2024成都中考数学复习逆袭卷 专题六　圆 (含详细解析)

2024成都中考数学复习逆袭卷专题六圆考点1圆周角定理及其推论针对考向1圆周角定理及其推论的有关计算(针对诊断小卷十一第1，8题、小卷十二第3题)1.(诊断小卷十一第1题变式练—结合内接三角形)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接CD，若CD＝AO，则∠ABC的度数为()A.30°B.45°C.60°D.90°第1题图2.(诊断小卷十二第3题变式练—变为圆心角的倍数关系)如图，△ABC中，∠ABC＝108°，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，若∠AOB＝3∠BOC，则∠BAC的度数为()A.12°B.15°C.18°D.20°第2题图3.(结合角平分线)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交⊙O于点D，连接CD，若∠BDC＝30°，⊙O的半径为3，则BD的长为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)C.2eq\r(3)D.3eq\r(3)第3题图4.(诊断小卷十一第8题变式练—变为求锐角三角函数)如图，AB，AC为⊙O的弦，BD为⊙O的直径，连接OC，若∠A＝60°，则cos∠DOC的值为________.第4题图5.(结合等腰三角形)如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，OC，若∠BOC＝68°，∠OCA＝20°，则∠ABO＝________°.第5题图6.(创新考法·阅读理解)如图①，若AD为△ABC的边BC边上的高，且AD＝BC，则称△ABC是等高底三角形，BC叫作等底．如图②，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，若△ABC是等高底三角形，BC为等底，S△ABC＝24，则⊙O的半径长为________.第6题图针对考向2圆内接四边形性质的相关计算(针对诊断小卷十一第4题、小卷十二第2题)7.(诊断小卷十一第4题变式练—变为求角度)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB，DC的延长线交于点E，连接OA，OC，若∠AOC＝100°，则∠CBE的度数是()A.50°B.80°C.100°D.130°第7题图8.(诊断小卷十二第2题变式练—变为求长度)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠C＝3∠A，连接BD，则BD的长为()第8题图A.4eq\r(3)B.4eq\r(2)C.6eq\r(2)D.3eq\r(3)9.(结合角平分线)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，点E在AB的延长线上，且BE＝AD，点F在上(不与点B，C重合)，连接CE，CF，BF，若∠E＝36°，则∠BFC的度数为________．第9题图针对考向3与圆性质有关的证明与计算(针对诊断小卷十二第10题)10.(诊断小卷十二第10题变式练—变图形)如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，交AB于点E，点F是⊙O上一点，连接DF，BF，CF，AD，DF交AB于点G，∠BFD＝60°.(1)求证：DF平分∠BFC；(2)若⊙O的半径为1，当DE＝EG时，求CF的长．第10题图11.(结合菱形判定)如图，四边形ABCD内接于⊙O，且＝，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接BD，∠C＝∠BED.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)若⊙O的半径为3，eq\f(AB,AD)＝eq\f(5,3)，求AD的长．第11题图12.(结合锐角三角函数)如图，AB是⊙O的直径，AC，BC与⊙O分别交于点D，E，且OD∥BC，连接BD，DE.(1)求证：DE＝DC；(2)若AC＝6，EC＝2，求sin∠ODB的值．第12题图考点2与垂径定理有关的计算(针对诊断小卷十一第2题、小卷十二第5题)1.(诊断小卷十一第2题变式练)如图，AB为⊙O的一条弦，点C是BA延长线上一点，连接OC，已知⊙O的半径为3，OC＝4，∠ACO＝30°，则弦AB的长为()A.4eq\r(5)B.2eq\r(5)C.4D.2第1题图2.(结论判断)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，连接OA，OB，OC，BC，BC与OA交于点D，BD＝CD，若BD＝eq\r(3)OD，则下列说法错误的是()第2题图A.OA⊥BCB.∠AOB＝∠AOCC.AD＝ODD.∠COD＝3∠C3.(诊断小卷十二第5题变式练—变为求锐角三角函数)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，AD，若OE＝1，CE＝2，则tan∠ADE的值为()A.eq\f(\r(5),2)＋1B.eq\f(\r(5),2)－1C.eq\f(\r(5)＋1,2)D.eq\f(\r(5)－1,2)第3题图4.(结合线段等量关系)如图，AB是⊙O的直径，C，D是AB异侧⊙O上的两点，连接CD交AB于点E，CD⊥AB.若CD＝BE，⊙O的半径为5，则△BCD的面积为()第4题图A.32B.35C.38D.405.(结合弧相等)如图，AB为⊙O的直径，＝，连接AC，AD，CD，CD交AB于点E，若∠ACD＝22.5°，AB＝4，则AE的长为________．第5题图6.(创新考法·数学文化)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，图①是筒车的实景图，图②是筒车抽象成的平面示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，若运行轨道的最低点C到弦AB的距离为1米，则⊙O的半径为________米．第6题图

考点3与切线性质有关的证明与计算针对考向1单切线性质有关的证明与计算(针对诊断小卷十一第3，10题、小卷十二第11题)1.(诊断小卷十一第3题变式练—结合垂直关系)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，OD⊥OB交⊙O于点D，连接AD，若∠B＝40°，则∠BAD的度数为()A.110°B.80°C.70°D.40°第1题图2.(结合锐角三角函数)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接OA交⊙O于点C，过点C作CD⊥AB于点D，连接BC，若∠ABC＝30°，则sin∠ACD的值为()第2题图A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)3.(结合勾股定理)如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝16，点O为AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点C，则⊙O的半径为________．第3题图4.(结合平行线)如图，AB为⊙O的直径，AC，CD为⊙O的两条弦，且AB与CD交于点E，连接OD，过点B作⊙O的切线与OD的延长线交于点F，且BF∥CD，若∠ACD＝67.5°，BF＝4，则CD的长为________．第4题图5.(诊断小卷十一第10题变式练)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，CD是⊙O的切线，过点B作BD⊥CD于点D，交⊙O于点E，连接AC，BC.(1)求证：点C是的；(2)若BD＝4，cos∠ABD＝eq\f(1,3)，求⊙O的半径．第5题图6.(诊断小卷十二第11题变式练—变为证线段位置关系)如图，AB是⊙O的直径，延长弦BC至点D，使CD＝BC，连接AD，过点C作⊙O的切线，交AD于点E.(1)求证：CE⊥AD；(2)若⊙O的半径为4，AE＝2，求BC的长．第6题图针对考向2双切线性质有关的证明与计算(针对诊断小卷十二第4题)7.(诊断小卷十二第4题变式练—变为求角度)如图，AB为⊙O的直径，AC，BD，CD分别与⊙O相切于A，B，E三点，连接OC，OD则∠COD的度数为()A.100°B.90°C.85°D.80°第7题图8.(结合切线的判定)如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB于点A，CD与⊙O相切于点D，若∠ACD＝60°，AC＝2eq\r(3)，则BD的长为()A.1B.eq\r(3)C.2D.2eq\r(3)第8题图9.(结合直角三角形)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以点O为圆心作⊙O与直角边BC，AC分别相切于D，E两点，连接OD，OE，若四边形OECD的面积为12，则⊙O的半径为________．第9题图10.(结合等边三角形)如图，等边△ABC外切于⊙O，连接OA,若AO＝6，则△ABC的边长为________．第10题图

