杭州2023年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（x）=sin（s+*）3>0J°|wg,、=一（为/⑴的零点'x=（为y=图象的对称轴'且

在区间（?,（）上单调，则0的最大值是（)

A.12B.11C.1()D.9

ia

1-tan—

3万

2.已知sina-2cos。=1,ae(^,——),则-----2=()

2ia

1+tan—

2

1

A.---B.—2C.-D.2

22

3.以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样

的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量x与丫的随机

变量二的观测值左来说，A•越小，判断“x与丫有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

4.已知数列｛4｝是公差为"（dwO）的等差数列，且4，生，&成等比数列，则3=（）

a

A.4B.3C.2D.1

2

5.函数=的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（）

A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)

6.设等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若％=2,4+4=5,则$6=（）

A.10B.9C.8D.7

7.单位正方体A5CD-4与G2,黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段白蚂蚁爬

地的路线是黑蚂蚁爬行的路线是48T它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段

所在直线必须是异面直线（ieM）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂

蚁的距离是（）

A.1B.V2C.V3D.

8.执行如图所示的程序框图，输出的结果为()

15

D.—

16

9.自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各

级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格

检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都

要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有()

A.12种B.24种C.36种D.72种

logiX,0<A；,1,

10.若函数/(x)={2函数g(x)=/(x)+丘只有1个零点，则攵的取值范围是()

—x(x-l)(x-3),x>1,

A.(-1,0)B.(-00,0)51,+°°)C.(-<»,-I)U(0,+00)D.(0,1)

11.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点「(-3,4),贝！|sin2a=().

1224168

A.----B.----C.—D.-

252555

12.设机，〃是两条不同的直线,a,£是两个不同的平面，下列命题中正确的是()

A.若加//a,根/〃?,则B.若加_L〃，则〃_La

C.若加_La,〃〃/〃，则D.若则〃?//£

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点尸(1,2),则cosOr-a)的值是.

14.已知尸为抛物线Gx2=&,的焦点，p为C上一点，M(-4,3),则A/WF周长的最小值是.

15.高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3,…，56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学

号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为.

16.已知两圆相交于两点A(a,3),3(—1,1),若两圆圆心都在直线x+y+8=0上，则a+b的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知动圆M恒过点(0,；］,且与直线旷=-；相切.

(1)求圆心M的轨迹E的方程；

(2)设P是轨迹E上横坐标为2的点，OP的平行线/交轨迹E于A，B两点,交轨迹E在P处的切线于点T,问:

是否存在实常数/I使|PT|2=/l|L4H78|,若存在，求出X的值；若不存在，说明理由.

18.(12分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

17

pcos0=tn,曲线孰的极坐标方程为人次.

(1)求曲线G的直角坐标方程和曲线G的参数方程;

(2)设曲线G与曲线在第二象限的交点为A，曲线G与*轴的交点为“，点用(1,0),求的周长/的最

大值.

19.(12分)尸是圆f+y2=4上的动点，尸点在X轴上的射影是O,点M满足=户.

(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)过点N(3,0)的直线/与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以。A,08为邻边的平行四边形O4E5的顶

点E的轨迹方程.

x=acos(p

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为《,.Ca>b>0,。为参数)，在以。为极点,

y=Osin。

x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线G上的点M1，彳对应的

参数8=7,射线6=2与曲线交于点71

（I）求曲线G，的直角坐标方程

（2）若点A,3为曲线G上的两个点且Q4_LQB,求77、+£厂的值.

\OA［|OBI-

21.（12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取10（）件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如

图1）：规定产品的质量指标值在［65,85）的为劣质品，在［85,105）的为优等品，在［105,115］的为特优品，销售时劣

质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这1（）0件产品的质量指标值位于各区间的频率代

替产品的质量指标值位于该区间的概率.

率

哽

纲

«­

C

-)4k)

.O。5(

)2

。0e140

120

(w

1100

Q/O

I80

tf60

Cf/i4()

20

0.005

0>~~>—■_■>~>—■-I-

()102030405060

06575K595105115质M指标值

年膏制I费用万元)

图1图2

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用X（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对该企业近5年

的年营销费用X,和年销售量K，G=1,2,3,4,5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.

