《三维设计》高三数学 第3章 第8节 课时限时检测 新人教A版

第3章第8节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．如果在测量中，某渠道斜坡坡比为eq\f(3,4)，设α为坡角，那么cosα等于()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)答案：B2．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m解析：由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．答案：A3．(·江西高考)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝()A.eq\f(16,27) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(3,4)解析：设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝eq\f(1,3)AB＝eq\f(\r(2),3)，由余弦定理得CE＝CF＝eq\r(AE2＋AC2－2AC·AEcos45°)＝eq\f(\r(5),3)，所以cos∠ECF＝eq\f(CE2＋CF2－EF2,2CE·CF)＝eq\f(4,5)，所以tan∠ECF＝eq\f(sin∠ECF,cos∠ECF)＝eq\f(\r(1－\f(4,5)2),\f(4,5))＝eq\f(3,4).答案：D4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A5．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米 B．5米C．10米 D．12米解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝eq\r(3)h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10，或h＝－5(舍)．答案：C6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(海里/小时)．答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．在直径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m.解析：轴截面如图，则光源高度h＝eq\f(15,tan60°)＝5eq\r(3)(m)．答案：5eq\r(3)8．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)米，则旗杆的高度为________米．解析：设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝eq\f(h,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)h.在△ABC中，AB＝10eq\r(6)，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理得，eq\f(10\r(6),sin30°)＝eq\f(\f(2\r(3),3)h,sin45°)，故h＝30.答案：309．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．解析：如图，设BD＝xm，则142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴(x－16)(x＋6)＝0，∴x＝16或x＝－6(舍)．答案：16三、解答题(共3小题，满分35分)10．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解：如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20eq\r(7).由正弦定理得，eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)⇒sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).11．以40km/h向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3分钟后气球上升到1000米处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度．解：如图，船从A航行到C处，气球飘到D处．由题知，BD＝1000米，AC＝2千米，∵∠BCD＝30°，∴BC＝eq\r(3)千米，设AB＝x千米，∵∠BAC＝90°－30°＝60°，∴由余弦定理得22＋x2－2×2xcos60°＝(eq\r(3))2，∴x2－2x＋1＝0，∴x＝1.∴气球水平飘移速度为eq\f(1,\f(1,20))＝20km/h.12．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．解：因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∴∠OCP＝120°.在△POC中，由正弦定理得eq\f(OP,sin∠PCO)＝eq\f(CP,sinθ)，∴eq\f(2,sin120°)＝eq\f(CP,sinθ)，所以CP＝eq\f(4,\r(3))sinθ.又eq\f(OC,sin60°－θ)＝eq\f(2,sin120°)，∴OC＝eq\f(4,\r(3))sin(60°－θ)．因此△POC的面积为S(θ)＝eq\f(1,2)CP·OCsin120°＝eq\f(1,2)·eq\f(4,\r(3))sinθ·eq\f(4,\r(3))sin(60°－θ)×eq\f(\r(