考点4与切线判定有关的证明与计算(针对诊断小卷十一第11题)【典例学方法】例(结合全等三角形)如图，AB是⊙O的直径，四边形OBCD是平行四边形，DA与⊙O相切于点A，BC与⊙O相交于点E，连接DE.例题图(1)求证：DE是⊙O的切线；思维模型解题过程(2)若sin∠ODE＝eq\f(1,2)，CE＝2，求的长．【思路引导】要求的长，需要知道圆心角∠BOE的度数和半径的长度，根据sin∠ODE＝eq\f(1,2)，由特殊角的三角函数值，可得到∠ODE＝30°，根据平行四边形和等边三角形的性质，求得∠BOE的度数和半径OB的长即可求解．针对训练1.(诊断小卷十一第11题变式练—变图形)如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，连接CD，DE，DB＝DE，过点D作∠BDF＝∠BCD交CB的延长线于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若DF＝2eq\r(2)，tanF＝eq\f(\r(2),4)，求AC的长．第1题图2.(结合平行线的性质)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于点D，连接CD，BD与AC相交于点E.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AE＝4，CE＝6，求BC的长．第2题图3.(结合相似三角形)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边BC上一点，以OC为半径作⊙O与BC的另一个交点为E.连接AO，过点O作OD∥AC交AB于点D，且AD＝OD.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并证明；(2)若eq\f(OD,AC)＝eq\f(2,3)，BE＝1，求BD的长．第3题图

考点5与辅助圆有关的问题针对考向利用辅助圆求最值(针对诊断小卷十一第9题、小卷十二第9题)类型1定点定长作辅助圆典例学方法例(结合图形折叠)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，P是边AB的中点，Q是AD边上一动点，将△APQ沿PQ所在直线折叠，得到△A′PQ，连接A′C，A′D，则△A′CD面积的最小值为________．例题图思维模型解题过程针对训练1.(诊断小卷十一第9题变式练—变图形)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点P是以A为圆心，2为半径的圆上一动点，连接PC，若点D是PC的中点，连接BD，则BD的最小值为________．第1题图类型2定弦定角作辅助圆典例学方法例(结合等腰三角形)如图，在△ABC中，BC＝4eq\r(2)，∠BAC＝45°，点D是边BA上一点，连接CD，CD＝AD，则△BCD面积的最大值为________．例题图思维模型解题过程针对训练1.(诊断小卷十二第9题变式练—变图形)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，连接AE，CE，点F是射线AE上一点，连接BF，DF，若∠ABF＝∠DCE，AB＝2，则DF的最小值为________．第1题图类型3定角定高作辅助圆典例学方法例(结合矩形)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点P是AD的中点，点M，N是直线BC上的两个动点，连接PM，PN，∠MPN＝45°，则MN的最小值为________．例题图思维模型解题过程针对训练1.(结合等腰三角形)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是BC边上的高，若AD＝4，则△ABC面积的最小值为________.第1题图

类型4最大张角作辅助圆典例学方法例(结合平行四边形)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠BAD＝60°.点E是边CD上一点，连接AE，BE，当∠AEB的值最大时，sin∠AEB的值为________．例题图思维模型解题过程针对训练1.(结合直角)如图，已知∠MON＝90°，点A，B是射线ON上两点，OA＝2，AB＝6，点C是射线OM上一点，连接AC，BC，当∠ACB的值最大时，OC的长为________．第1题图

类型5四点共圆作辅助圆典例学方法例(结合中位线)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，BC＝2，点E，F分别是边BC，DC的中点，则EF的最大值为________．例题图思维模型解题过程针对训练1.(结合角平分线)如图，在四边形ABCD中，AC＝4eq\r(2)，AC平分∠BAD，若∠BAD与∠BCD互补，则四边形ABCD的面积的最大值为________．第1题图

类型6利用阿氏圆转化线段典例学方法例(结合等腰直角三角形)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点D是三角形内部一点，且BD＝2，连接AD，CD，则eq\f(1,2)AD＋CD的最小值为________．例题图思维模型解题过程针对训练1.(结合菱形折叠)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2eq\r(3)，点E是AB的中点，点F是AD上一动点，将△AEF沿EF折叠得到△A′EF，连接A′C，A′D，则A′C＋eq\f(\r(3),3)A′D的最小值为________．第1题图

拓展考向与圆有关的最值问题类型1点圆最值典例学方法例(结合等腰直角三角形)如图，AB是⊙O的弦，点P是优弧上的动点，且∠APB＝45°，以AB为斜边向AB右侧作等腰直角△ABC，连接CP.若AB＝2eq\r(2)，则CP的最大值为________．例题图思维模型解题过程针对训练1.(结合轴对称性质)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是对角线AC上一动点，点P是以点B为圆心，2为半径的圆上一点，连接EF，PF，则EF＋PF的最小值为________．第1题图类型2线圆最值典例学方法例(结合面积最值)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°，AB＝5eq\r(3)，点O是AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点D，点P是⊙O上一动点，连接PB，PC，若AD＝2eq\r(3)，则△PBC面积的最小值为________．例题图思维模型解题过程针对训练1.(结合线段最值)如图，在半径为4的⊙O中，BC是⊙O的弦，A是⊙O上一点，连接AB，AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，若∠BAC＝45°，则AD长的最大值为________．第1题图

