2022年湖南省株洲市芦淞区南方中学自主招生数学试卷

第1页（共1页）2022年湖南省株洲市芦淞区南方中学自主招生数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（4分）正整数a、b分别满足，，则ba＝（）A．16 B．9 C．8 D．42．（4分）在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（）A． B． C． D．3．（4分）已知关于x的不等式组有四个整数解，则（）A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．0≤a＜1 D．0＜a≤14．（4分）如图，要使一个七边形木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（）A．1根 B．2根 C．3根 D．4根5．（4分）已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4＝2a，则a+b等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．（4分）在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（）千米处．A．36 B．37 C．55 D．917．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（）A．（6，4） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（﹣4，6）8．（4分）如图，等边△ABC的面积为10，AD平分∠BAC，与BC边交于点D．已知反比例函数y＝（x＜0）的图象经过B、C两点，且关于直线AD对称，连接OC．若cos∠OCD＝，则k的值是（）A．﹣12 B． C． D．﹣15二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（多选）9．（4分）已知一组正数x1，x2，x3，x4，x5的方差，则关于数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2的说法，其中不正确的说法是（）A．方差为S2 B．平均数为2 C．平均数为4 D．方差为4S2（多选）10．（4分）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论，其中结论正确的有（）A．∠AED＝∠ADC B． C．AC•BE＝12 D．4BF＝5AC（多选）11．（4分）我们知道|a﹣b|表示a与b的差的绝对值，可以理解为数轴上数a，b对应的两个点之间的距离．比如|5﹣8|表示数5与8对应点之间的距离为3，以下说法正确的是（）A．若|x+2022|＝1，则x＝﹣2021或x＝﹣2023 B．若x＞y，则|x﹣1|＞|y﹣1| C．若|x﹣3|＜|y|，则|y|+3＞|x| D．若关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m﹣|x+6|恒成立，则m的取值范围为m≤7（多选）12．（4分）数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，给出如下结论，其中正确的结论有（）A．[﹣x]＝﹣x B．若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1 C．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2 D．x＝﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5＝0的唯一一个解三、填空题（本题共8小题，每小题4分，其中第20题每空2分，共32分.）13．（4分）明代珠算发明家程大位的杰作《算法统宗》，其中有一题，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两．则所分的银子共有两．14．（4分）计算（1﹣）（1﹣）•…•（1﹣）的结果是．15．（4分）如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于．16．（4分）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．17．（4分）已知a、b为抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3与x轴交点的横坐标，则|a﹣c|+|c﹣b|的值为．18．（4分）某校举办数学竞赛，甲、乙、丙、丁、戊五位同学得了前5名．发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况．甲说：“乙是第三名，丙是第五名．”乙说：“戊是第四名，丁是第五名．”丙说：“甲是第一名，戊是第四名．”丁说：“丙是第一名，丁是第二名．”戊说：“甲是第三名，丁是第四名．”老师说每个名次都有人猜对，则获得第一、二、三名的同学依次是．19．（4分）如图，正方形ABCD的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．20．（4分）对于个位数字不为0的任意一个两位数m，交换十位数字和个位数字的位置，得到一个新的两位数n，记F（m）＝，G（m）＝．（1）计算F（38）+G（59）＝；（2）若一个两位数m＝10a+b（a，b都是整数，且5≤a≤9，1≤b≤9），F（m）+2G（m）是一个整数的平方，则满足条件的m的值有个．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（10分）（1）解方程：；（2）已知α，β是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个不等实根，用k分别表示和．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC＝6，∠BAC＝50°，求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）．