5

E匕之(％-好

;=1/=1/=!/=1

16.3523.40.541.62

］5_］5

表中/=lnXj,v,.=Inx,元=£工%,"=匕.

5/=i5/=i

根据散点图判断，y="可以作为年销售量（万件）关于年营销费用》（万元）的回归方程.

①求y关于x的回归方程;

②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售

利润一营销费用，取e3-59=36）

附：对于一组数据（％,巧），（/，%），…，（"”匕），其回归直线。=2+的斜率和截距的最小二乘估计分别为

八（匕-工）

/=归-5---------------------,a=v-0u.

i=l

丫2

22.（10分）已知斗鸟为椭圆E：W2+4v=l（a>6>°）的左、右焦点，离心率为务1，点P（2,3）在椭圆上.

（1）求椭圆E的方程；

1,1

（2）过月的直线4,4分别交椭圆于A、c和ED,且4^/2,问是否存在常数X,使得百，九而成等差数列？

若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由题意可得。•（-巧+9=跣，且。1+9=故有。=2火-幻+1①，再根据:二求得以，12②,

4422G34

由①②可得。的最大值，检验"的这个值满足条件.

【详解】

解：函数f（x）=sin（0x+e）（0>O,\<p\„,

x=一£为/（x）的零点，x=三为y=/（x）图象的对称轴，

44

二.69•（）+9=左4，且69*卜甲=k'兀-,k、A'£Z,「.3=2（〃一攵）+1,即0为奇数①.

442

・・•/（X）在G，9单调，.•，二彳，.”,12②.

432G34

由①②可得①的最大值为1.

TT___TTTT

当©=11时，由*=一为y=/（x）图象的对称轴，可得1以7+。=&乃+彳，kwZ,

442

故有e=-f,&T）+<P=k兀,满足％=-£为/（X）的零点，

7T7T

同时也满足满足/（X）在上单调,

4'3

故<y=ll为①的最大值，

故选:B.

【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题.

2.B

【解析】

结合si/a+cos2a=1求得sina,cosa的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.

【详解】

[sintz-2cos«=13734

由4.22,，以及ae（4,二），解得sin。=一二,cos。=一一.

sm-a+cosa=1255

ica.a

l-2cos—sin

22

1+tan

2

l-sincz

cosa4

5

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.

3.C

【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③.

【详解】

①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接

近于0;故②为真命题；

③对分类变量x与y的随机变量K2的观测值攵来说，女越小，“x与y有关系”的把握程度越小，故③为假命题.

故选：c.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题.

4.A

【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.

【详解】

由4，%，4成等比数列得而=。-4,即（q+2d）2=4（q+5d）,已知dwO,解得号=4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.

5.C

【解析】

2

显然函数/（%）=2、——a在区间（1,2）内连续，由/（X）的一个零点在区间（1,2）内，则/⑴"2）＜（）,即可求解.

【详解】

2

由题，显然函数〃尤）=2,―1-〃在区间（1,2）内连续，因为〃x）的一个零点在区间（1,2）内，所以“1）/（2）＜0,即

（2-2-a）（4-l-a）＜0,解得0＜"3,

故选:C

【点睛】

本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.

6.B

【解析】

根据题意外=4+2"=2,q+%=2q+3d=5,解得《=4,d=-l,得到答案.

【详解】

%=q+2d=2,q+为=2q+3d=5,解得q=4,d=—\,故§6=6q+15d=9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.

7.B

【解析】

根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段

后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离.

【详解】

由题意，白蚂蚁爬行路线为AAITAIQI—OIGTGCTCBTBA,

即过1段后又回到起点，

可以看作以1为周期，

由2020+6=336…4,

白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；

同理，黑蚂蚁爬行路线为

黑蚂蚁爬完2020段后回到点，

所以它们此时的距离为J5.

故选B.

【点睛】

本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.