考点6弧长、扇形面积的有关计算针对考向1与弧长有关的计算(针对诊断小卷十一第6题)1.(诊断小卷十一第6题变式练—结合弧的中点)如图，在半径为3的⊙O中，点C是的中点，AD是⊙O的直径，连接AC，BC，若∠A＝40°，则劣弧的长为()A.2πB.πC.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,3)第1题图2.(结合圆周角定理)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，B是的中点，若∠ADB＝30°，的长为eq\f(4\r(3)π,3)，则⊙O的半径为()第2题图A.eq\r(3)B.2C.2eq\r(3)D.3eq\r(3)3.若扇形的弧长为eq\f(4,3)π，圆心角为60°，则该扇形的半径为________．4.(结合图形的旋转)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1.将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB1C1，点B的对应点B1恰好落在BC边的中点处，B1C1交AC于点D，eq\o(CC1,\s\up8(︵))是点C到点C1所经过的路径，则图中阴影部分的周长为________．第4题图针对考向2与扇形面积有关的计算(针对诊断小卷十二第1题)5.(诊断小卷十二第1题变式练—结合圆周角定理)如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OC，若OA＝6，扇形AOC的面积为6π，则∠ABC的度数为()A.50°B.40°C.30°D.20°第5题图6.(结合等边三角形)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，OC，若∠A＝60°，S扇形EOC＝eq\f(2π,3)，则⊙O的半径为()第6题图A.eq\r(2)B.2C.4D.87.(结合菱形)如图，菱形ABCD对角线AC，BD的长分别为4，4eq\r(3)，以点B为圆心，BA长为半径画弧，则扇形ABC的面积为()第7题图A．πB.eq\f(4π,3)C.2πD.eq\f(8π,3)8.(结合弧长)若扇形的半径为4，面积为eq\f(16π,3)，则该扇形的弧长为________．针对考向3与圆锥有关的计算(针对诊断小卷十二第6题)9.(诊断小卷十二第6题变式练—结合圆柱)如图，以圆柱的上面为底面，下底面的圆心为顶点的圆锥的母线长为5，若圆柱的底面积为9π，则该圆锥的侧面积为________．第9题图10.(创新考法·跨学科)锥形漏斗是化学实验中常见的一种仪器，它的主要作用是在其内部放上滤纸以达到过滤的效果．如图，为一个锥形漏斗示意图，若其锥形部分的底面直径AB为12cm，侧面积为60πcm2，则该锥形漏斗的锥形部分的高PQ为________cm.第10题图

考点7阴影部分面积的计算针对考向1添加辅助线构造图形和差求阴影部分面积(针对诊断小卷十二第8题)1.(结合三等分点)如图，在扇形AOB中，OA＝2，∠AOB＝135°，以点O为圆心，1为半径作分别交OA，OB于点C，D，点E是的三等分点，且＜，则图中阴影部分的面积是()A.eq\f(5π,4)＋eq\f(\r(2),2)B.eq\f(5π,8)＋eq\f(\r(2),2)C.eq\f(5π,8)＋eq\r(2)D.eq\f(5π,4)＋eq\r(2)第1题图2.(结合平行四边形)如图，在▱ABCD中，AD＝1，∠A＝60°，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点E，交CD于点F，以点C为圆心，CD长为半径画弧恰好过点E.则图中阴影部分的面积为()第2题图A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)3.(诊断小卷十二第8题变式练—变图形)如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6，四边形CDEF是内接于⊙O的矩形，将⊙O沿CD，EF分别折叠，使点A，B恰好落在圆心O处，则图中阴影部分的面积为________．第3题图针对考向2等积转化求阴影部分面积(针对诊断小卷十一第5题)4.(诊断小卷十一第5题变式练—变图形)如图，半圆O的直径AB＝4，点C是半圆上一点，连接AC，BC，且AC＝BC，以点A为圆心，AB为半径作弧，交AC的延长线于点D，连接OC，则图中阴影部分的面积为()A.π－2B.π＋2C.2π－2D.4－π第4题图5.(结合半圆的三等分点)如图，点C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，点P是直径AB上任一点，若AB＝10，则图中阴影部分的面积为________．第5题图6.(结合菱形)如图，在扇形ADC中，已知菱形ABCD的顶点B在上，其两条对角线相交于点O，以点D为圆心，DO长为半径画弧，分别交DC，AD于点E，F，若BD＝2，则图中阴影部分的面积是________．第6题图拓展考向直接图形和差求阴影部分面积1.(结合实物)折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图是某公司生产的一种扇骨为竹木，扇面为韧纸的折扇，已知整个折扇完全展开(扇形AOB)的面积为300π，外侧两竹木OA，OB之间的夹角为120°，AC长为20cm，则折扇贴纸部分的面积为()A.100πB.800πC.eq\f(100,3)πD.eq\f(800,3)π第1题图2.(创新考法·数学文化)我国古代数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”．如图，已知⊙O内切于大正方形ABCD，直角三角形的两直角边AH和DH分别为6和2，则图中阴影部分的面积为()第2题图A.5πB.5π－8C.8－eq\f(5,2)πD.83.(结合直角三角形旋转)如图，在Rt△ABC中，BC＝1，AB＝eq\r(3)，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AFE，线段AE与交于点G，连接CG，则图中阴影部分的面积为________．第3题图考点8正多边形与圆(针对诊断小卷十一第7题、小卷十二第7题)1.(诊断小卷十一第7题变式练—变为求边数)如图，AB，AC分别为⊙O的内接正十二边形、正三角形的一边，BC是圆内接正n边形的一边，则n的值为()A.4B.5C.6D.7第1题图2.(结论判断)如图，正五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，点Q是⊙O上不与点A，B重合的一动点，连接AQ，BQ，下列说法正确的是()第2题图A.当点Q的位置变化时，∠BQA的度数不变B.当点Q在劣弧上时，∠BQA＝144°C.当点Q与点D重合时，BQ的长度最大D.△BQA面积的最大值为正五边形ABCDE面积的三分之一3.(结合阴影部分面积)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AC，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为()A.eq\f(4π,3)B.eq\f(4π,3)－eq\r(3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(2π,3)＋eq\r(3)第3题图4.(结合三角形面积)如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AF，BF，若⊙O的半径为2，则△ABF的面积为()A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.4第4题图5.(诊断小卷十二第7题变式练—变图形)如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点F，G分别是边AB，BC与⊙O的切点，H，M是⊙O上的两点(不与点F，G重合)，连接FH，MH，若M是的中点，则∠FHM的度数为________．第5题图6.(创新考法·填空双空)如图，点F为正六边形OABCDE上的动点，以点O为圆心，OF长为半径作圆．第6题图(1)若点F在OE上，⊙O与正六边形OABCDE的边OA交于点H，点G为劣弧的中点，连接GF，GH，且GH＝2eq\r(2)，则⊙O的半径为________；(2)若点F与点D重合，连接BD，此时⊙O的半径为4，则点O到BD的距离为________．

参考答案与解析考点1圆周角定理及其推论针对考向1圆周角定理及其推论的有关计算C【解析】如解图，连接OC，∵CD＝AO，AD是⊙O的直径，∴OA＝OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ABC＝∠ODC＝60°(同弧所对的圆周角相等).第1题解图2.C【解析】∵＝，∴∠AOB＝2∠ACB(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵＝，∴∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝3∠BOC，∴2∠ACB＝3×2∠BAC，∴∠ACB＝3∠BAC，在△ABC中，∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∴108°＋∠BAC＋3∠BAC＝180°，∴4∠BAC＝72°，∴∠BAC＝18°.(一题多解)如解图，在优弧上任意选取一点D(不与点A，C重合)，连接AD，CD，构造圆内接四边形ABCD，∵∠ABC＝108°，∴∠D＝180°－∠ABC＝180°－108°＝72°(圆内接四边形的对角互补)，∴∠AOC＝2∠D＝2×72°＝144°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵∠AOB＝3∠BOC，∴∠AOC＝4∠BOC，∴∠BOC＝eq\f(1,4)∠AOC＝eq\f(1,4)×144°＝36°，∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)×36°＝18°.