23．（10分）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．24．（10分）阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：第一步，用x表示y，得y＝；第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．利用以上材料，解决下列问题：（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．25．（15分）如图1，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是AB延长线上一点，且∠PEB＝∠A．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接CB交DE于点G，CB的延长线交PE于点H，求证：HE＝HG；（3）在（2）的条件下，若tan∠P＝，求的值．26．（15分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD、PE、DE．（1）求出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数．并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（4分）正整数a、b分别满足，，则ba＝（）A．16 B．9 C．8 D．4【解答】解：∵53＜64＜98，2＜4＜7，∴＜4＜，＜2＜，∴a＝4，b＝2，∴ba＝24＝16，故选：A．2．（4分）在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形．故选：A．3．（4分）已知关于x的不等式组有四个整数解，则（）A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．0≤a＜1 D．0＜a≤1【解答】解：解不等式组得：﹣3＜x＜a，∵关于x的不等式组有四个整数解，整数解是﹣2，﹣1，0，1，∴1＜a≤2，故选：B．4．（4分）如图，要使一个七边形木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（）A．1根 B．2根 C．3根 D．4根【解答】解：由三角形具有稳定性可知：至少要再钉上木条的根数是4根，故选：D．5．（4分）已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4＝2a，则a+b等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是a＝3，b＝﹣2，从而a+b＝1．故选：C．6．（4分）在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（）千米处．A．36 B．37 C．55 D．91【解答】解：4和9的最小公倍数为36，19+36＝55，∴第二次同时经过这两种设施是在55千米处．故选：C．7．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（）A．（6，4） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（﹣4，6）【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，∵OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝45°，∵BC＝AD＝4，∴CE＝BE＝4，∴OE＝OB+BE＝6，∴C（﹣4，6），∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第1次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）；则第2次旋转结束时，点C的坐标为（4，﹣6）；则第3次旋转结束时，点C的坐标为（﹣6，﹣4）；则第4次旋转结束时，点C的坐标为（﹣4，6）；…发现规律：旋转4次一个循环，∴2022÷4＝505•••2，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（4，﹣6）．故选：C．8．（4分）如图，等边△ABC的面积为10，AD平分∠BAC，与BC边交于点D．已知反比例函数y＝（x＜0）的图象经过B、C两点，且关于直线AD对称，连接OC．若cos∠OCD＝，则k的值是（）A．﹣12 B． C． D．﹣15【解答】解：连结OD，作CH⊥x轴于点H，设BC交x轴于点G，∵关于AD对称，∴A，D，O三点共线，且∠AOG＝45°，又∵△ABC为等边三角形，且AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠CGO＝90°﹣45°＝45°，，∵，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，故选：D．二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（多选）9．（4分）已知一组正数x1，x2，x3，x4，x5的方差，则关于数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2的说法，其中不正确的说法是（）A．方差为S2 B．平均数为2 C．平均数为4 D．方差为4S2【解答】解：由方差的计算公式可得：＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]＝[++…+﹣2（x1+x2+…+xn）•+nn2]＝[++…+﹣2nn2+nn2]＝[++…+]﹣12＝（++++﹣20），可得平均数1＝2．对于数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2，有2＝2+2＝4，其方差＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]＝．故选：BD．