8.D

【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.

【详解】

执行该程序可得s=0+*盘

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图.解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然

后求解.

9.C

【解析】

先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有C；种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种

方法，由分步原理可知共有用种.

【详解】

不同分配方法总数为C：A；=36种.

故选：C

【点睛】

此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.

10.C

【解析】

转化g(x)=/(x)+依有1个零点为丁=/(/与^=一丘的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形

结合即得解.

【详解】

g(x)=/(%)+kx有1个零点

等价于y=/(幻与y=-乙的图象有1个交点.

J'

记〃(x)=-x(x-l)(x-3)(%>1),则过原点作力(x)的切线,

设切点为(％,%),

则切线方程为y-〃(%)=%),

又切线过原点，即〃(无0)=/7'(%0)%，

将h(x0)=-Xo(xo-l)(x0-3),,

/?'(%)——3莅+8XQ—3

代入解得%=2.

所以切线斜率为〃'(2)=-3x22+8x2-3=1,

所以左＜—1或左＞0.

故选：C

【点睛】

本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

11.B

【解析】

根据角终边上的点坐标，求得sina,cosa,代入二倍角公式即可求得sin2a的值.

【详解】

43

因为终边上有一点P(-3,4),所以sina=g,cosa=-,

4

/.sin2a=2sincosa=2x—x

5

故选：B

【点睛】

此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.

12.C

【解析】

在A中，a与夕相交或平行；在B中，〃//a或〃ua；在C中，由线面垂直的判定定理得〃_La；在D中，加与

方平行或加＜=万.

【详解】

设〃，7是两条不同的直线，/，是两个不同的平面，贝U：

在A中，若mila,mlip,则e与£相交或平行，故A错误：

在B中，若〃mln,则〃//a或〃ua,故B错误；

在C中，若〃?_La,m//n,则由线面垂直的判定定理得〃_La,故C正确；

在D中，若a工。,mla,则心与£平行或加匚耳，故D错误.

故选C.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.班

5

【解析】

试题分析：由三角函数定义知cosa=0=9,又由诱导公式知cos（乃-a）=-cosa=-*,所以答案应填：

----•

5

考点：1、三角函数定义；2、诱导公式.

14.5+V17

【解析】

△PMF的周长最小，即求|9|+|小|最小，过P做抛物线准线的垂线，垂足为。，转化为求IPMI+IPQI最小,

数形结合即可求解.

【详解】

如图，尸为抛物线c：7=8y的焦点，尸为C上一点，MC-4,3),

抛物线C：d=8了的焦点为尸(0,2),准线方程为y=-2.

过P作准线的垂线，垂足为Q,则有IPERPQI

\PM\+\PFHPM\+\PQ\>\MQ\=5,

当且仅当M,P,Q三点共线时，等号成立，

所以△PMF的周长最小值为5+/母+(3-2)2=”后.

故答案为：5+V17.

本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.

15.20

【解析】

根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组，每组14人，则1至14号为第一组，15至28号为第二组，29号至42

号为第三组，43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号，所以还有一个同学应该是15+6-1=20

号，故答案为20.

16.-1

【解析】

根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得A8与直线x+y+0=0垂直，且AB的中点在这条直线

x+y+b=O±.,列出方程解得即可得到结论.

【详解】

由A(a,3),3(—1,1),设AB的中点为

根据题意，可得巴1+2+b=0,且心8=2土=1,

217+1

解得，a=\,b=—2,故a+/?=—l.

故答案为：一1.

【点睛】

本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)x2=2y；(2)存在，

2

【解析】

(1)根据抛物线的定义，容易知其轨迹为抛物线；结合已知点的坐标，即可求得方程；

(2)由抛物线方程求得点P的坐标，设出直线/的方程，利用导数求得点T的坐标，联立直线/的方程和抛物线方程,

结合韦达定理，求得|啊,|用，进而求得|P7f与|刑|词之间的大小关系，即可求得参数/L

【详解】

(1)由题意得，点M与点(0,；]的距离始终等于点M到直线y=-g的距离，

由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点为焦点，直线y=-g为准线的抛物线，

则K=1,“=1..•.圆心M的轨迹方程为r=2y.