第2题解图3.D【解析】如解图，连接AD，∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径(90°的圆周角所对的弦是直径)，∠ADB＝90°(同弧或等弧所对的圆周角相等)，∵∠BDC＝30°，∴∠BAC＝∠BDC＝30°(同弧或等弧所对的圆周角相等)，∴∠ABC＝90°－∠BAC＝60°(直角三角形两锐角互余)，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴在Rt△ABD中，cos∠ABD＝eq\f(BD,AB)，∴BD＝AB·cos∠ABD＝6cos30°＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).第3题解图4.eq\f(1,2)【解析】∵∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∴∠DOC＝180°－∠BOC＝180°－120°＝60°，∴cos∠DOC＝cos60°＝eq\f(1,2).5.14【解析】∵△ABC内接于⊙O，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝68°，∴∠OBC＝∠OCB＝eq\f(1,2)(180°－∠BOC)＝56°，∵∠OCA＝20°，∴∠ACB＝∠OCB＋∠OCA＝76°，∵∠BOC＝68°，∴∠A＝eq\f(1,2)∠BOC＝34°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，在△ABC中，∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－34°－76°＝70°，∴∠ABO＝∠ABC－∠OBC＝70°－56°＝14°.第5题解图(一题多解)如解图，连接AO，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝20°，∵∠BOC＝68°，∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝34°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∴∠OAB＝∠BAC－∠OAC＝34°－20°＝14°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝14°.6.4【解析】∵△ABC是等高底三角形，BC为等底，AD⊥BC，∴BC＝AD，∵S△ABC＝24，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)BC2＝24，解得BC＝4eq\r(3)(负值已舍去)，如解图，连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵OB＝OC，OE⊥BC，∴∠BOE＝eq\f(1,2)∠BOC＝60°，BE＝eq\f(1,2)BC＝2eq\r(3)，在Rt△OBE中，sin∠BOE＝eq\f(BE,OB)，∴OB＝eq\f(BE,sin60°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，即⊙O的半径长为4.第6题解图针对考向2圆内接四边形性质的相关计算7.A8.B【解析】如解图①，连接BO，DO，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°(圆内接四边形的对角互补)，∵∠C＝3∠A，∴∠A＝45°，∴∠BOD＝90°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∵⊙O的半径为4，∴在Rt△BOD中，BD＝eq\f(BO,cos45°)＝4eq\r(2).第8题解图①(一题多解)如解图②，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE，第8题解图②∵DE为⊙O的直径，∴∠DBE＝90°(直径所对的圆周角为90°)，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°(圆内接四边形的对角互补)，∵∠C＝3∠A，∴∠A＝45°，∴∠E＝∠A＝45°(同弧所对的圆周角相等)，∵⊙O的半径为4，∴DE＝8，在Rt△DBE中，sinE＝eq\f(BD,DE)，∴BD＝DE·sinE＝8×eq\f(\r(2),2)＝4eq\r(2).9.144°【解析】∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝(在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等)，∴BC＝CD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°(圆内接四边形的对角互补)，∵∠EBC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，∵AD＝EB，∴△ACD≌△ECB(SAS)，∴∠CAD＝∠E＝36°，∴∠BAC＝∠CAD＝36°，∴∠BFC＝180°－∠BAC＝180°－36°＝144°(圆内接四边形的对角互补).针对考向3与圆性质有关的证明与计算10.(1)证明：∵CD⊥AB，∴＝(垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧)，∠AED＝90°，∵∠BFD＝∠DAB＝60°(同弧或等弧所对的圆周角相等)，∴∠ADC＝30°，∵＝2，∴∠CFD＝2∠ADC＝60°，∴∠CFD＝∠BFD，∴DF平分∠BFC；(2)解：如解图①，连接OD，CG，第10题解图①由(1)得∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∵CD⊥AB，OA＝1，∴CE＝DE，AE＝OE＝eq\f(1,2)，∴AB是CD的垂直平分线，∴CG＝DG，∴∠DCG＝∠EDG，在Rt△ADE中，DE＝AE·tan∠EAD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∵DE＝EG，CD⊥AB，∴△DEG是等腰直角三角形，∴∠EDG＝45°，DG＝eq\r(2)DE＝eq\f(\r(6),2)，∴∠DCG＝∠EDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∠CGD＝90°，∴CG＝DG＝eq\f(\r(6),2)，∴在Rt△CFG中，sin60°＝eq\f(CG,CF)，∴CF＝eq\f(CG,sin60°)＝eq\f(\f(\r(6),2),\f(\r(3),2))＝eq\r(2).(一题多解)由已知条件计算出CD的长为eq\r(3)，当DE＝EG时，在Rt△DEG中，易得∠EDG＝45°，由(1)知∠CFD＝60°，则可将CF放在△CFD中通过作CH⊥DF于点H(如解图②)，直接构造含45°和含60°的直角三角形，解直角三角形即可(此时不需连接CG并证明CG⊥DF).第10题解图②11.(1)证明：∵DE∥BC，∴∠BED＋∠EBC＝180°，∵∠C＝∠BED，∴∠EBC＋∠C＝180°，∴CD∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°(圆内接四边形的对角互补)，∵∠AED＋∠BED＝180°，∴∠A＝∠AED，∴AD＝ED，∵＝，∴AD＝CD，∴CD＝ED，∴四边形BCDE为菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)；(2)解：如解图，过点D作DF⊥AB交AB于点F，则AF＝EF(等腰三角形三线合一)，连接CE交BD于点G，连接OD，第11题解图∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(5,3)，∴设AB＝5k，AD＝3k，∴AD＝ED＝BE＝3k，∴AE＝2k，AF＝EF＝k，∴BF＝4k，在Rt△ADF中，DF＝eq\r(AD2－AF2)＝2eq\r(2)k，∴在Rt△BDF中，BD＝eq\r(DF2＋BF2)＝2eq\r(6)k，∵四边形BCDE是菱形，∴EC垂直平分BD(菱形的对角线互相垂直且平分)，则点E，O，G，C四点共线，在Rt△CDG中，CD＝AD＝3k，GD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(6)k，∴CG＝eq\r(DC2－DG2)＝eq\r(3)k，∴OG＝OC－CG＝3－eq\r(3)k，在Rt△OGD中，OG2＋DG2＝OD2，即(3－eq\r(3)k)2＋(eq\r(6)k)2＝32，解得k＝eq\f(2\r(3),3)或k＝0(舍去)，∴AD＝3k＝2eq\r(3).12.