（多选）10．（4分）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论，其中结论正确的有（）A．∠AED＝∠ADC B． C．AC•BE＝12 D．4BF＝5AC【解答】解：∵∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，∵∠EAD＝∠DAC，∴∠AED＝∠ADC．故选项A正确；∵AD平分∠BAC，∴＝＝，∴设AB＝4x，则AC＝3x，在直角△ABC中，AC2+BC2＝AB2，则（3x）2+49＝（4x）2，解得：x＝，∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：DA＝DC：AC＝3：3＝1：，故选项B不正确；由①知∠AED＝∠ADC，∴∠BED＝∠BDA，又∵∠DBE＝∠ABD，∴△BED∽△BDA，∴DE：DA＝BE：BD，由②知DE：DA＝DC：AC，∴BE：BD＝DC：AC，∴AC•BE＝BD•DC＝12．故选项C正确；连接DM，在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，则DM＝MA．∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC，∴DM∥BF∥AC，∴FM：MC＝BD：DC＝4：3；∵△FMB∽△CMA，∴BF：AC＝FM：MC＝4：3，∴3BF＝4AC．故选项D错误．综上所述，①③正确，共有2个．故选：AC．（多选）11．（4分）我们知道|a﹣b|表示a与b的差的绝对值，可以理解为数轴上数a，b对应的两个点之间的距离．比如|5﹣8|表示数5与8对应点之间的距离为3，以下说法正确的是（）A．若|x+2022|＝1，则x＝﹣2021或x＝﹣2023 B．若x＞y，则|x﹣1|＞|y﹣1| C．若|x﹣3|＜|y|，则|y|+3＞|x| D．若关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m﹣|x+6|恒成立，则m的取值范围为m≤7【解答】解：∵|x+2022|＝1，∴x+2022＝1或x+2022＝﹣1，解得x＝﹣2021或x＝﹣2023，故A符合题意；∵x＞y，∴x﹣1＞y﹣1，当x﹣1＞y﹣1＞0时，|x﹣1|＞|y﹣1|；当0＞x﹣1＞y﹣1时，|x﹣1|＜|y﹣1|；故B不符合题意；③∵|x﹣3|＜|y|，当x＞3时，x﹣3＜|y|，∴|y|+3＞x；当x＜3时，3﹣x＜|y|，∴|y|+3＞6﹣x，∵x＜3，∴6﹣x＞|x|，∴|y|+3＞x；故C符合题意；|x﹣1|+|x+2|+|x+6|表示数轴上表示x的点到表示1的点的距离、表示﹣2的点的距离、表示﹣6的点的距离和，∴|x﹣1|+|x+2|+|x+6|≥7，∵|x﹣1|+|x+2|≥m﹣|x+6|恒成立，∴m≤7，故D符合题意；故选：ACD．（多选）12．（4分）数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，给出如下结论，其中正确的结论有（）A．[﹣x]＝﹣x B．若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1 C．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2 D．x＝﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5＝0的唯一一个解【解答】解：因为[x]表示不大于x的最大整数，∴当[x]＝n时，n≤x，∴A不一定正确，不符合题意；若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1，故B是正确的，符合题意；当﹣1＜x＜0时，[1+x]+[1﹣x]＝0+1＝1，当x＝0时，[1+x]+[1﹣x]＝1+1＝2，当0＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]＝1+0＝1，综上C是正确的，符合题意；由题意，得0≤x﹣[x]＜1，4x﹣2[x]+5＝0，2x﹣[x]+＝0，x﹣[x]＝﹣x﹣，∴0≤﹣x﹣＜1，∴﹣3.5＜x≤﹣2.5．当﹣3.5＜x＜﹣3时，方程变形为4x﹣2×（﹣4）+5＝0，解得x＝﹣3.25；当﹣3≤x≤﹣2.5时，方程变形为4x﹣2×（﹣3）+5＝0，解得x＝﹣2.75；所以﹣3.25与﹣2.75都是方程4x﹣2[x]+5＝0的解．故D是错误的，不符合题意．故选：BC．三、填空题（本题共8小题，每小题4分，其中第20题每空2分，共32分.）13．（4分）明代珠算发明家程大位的杰作《算法统宗》，其中有一题，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两．则所分的银子共有46两．【解答】解：设共有x人，所分的银子共有y两，由题意得：，解得：，即所分的银子共有46两，故答案为：46．14．（4分）计算（1﹣）（1﹣）•…•（1﹣）的结果是．【解答】解：原式＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）•…•（1+）（1﹣）＝××××××…××＝．故答案为：15．（4分）如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于．【解答】解：过点O作三角形边的垂线，垂足为E、F，∵O为等边△ABC的中心，∴OE＝OF，所求四边形OABC的面积等于四边形OEBF的面积，即正三角形面积的．正三角形的面积为×2×＝，故四边形OABC的面积＝，故答案为．16．（4分）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为2cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．【解答】解：如图所示：连接DC，CF，由题意：ED＝3，EC＝5﹣1＝4CD2＝32+42＝25＝52，CF2＝52+102＝125，∴吸管口到纸盒内的最大距离＝＝5≈11cm．∴h＝13﹣11≈2cm．故答案为：2．17．