22'

(2)因为P是轨迹E上横坐标为2的点，

由(1)不妨取P(2,2),所以直线。尸的斜率为1.

因为〃/OP,所以设直线/的方程为y=x+，〃，根。0.

由y=得、=x,则£在点尸处的切线斜率为2,

所以E在点P处的切线方程为y=2x—2.

y=x+m[x=m+2,

由「cc9得cr所以丁(加+2,2加+2),

y=2x-2,[y=2m4-2,

所以IP?T=[(m+2)—+[(2加+2)—2『=5加2.

y=x+m,

由「2c消去y得％2-2x-2m=(),

x=2y

由A=4+8帆＞0,得相＞—且加。0.

2

设A(X],y)，8(孙必)，

贝!j%+%=2,XjX2=-2m.

因为点7,A,3在直线/上，

所以|以|=夜|%—(〃2+2)|,|7BhV2|x2-(m+2)|,

所以|L4H7B|=2,一(加+2)|卜一(加+2)|

=21-2m-2(m+2)+(m+2)21=2m2,

所以IPT|2=：1771Hm.

2

."5

••A——

2

故存在％=使得IPTFM©%”7sl.

2

【点睛】

本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中定值问题的求解，涉及导数的几何意义，属综合性中档题.

x=2cosa_

18.(1)曲线G的直角坐标方程为％=加，曲线C,的参数方程为r-.(a为参数)(2)2百+3

y=V3sin。

【解析】

(1)将x=pcos夕代入pcos8=，z?,可得x=7〃，

所以曲线G的直角坐标方程为x=m.

由/122c可得3，+/sir?6=12,

3+sirr。

将丁=仆皿6,22=/+y2代入上式，可得3x2+3y2+_/=12,

Y22fx=2cos«

整理可得±+2v_=l,所以曲线。2的参数方程为q.(a为参数).

43[y=\/3sina

冗

(2)由题可设A(2cosa,Gsina),—<a<71,〃(2cosa,0),

2

所以|A”|=6sina,||=l-2cos(7,

|AM|=-J(l-2cosa)2+3sin2a=Jcos?a-4cosa+4=2-cosa,

所以/=|AH|+|4M|+|AM|=>/3sina+(1-2cosa)+(2-cosa)

=V5sin6Z-3cosa+3=273sin(a--)+3,

3

乃ee,..n兀2兀

因为二■<&<;?",所以二〈口一彳*;：-,

2o33

所以当a-g=I，即。=乎时，/取得最大值为26+3，

326

所以AA3的周长/的最大值为2百+3.

2

19.(1)点M的轨迹C的方程为土+产=1,轨迹C是以(-6,0),(6,0)为焦点，长轴长为4的椭圆(2)

4

x2+4y之一6x=0(0<x<g)

【解析】

(1)设M(x,y),根据。A/=；。户可求得P(x,2y),代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是

以卜6,0),(6,0)为焦点，长轴长为4的椭圆；

(2)设=3),与椭圆方程联立，利用/>0求得二<；；利用韦达定理表示出西+马与X+必，根据平

行四边形和向量的坐标运算求得砺，消去A后得到轨迹方程；根据二<；求得x的取值范围，进而得到最终结果.

【详解】

(1)设M(x,y),则Z)(x,0)

由QA/=；Z)户知：P(x,2y)

•.,点P在圆=4上x2+4y2=4

2

二点"的轨迹。的方程为：工+产=1

4'

轨迹C是以(一百,0),(百,0)为焦点，长轴长为4的椭圆

(2)设E(x,y),由题意知/的斜率存在

2

2222

设/:y=Z(x—3),代入?+y2=i得：(1+4A:)x-24kx+36k-4=0

21

则公式―2张?)—-40+4公)(36&J,>0,解得：k2<-

设则％+々=三巨

A(%，x),B(x2,y2),

1十^rK

24k3,,-6k

y+y=左(玉一3)+%(工2-3)=攵(玉+々)-6女=-----7-6k=-

2]+4&21+4/

••・四边形Q4EB为平行四边形

OE=OA+OB=(x,+x2,yi+y2,)=

'24k2

X-2

又面=(x,y)：.\1+4公，消去攵得：/+4,2一61=0

—6k

•••7-=-=6(1+於)-6q(\

51+4公1+4/1+4-〔'3)

二顶点E的轨迹方程为d+4)J-6x=0(0<x<g)

【点睛】

本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系

式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x的取值范围.