(1)证明：如解图，连接AE，第12题解图∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∵OD∥BC，OA＝OB，∴AD＝DC，即点D为AC的中点，∴ED＝DC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)；(一题多解)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∵OD∥BC，OA＝OB，∴AD＝DC，∴BD是AC的垂直平分线，∴AB＝BC，∴△ABC为等腰三角形，∴BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴AD＝DE，∴DE＝DC；(2)解：∵OD∥BC，∴∠ODB＝∠DBC，由(1)知AD＝CD，∵AC＝6，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝3，∵∠A＋∠BED＝180°，∠DEC＋∠BED＝180°，∴∠A＝∠DEC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴eq\f(CD,CB)＝eq\f(CE,CA)，∴eq\f(3,CB)＝eq\f(2,6)，∴CB＝9，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°， ∴sin∠ODB＝sin∠DBC＝eq\f(DC,BC)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).考点2与垂径定理有关的计算1.B【解析】如解图，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，则AD＝BD(垂直于弦的直径平分弦)，∵OC＝4，∠ACO＝30°，∴OD＝eq\f(1,2)OC＝2(30°角所对的直角边等于斜边的一半)，∵⊙O的半径为3，∴AD＝eq\r(OA2－OD2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，∴AB＝2AD＝2eq\r(5).第1题解图2.D【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A∵OA是⊙O的半径，BD＝CD，∴OA⊥BC(平分弦(非直径)的直径垂直于弦)，不符合题意×B∵OA是⊙O的半径，BD＝CD，∴＝(平分弦(非直径)的直径平分弦所对的两条弧)，由同圆中相等的弧所对的圆心角相等可得∠AOB＝∠AOC，不符合题意×C∵OA⊥BC，∴∠BDO＝90°，由BD＝eq\r(3)OD，可设OD＝x(x>0)，则BD＝eq\r(3)x，在Rt△BOD中，由勾股定理得OB＝eq\r(（\r(3)x）2＋x2)＝2x，∴OA＝OB＝2x，∴AD＝OA－OD＝2x－x＝x，∴AD＝OD，不符合题意×D∵BD＝CD，BD＝eq\r(3)OD，∴CD＝eq\r(3)OD，在Rt△COD中，tanC＝eq\f(OD,CD)＝eq\f(OD,\r(3)OD)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠C＝30°，由直角三角形两锐角互余可得∠COD＝60°，∴∠COD＝2∠C≠3∠C，符合题意√3.C【解析】∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE＝CE＝2(垂直于弦的直径平分弦)，在Rt△OCE中，OC＝eq\r(OE2＋CE2)＝eq\r(5)，∴OA＝OC＝eq\r(5)，∴AE＝1＋eq\r(5)，∴tan∠ADE＝eq\f(AE,DE)＝eq\f(\r(5)＋1,2).4.A【解析】由CD⊥AB可知S△BCD＝eq\f(1,2)CD·BE，由CD＝BE，⊙O的半径为5可知，要求△BCD的面积，即结合垂径定理利用勾股定理列方程求解OE即可．如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝eq\f(1,2)CD(垂直于弦的直径平分弦)，∵⊙O的半径为5，则OB＝OC＝5，设OE＝x，则BE＝OB＋OE＝5＋x，∵CD＝BE，∴CE＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(5＋x,2)，在Rt△COE中，由勾股定理可得CE2＋OE2＝OC2，即(eq\f(5＋x,2))2＋x2＝52，解得x＝－5(舍去)或x＝3，∴CD＝BE＝5＋x＝8，∴S△BCD＝eq\f(1,2)CD·BE＝eq\f(1,2)×8×8＝32.第4题解图5.2－eq\r(2)【解析】如解图，连接OC，∵AB＝4，∴OC＝OA＝eq\f(1,2)AB＝2，∵＝，∴∠ADC＝∠ACD＝22.5°(同弧或等弧所对的圆周角相等)，∴∠AOC＝2∠ADC＝45°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵＝，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∴AB⊥CD，∴在Rt△OCE中，cos∠COE＝eq\f(OE,OC)，∴OE＝OC·cos45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，∴AE＝OA－OE＝2－eq\r(2).第5题解图5【解析】如解图，设⊙O的半径为R，连接OA，OC，OC交AB于点D，∵点C是的最低点，∴OC垂直平分AB，∴OD＝R－1，AD＝eq\f(1,2)AB＝3，在Rt△AOD中，R2＝(R－1)2＋32，解得R＝5，∴⊙O的半径为5米．第6题解图考点3与切线性质有关的证明与计算[逆袭必备]1.切线性质：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)圆心到切线的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于经过切点的半径；2.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；3.切线长定理：从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．针对考向1单切线性质有关的证明与计算1.C【解析】如解图，连接OA，∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°(圆的切线垂直于经过切点的半径).∵∠B＝40°，∴∠AOC＝50°，∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝140°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝eq\f(1,2)(180°－∠AOD)＝20°，∴∠BAD＝∠OAB－∠OAD＝90°－20°＝70°.第1题解图2.C【解析】如解图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90°(圆的切线垂直于经过切点的半径)，∴∠OBC＝∠OBA－∠ABC＝60°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝60°，∵CD⊥AB，∠OBA＝90°，∴CD∥OB，∴∠ACD＝∠BOC＝60°，∴sin∠ACD＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).第2题解图3.6【解析】如解图，连接OC，设OC＝x，则OA＝OC＝x，∵AB＝16，∴OB＝16－x，∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC(圆的切线垂直于经过切点的半径)，∵BC＝8，∴在Rt△OCB中，x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6，∴⊙O的半径为6.第3题解图4.4eq\r(2)【解析】如解图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，BF与⊙O相切于点B，∴AB⊥BF(圆的切线垂直于经过切点的半径)，∵BF∥CD，∴CD⊥AB，∴CE＝DE，＝(垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧)，∵∠ACD＝67.5°，∴∠A＝90°－∠ACD＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵＝，∴∠BOD＝∠BOC＝45°，∴△OBF是等腰直角三角形，∴OB＝BF＝4，∴OD＝OB＝4，在Rt△ODE中，sin∠DOE＝eq\f(DE,OD)，∴DE＝OD·sin∠DOE＝4×sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，∴CD＝2DE＝4eq\r(2).