：

A

N

0

B

令两=ABC，

则祠=~AB+BM

=AB+A'BC=AB+A(AC-AB^

—(1—A)AB+AAC>

]T=?

(―1_Z,解得a=2，

因此|瓦祈|=；|明，即BM=；BC.

若点A到直线BC的距离为力，

则¥^=强竺=器=：,即面积之比为1：4;

SAABC-BChBC4

(2)由(1)知：BM=^BC,

因此由前=刀丽+旷前得前=3瓦1+y丽.

又因为N为AB的中点，

所以由萌=刀丽+丫丽得初=%丽+卷瓦L

又因为AM与CN交于点O,

所以。、M、A三点共线和。、N、C三点共线，

x+-=1