2,3

20.(1)yr+y=1.(x-l)"+y2=1.(2)-

【解析】

(D先求解a,b,消去参数。，即得曲线G的直角坐标方程；再求解R，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲

线。2的直角坐标方程;

(2)由于。4_LOB,可设4(门,8),8。2，。+彳，代入曲线G直角坐标方程，可得夕”2，。的关系，转化

]1_11cos20.20)(sin202力

iW+iW-----+sin-0+-------+cos6),可得解.

2)I2J

【详解】

TTx=acos(p

(1)将％1,及对应的参数。二，代入

y=bsin(p

1兀

1=6?COS-

厂4,即,a—yj2

得

J2.nb=1

——=Asin—

[24

X=J^COS0,。为参数,

所以曲线G的方程为

y=sincp

所以曲线G的直角坐标方程为y+r=i.

设圆的半径为R,由题意，圆。2的极坐标方程为

夕=2Rcos6（或"一农1+9二心），

将点代入°=2Rcos。，得l=2Rcos工，即R=l,

\373

所以曲线的极坐标方程为夕=2cos8,

所以曲线的直角坐标方程为(x—iy+y2=i.

(2)由于O4_LQB,故可设A(g,e),80,。+1

代入曲线G直角坐标方程,

22万

可得之罢g+p；sin»=l,Wsin2022i

---+p2cos0=\,

I111

----1----

所以|CA|2+|。3『八2八2

P\Pl

、

厘+s曲+sin203

-----+cos~e

I2J22

/

【点睛】

本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转

化划归，数学运算的能力，属于中档题.

21.（1）3元.（2）①=36/②216万元

【解析】

(D每件产品的销售利润为X,由已知可得X的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从

而可得X的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；

(2)①对y=取自然对数，得lny=ln(a-x")=lna+Mnx,

令〃=lnx,v=\ny,c=lna,则u=c+4/,这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程,

从而可求得)，=”•■?；

②求出收益z=3y-x=3x36l-x=H)8)_x，可设仁)换元后用导数求出最大值•

【详解】

解：(1)设每件产品的销售利润为X,则X的可能取值为-0.8,4,6.由频率分布直方图可得产品为劣质品、优

等品、特优品的概率分别为0.25、0.65、0.1.

所以P(X=-0.8)=025；P(X=4)=0.65；P(X=6)=0.1.所以X的分布列为

X-0.846

P0.250.650.1

所以E(X)=(-0.8)x0.25+4x0.65+6x0.1=3(元).

即每件产品的平均销售利润为3元.

(2)①由.v=ex",得Iny=ln(a-x")=lna+匕Inx,

令〃=lnx,v=lny,c=lna,贝!Jy=c+8〃，

5

,Z(…)(D0541

由表中数据可得。=上y------------=777=-

/—\21.625

(=1

A?3411635

则2="—51=^——x-^=4.68-1.09=3.59,

535

所以£=3.59+g〃，即ln3=3.59+；lnx=ln/-.户)，

因为取/59=36,所以$=361，故所求的回归方程为y=36).

②设年收益为z万兀，则z=3y-x=3x36--x=l()8x§-x

令1=%>0，则z=108t-/,z*=108-3r=-3(r-36),当0<r<6时，z'>0,

当，>6时，z'<0,所以当f=6,即x=216时，2有最大值432.

即该企业每年应该投入216万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为432万元.

【点睛】

本题考查频率分布直方图，