第4题解图5.(1)证明：如解图，连接AE，OC相交于点F，∵AB是⊙O的直径，第5题解图∴∠AEB＝90°，∵BD⊥CD，∴∠D＝90°，∴AE∥CD.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥AE.∵OC是⊙O的半径，∴点C是的中点(垂径定理)；(2)解：由(1)可知∠DCF＝∠D＝∠AED＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE，OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOF，∴cos∠ABD＝cos∠AOF＝eq\f(OF,OA)＝eq\f(1,3).设OF＝x，则OC＝OA＝3x，∴DE＝CF＝OC－OF＝2x，∵OA＝OB，OC∥BD，∴OF是△ABE的中位线，∴BE＝2OF＝2x，∴BD＝DE＋BE＝4x，∴4x＝4，解得x＝1，∴OC＝3，即⊙O的半径为3.6.(1)证明：如解图，连接OC，第6题解图∵OA＝OB，BC＝CD，∴OC是△ABD的中位线，∴OC∥AD.∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴CE⊥AD；(2)解：如解图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°.∵BC＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，∴AD＝AB＝8，∴DE＝AD－AE＝8－2＝6.由(1)得CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CED∽△ACD，∴eq\f(ED,CD)＝eq\f(CD,AD)，∴eq\f(6,CD)＝eq\f(CD,8)，解得CD＝4eq\r(3)(负值已舍去)，∴BC＝CD＝4eq\r(3).针对考向2双切线性质有关的证明与计算7.B【解析】如解图，连接OE，∵AB为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AC，BD，CD分别与⊙O相切于A，B，E三点，∴∠CAO＝∠DBO＝∠CEO＝∠DEO＝90°，∴OC平分∠ACE，OD平分∠BDE(切线长定理：从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角)，∠CAO＋∠DBO＝180°，∴AC∥BD，∴∠ACE＋∠BDE＝180°.∵OC平分∠ACE，OD平分∠BDE，∴∠OCE＝eq\f(1,2)∠ACE，∠ODE＝eq\f(1,2)∠BDE，∴∠OCE＋∠ODE＝eq\f(1,2)∠ACE＋eq\f(1,2)∠BDE＝eq\f(1,2)(∠ACE＋∠BDE)＝eq\f(1,2)×180°＝90°，在△COD中，∠COD＝180°－(∠OCE＋∠ODE)＝180°－90°＝90°.第7题解图8.C【解析】∵AB为⊙O的直径，AC⊥AB，∴AC是⊙O的切线，∠CAB＝90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴CA＝CD(切线长定理：从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等)，∵∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∴∠CAD＝60°，AD＝AC＝2eq\r(3)，∴∠DAB＝∠CAB－∠CAD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，tan∠DAB＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan30°＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝2.9.2eq\r(3)【解析】∵⊙O与直角边BC，AC分别相切于D，E两点，∴∠OEC＝∠ODC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，∵OE＝OD，∴四边形ODCE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，∵四边形OECD的面积为12，即OE2＝12，∴OE＝2eq\r(3)(负值已舍去)，即⊙O的半径为2eq\r(3).10.6eq\r(3)【解析】如解图，设AB与⊙O的切点为D，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∵等边△ABC的边AB，AC与⊙O相切，∴∠ADO＝90°，∠DAO＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°，∵在Rt△ADO中，OA＝6，cos∠DAO＝eq\f(AD,OA)，∴AD＝OA·cos30°＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，连接OB，∵等边△ABC的边AB，BC与⊙O相切，∴∠DBO＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∴△ABO为等腰三角形，∴BD＝AD＝3eq\r(3)，∴AB＝AD＋BD＝6eq\r(3)，∴等边△ABC的边长为6eq\r(3).第10题解图考点4与切线判定有关的证明与计算[逆袭必备]切线判定的两种形式有公共点，连半径，证垂直：若直线与圆的公共点已知，则先连接过这点到圆心的半径，再证明这条半径与直线垂直即可；无公共点，作垂线，证相等：若直线与圆的公共点位置未知，则先过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于圆的半径即可．例(1)①∠EOD；【解法提示】∵四边形OBCD是平行四边形，∴OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠EOD＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∴∠AOD＝∠EOD.②OA＝OE，OD＝OD；(2)解：∵在Rt△OED中，sin∠ODE＝eq\f(1,2)，∴∠ODE＝30°，∴∠AOD＝∠EOD＝60°，∴∠BOE＝180°－∠AOD－∠EOD＝60°，∴∠BOD＝120°，∵四边形OBCD是平行四边形，∴OD∥BC，OB＝CD，∠C＝∠BOD＝120°，∴∠CED＝∠ODE＝30°，∴∠CDE＝180°－∠DEC－∠C＝30°，∴∠DEC＝∠CDE，∴CD＝CE＝2，∴OB＝CD＝2，∴的长为eq\f(60π×2,180)＝eq\f(2,3)π.1.(1)证明：如解图，连接OD.∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC.第1题解图∵∠BDF＝∠BCD，∴∠ODC＝∠BDF.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即∠BDO＋∠ODC＝90°，∴∠BDO＋∠BDF＝90°，即∠ODF＝90°.∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；(2)解：∵DB＝DE，∴∠BCD＝∠DCE.∵∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°.又∵CD＝CD，∴△ADC≌△BDC(ASA)，∴AC＝BC.∵在Rt△ODF中，tanF＝eq\f(OD,DF)＝eq\f(\r(2),4)，∴OD＝DF·tanF＝2eq\r(2)×eq\f(\r(2),4)＝1，∴BC＝2OD＝2，∴AC＝BC＝2.2.(1)证明：如解图，连接OA，OC，延长AO交BC于点H，第2题解图∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAB≌△OAC(SSS)，∴∠OAB＝∠OAC，∴AH⊥BC.∵AD∥BC，∴AH⊥AD.∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；(2)解：由(1)知，AH⊥BC，∴HB＝HC，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE，∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(AD,CB)＝eq\f(4,6)，∴eq\f(AD,BH)＝eq\f(AD,\f(1,2)BC)＝eq\f(4,3).又∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠BHO，∴△AOD∽△HOB，∴eq\f(AD,HB)＝eq\f(AO,HO)＝eq\f(4,3)，∴设OA＝4k，则OH＝3k，OB＝4k，∴BH＝eq\r(OB2－OH2)＝eq\r(7)k.在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴BH2＋AH2＝AB2，∵AH＝OA＋OH＝7k，AB＝AC＝AE＋CE＝10，∴(eq\r(7)k)2＋(7k)2＝102，∴k＝eq\f(5\r(14),14)(负值已舍去)，∴BC＝2BH＝2eq\r(7)k＝5eq\r(2).3.解：(1)AB与⊙O相切．证明：如解图，过点O作OM⊥AB于点M，∵OD∥AC，第3题解图∴∠OAC＝∠AOD，∵AD＝OD，∴∠OAD＝∠AOD，∴∠OAC＝∠OAD，∵∠ACB＝90°，OM⊥AB于点M，∴OC＝OM，∵OC为⊙O的半径，∴OM为⊙O的半径，∴AB与⊙O相切；(2)∵OD∥AC，∴△ODB∽△CAB，∴eq\f(OD,CA)＝eq\f(BO,BC)，即eq\f(BE＋OE,BE＋CE)＝eq\f(2,3)，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，∴eq\f(1＋r,1＋2r)＝eq\f(2,3)，解得r＝1，∴BO＝BE＋OE＝2，OM＝r＝1，在Rt△OMB中，eq\f(OM,OB)＝eq\f(1,2)，∴∠B＝30°，∵OD∥AC，∴∠DOB＝∠ACB＝90°，在Rt△DOB中，cosB＝eq\f(OB,BD)＝eq\f(\r(3),2)，即eq\f(2,BD)＝eq\f(\r(3),2)，∴BD＝eq\f(4\r(3),3).考点5与辅助圆有关的问题针对考向利用辅助圆求最值类型1定点定长作辅助圆例①2；②6.例题解图【解法提示】如解图，∵AB＝6，点P是AB的中点，∴PA＝PB＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵PE⊥CD，∴∠PEC＝90°，∴四边形PBCE是矩形，∴PE＝BC＝5，∴EF＝PE－PF＝5－3＝2，∴△A′CD面积的最小值为eq\f(1,2)CD·EF＝eq\f(1,2)×6×2＝6.1.4【解析】第一步：确定动点D的运动轨迹：如解图，取AC的中点O，连接OD，∵点D为PC的中点，∴OD为△APC的中位线，∴OD＝eq\f(1,2)AP＝1，∴点D在以点O为圆心，1为半径的圆上运动，作⊙O.第二步：确定最值的依据，分析线段取得最小值时的位置，并画出图形：连接BO，则BD≥BO－OD，∴当B，O，D三点共线，且点D位于点B，O之间时，BD取得最小值，为BO－OD(点圆最值).第三步：结合已知条件及图形性质进行计算：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10，∵点O为AC的中点，∴BO＝eq\f(1,2)AC＝5，∴BD最小＝BO－OD＝5－1＝4.第1题解图类型2定弦定角作辅助圆例①2eq\r(2)；②8.例题解图【解法提示】∵CD＝AD，∠BAC＝45°，∴∠DCA＝45°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，如解图，设O为BC的中点，以点O为圆心，BC长为直径作⊙O，过点D作BC的垂线交BC于点E，连接OD，当△BCD的高DE＝DO时，△BCD的面积最大(线圆最值).∵BC＝4eq\r(2)，∴DE＝DO＝eq\f(1,2)BC＝2eq\r(2)，∴S△BCD的最大值＝eq\f(1,2)BC·DE＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2eq\r(2)＝8.1.eq\r(5)－1【解析】∵点E是正方形ABCD对角线BD上一动点，∴∠BAD＝90°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴∠DAE＝∠DCE，又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE＋∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°，∴∠AFB＝90°，∵AB为定值，∴点F在以AB为直径的圆弧(即AB右侧的)上运动．如解图，设AB的中点为O，以点O为圆心，AB长为直径作⊙O，连接OD，当点F在OD与⊙O的交点处时，DF最小(点圆最值).∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，∴AD＝AB＝2，∴OA＝OF＝1，∴OD＝eq\r(OA2＋AD2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴DF＝OD－OF＝eq\r(5)－1，即DF的最小值为eq\r(5)－1.第1题解图类型3定角定高作辅助圆例①eq\f(\r(2),2)；②eq\r(2)；③eq\f(\r(2),2)；④6－3eq\r(2)；⑤6eq\r(2)－6.1.eq\f(16\r(3),3)【解析】∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×BC×4＝2BC，∴要求S△ABC的最小值，即求BC的最小值，如解图，作△ABC的外接圆，圆心为点O，设半径为R，连接AO，BO，CO，过点O作BC的垂线交BC于点E，∴AO＝BO＝CO＝R，BE＝CE(垂径定理)，∴△BOC为等腰三角形，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OE⊥BC，∴∠BOE＝eq\f(1,2)∠BOC＝60°(等腰三角形三线合一)，在Rt△BOE中，BE＝OB·sin∠BOE＝eq\f(\r(3),2)R，OE＝OB·cos∠BOE＝eq\f(1,2)R，∴BC＝2BE＝eq\r(3)R，要求BC的最小值，即求R的最小值，∵AO＋OE≥AD，即R＋eq\f(1,2)R≥4，解得R≥eq\f(8,3)，则R的最小值为eq\f(8,3)，BC的最小值为eq\r(3)R＝eq\r(3)×eq\f(8,3)＝eq\f(8\r(3),3)，∴S△ABC的最小值为2BC＝eq\f(16\r(3),3).第1题解图类型4最大张角作辅助圆例①eq\f(1,2)；②eq\f(1,2)；③4；④eq\f(1,2)；⑤3eq\r(3)；⑥3eq\r(3)－R；⑦eq\f(43\r(3),18)；⑧eq\f(24\r(3),43)；⑨eq\f(24\r(3),43).1.4【解析】如解图，作△ABC的外接圆⊙P.当点C为⊙P与OM相切的切点时，∠ACB的值最大，过点P作AB的垂线交AB于点D，连接PC，PA，∵PD⊥AB，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝3(垂直于弦的直径平分弦)，∵OM为⊙P的切线，∴∠OCP＝90°，又∵∠MON＝90°，∴四边形OCPD为矩形，∴OC＝DP，CP＝OD＝OA＋AD＝2＋3＝5，∵CP＝AP＝5，在Rt△ADP中，DP＝eq\r(AP2－AD2)＝eq\r(52－32)＝4，∴OC＝DP＝4.第1题解图类型5四点共圆作辅助圆例①eq\f(1,2)；②eq\r(5)；③eq\r(5)；④eq\r(5)；⑤eq\f(\r(5),2).1.16【解析】如解图，∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴A,B，C，D四点共圆，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′DC，使得CB与CD重合，∴∠ADC＋∠B＝∠ADC＋∠A′DC＝180°，即A，D，A′三点共线，∴S四边形ABCD＝S△ACA′.∵A′C＝AC＝4eq\r(2)，∴当AC⊥A′C时，△ACA′的面积最大，∴四边形ABCD面积的最大值为eq\f(1,2)×4eq\r(2)×4eq\r(2)＝16.第1题解图类型6利用阿氏圆转化线段例①eq\f(1,2)；②eq\r(17)；③eq\r(17).【解法提示】∵eq\f(BD,AB)＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(1,2)，∠DBE＝∠ABD(公共角)，∴△DBE∽△ABD，∴eq\f(DE,AD)＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(1,2)，∴DE＝eq\f(1,2)AD；如解图，在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝1，∴CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(17)，∴DE＋CD的最小值为eq\r(17)，即eq\f(1,2)AD＋CD的最小值为eq\r(17).例题解图1.4【解析】如解图，连接DB，DE，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2eq\r(3)，∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，∴DE＝AE·tan∠BAD＝eq\r(3)×eq\r(3)＝3，∵△A′EF由△AEF沿EF折叠得到，∴A′E＝AE＝eq\r(3)，在线段DE上取一点G，使EG＝eq\f(\r(3),3)A′E＝1，连接A′G，∵A′E＝eq\f(\r(3),3)DE，∠A′EG＝∠DEA′，∴△A′EG∽△DEA′，∴A′G＝eq\f(\r(3),3)A′D，∴A′C＋eq\f(\r(3),3)A′D＝A′C＋A′G，要求A′C＋eq\f(\r(3),3)A′D的最小值，即求A′C＋A′G的最小值，连接CG，在△A′CG中，A′C＋A′G≥CG，∴当C，A′，G三点共线时，A′C＋A′G的值最小，最小值为CG的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠CDG＝∠AED＝90°，∵DE＝3，EG＝1，∴DG＝3－1＝2，在Rt△CDG中，CG＝eq\r(DG2＋CD2)＝eq\r(22＋（2\r(3)）2)＝4，∴A′C＋A′G的最小值为4，即A′C＋eq\f(\r(3),3)A′D的最小值为4.第1题解图拓展考向与圆有关的最值问题类型1点圆最值[逆袭必备]已知平面内一定点D和⊙O上一动点E，设点O与点D之间的距离为d，⊙O半径为r.位置关系点D在⊙O内点D在⊙O上点D在⊙O外图示DE的最大值d＋r2d(或2r)d＋r此时点E的位置连接DO并延长交⊙O于点EDE的最小值r－d0d－r此时点E的位置连接OD并延长交⊙O于点E点E与点D重合连接OD交⊙O于点E例①2；②90；③eq\f(1,2)；④eq\r(2)；⑤2eq\r(2)；⑥2；⑦2；⑧2＋2eq\r(2)；⑨2＋2eq\r(2).1.3eq\r(5)－2【解析】第一步：理清动点与定点，确定最值依据：点F是AC上的动点，要求EF＋PF的最小值，考虑利用轴对称转化线段：如解图，作点E关于AC的对称点E′，∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，点E为BC的中点，∴点E′为DC的中点，连接E′F，E′P，则EF＝E′F，∴EF＋PF＝E′F＋PF≥E′P，∴当E′，F，P三点共线时，EF＋PF＝E′P，此时EF＋PF最小，∴要求EF＋PF的最小值，即求E′P的最小值．第二步：点E′为定点，点P的运动轨迹是圆，考虑点圆最值，确定最值位置：连接E′B，∵点P在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，∴E′P≥E′B－BP，当E′，B，P三点共线时，E′P取得最小值，最小值为E′B－BP.第三步：结合已知条件及图形性质进行计算：∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，E′C＝eq\f(1,2)×6＝3，BC＝6，∴E′B＝eq\r(BC2＋E′C2)＝3eq\r(5)，∴E′P最小＝E′B－BP＝3eq\r(5)－2，即EF＋PF的最小值为3eq\r(5)－2.第1题解图类型2线圆最值[逆袭必备]已知⊙O及直线l，⊙O的半径为r，圆心O到直线l之间的距离为d，点Q为⊙O上一点．位置关系直线与⊙O相离直线与⊙O相切直线与⊙O相交图示点Q到直线l距离的最大值d＋r2d(或2r)d＋r此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，其反向延长线与⊙O的交点，即为点Q点Q到直线l距离的最小值d－r00此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，与⊙O的交点即为点Ql与⊙O的交点即为点Q的位置例①4eq\r(3)；②2；③4eq\r(3)－2；④10eq\r(3)－5.【解法提示】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°，AB＝5eq\r(3)，∴AC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(5\r(3),\f(\r(3),2))＝10，BC＝AC·sin30°＝10×eq\f(1,2)＝5，如解图，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵AD＝2eq\r(3)，∠A＝30°，∴AE＝eq\f(AD,cos30°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，例题解图∴OA＝eq\f(1,2)AE＝2，∴OC＝AC－OA＝10－2＝8，∵∠ABC＝∠OMC＝90°，∴AB∥OM，∴∠MOC＝∠A＝30°，∴OM＝OC·cos30°＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3)，∵OP＝OA＝2，∴点P到BC距离的最小值为OM－OP＝4eq\r(3)－2，∴△PBC面积的最小值为eq\f(1,2)×5×(4eq\r(3)－2)＝10eq\r(3)－5.4＋2eq\r(2)【解析】如解图，连接AO，过点O作OD′⊥BC交BC于点D′，延长D′O交⊙O于点A′.∵A′D′＝A′O＋OD′＝AO＋OD′≥AD，∴AD的最大值为A′D′的长，连接OB，OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵OD′⊥BC，∴∠BOD′＝45°，∵OB＝4，∴OD′＝2eq\r(2)，∴A′D′＝4＋2eq\r(2)，∴AD长的最大值为4＋2eq\r(2).第1题解图考点6弧长、扇形面积的有关计算[逆袭必备]1.弧长公式：l＝eq\f(nπr,180)；2.扇形面积公式：S扇形＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(1,2)lr；针对考向1与弧长有关的计算1.D【解析】如解图，连接OB，OC，∵∠A＝40°，∴∠COD＝2∠A＝80°(一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半)，∴∠AOC＝180°－∠COD＝100°，∵点C是的中点，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠BOD＝∠BOC－∠COD＝20°，∴由弧长公式：eq\f(nπr,180)可得，劣弧的长为eq\f(20π×3,180)＝eq\f(π,3).第1题解图2.C【解析】如解图，连接OA，OB，OC，∵∠ADB＝30°，∴∠AOB＝2∠ADB＝60°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵B是的中点，∴∠AOC＝2∠AOB＝120°，∵的长为eq\f(4\r(3)π,3)，∴由弧长公式可得的长为eq\f(120π·OA,180)＝eq\f(4\r(3)π,3)，解得OA＝2eq\r(3)，即⊙O的半径为2eq\r(3).第2题解图3.4【解析】设扇形的半径为r，由题意和弧长公式得eq\f(60πr,180)＝eq\f(4,3)π，解得r＝4，∴该扇形的半径为4.4.eq\f(\r(3)π,3)＋3【解析】∵在Rt△ABC中，点B1是BC的中点，∴AB1＝BB1＝CB1(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，由旋转的性质可得AB1＝AB，∴AB1＝BB1＝CB1＝AB＝1，∴△ABB1是等边三角形(三条边相等的三角形是等边三角形)，BC＝BB1＋CB1＝2，∴∠B＝∠BAB1＝60°(等边三角形的三个内角均为60°)，∴∠DAC1＝∠BAB1＝60°(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角都相等)，在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，由勾股定理得AC＝eq\r(3)，∴eq\o(CC1,\s\up8(︵))l＝eq\f(60π×\r