（4分）已知a、b为抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3与x轴交点的横坐标，则|a﹣c|+|c﹣b|的值为．【解答】解：当y＝0时，（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3＝0，（设a＜b），整理得x2﹣（2c+1）x+c2+c﹣3＝0，Δ＝（2c+1）2﹣4（c2+c﹣3）＝13，∴x＝，所以a＝c+，b＝c+，所以|a﹣c|+|c﹣b|＝||+|﹣|＝+＝，故答案为：．18．（4分）某校举办数学竞赛，甲、乙、丙、丁、戊五位同学得了前5名．发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况．甲说：“乙是第三名，丙是第五名．”乙说：“戊是第四名，丁是第五名．”丙说：“甲是第一名，戊是第四名．”丁说：“丙是第一名，丁是第二名．”戊说：“甲是第三名，丁是第四名．”老师说每个名次都有人猜对，则获得第一、二、三名的同学依次是甲、丁、乙．【解答】解：这里，只有戊的名次是重复的，所以戊一定是第4名，戊是第4名的话，那丁就一定不是4，且只有一人猜了乙的名次，故乙一定是第3名，只有两人猜了甲的名次，则甲是第1名，只有两人猜了丙，则丙只能是第5名，故丁是第2名．总结下来，名次是：甲是第一名，丁是第二名，乙是第三名，戊是第四名，丙是第五名，则获得第一、二、三名的同学依次是甲、丁、乙，故答案为：甲、丁、乙．19．（4分）如图，正方形ABCD的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过70秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．【解答】解：设运动时间为t秒，依题意，得：10t﹣7t＝100×3﹣100，解得：t＝．∵×10÷100＝＝6，×7÷100＝＝4，∴当t＝时，乙点在AD边上，甲点在AB边上．∵乙的速度10米/秒＞甲的速度7米/秒，∴当点乙继续运动到点A时，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边AB上，∴（6+1）×100÷10＝70（秒）．故答案为：70．20．（4分）对于个位数字不为0的任意一个两位数m，交换十位数字和个位数字的位置，得到一个新的两位数n，记F（m）＝，G（m）＝．（1）计算F（38）+G（59）＝9；（2）若一个两位数m＝10a+b（a，b都是整数，且5≤a≤9，1≤b≤9），F（m）+2G（m）是一个整数的平方，则满足条件的m的值有5个．【解答】解：（1）F（38）＝＝﹣5，G（59）＝＝14，∴F（38）+G（59）＝﹣5+14＝9．故答案为：9．（2）∵一个两位数m＝10a+b，∴n＝10b+a，∴F（m）+2G（m）＝+2×＝3a+b，∵5≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是整数，∴16≤3a+b≤36，∴3a+b为整数的有：16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36，∵F（m）+2G（m）是一个整数的平方，∴3a+b为16、25、36，∵5≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是整数，∴①当b＝1时，3a+b＝16，a＝5，此时m＝51，3a+b＝25，a＝8，此时m＝81，3a+b＝36，a＝（舍去），②当b＝2时，3a+b＝16，a＝（舍去），3a+b＝25，a＝（舍去），3a+b＝36，a＝（舍去），③当b＝3时，3a+b＝16，a＝（舍去），3a+b＝25，a＝（舍去），3a+b＝36，a＝11（舍去），④当b＝4时，3a+b＝16，a＝4（舍去），3a+b＝25，a＝7，此时m＝74，3a+b＝36，a＝（舍去），⑤当b＝5时，3a+b＝16，a＝（舍去），3a+b＝25，a＝（舍去），3a+b＝36，a＝（舍去），⑥当b＝6时，3a+b＝16，a＝（舍去），3a+b＝25，a＝3（舍去），3a+b＝36，a＝10（舍去），⑦当b＝7时，3a+b＝16，a＝3（舍去），3a+b＝25，a＝6，此时m＝67，3a+b＝36，a＝（舍去），⑧当b＝8时，3a+b＝16，a＝（舍去），3a+b＝25，a＝（舍去），3a+b＝36，a＝（舍去），⑨当b＝9时，3a+b＝16，a＝（舍去），3a+b＝25，a＝（舍去），3a+b＝36，a＝9，此时m＝99，综上所述：m的值为：51、67、74、81、99．故答案为：5．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（10分）（1）解方程：；（2）已知α，β是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个不等实根，用k分别表示和．【解答】解：（1）令x+＝a，则（x+）2＝a2，∴x2+＝a2﹣2，则方程可化为3（a2﹣2）﹣7a＝4，整理，得：3a2﹣7a﹣10＝0，∴（a+1）（3a﹣10）＝0，则a+1＝0或3a﹣10＝0，解得a＝﹣1或a＝，当x+＝﹣1，此方程无解；当x+＝，整理得3x2﹣10x+3＝0，解得x＝3或x＝，经检验x＝3或x＝均是原方程的解；（2）∵α，β是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个不等实根，∴α+β＝3，αβ＝k，∴+＝﹣2＝﹣2；∵α+2β＝β+3，k+18＝αβ+9+3α+3β＝α（β+3）+3（β+3），∴＝α+3，∵α2＝3α﹣k，∴＝++α2＝+（3+α）+α2＝＝＝＝．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC＝6，∠BAC＝50°，求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）．【解答】（1）证明：根据题意得：BD＝CD＝BC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∵BD＝CD＝BC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝60°，∴∠DBE＝∠DCF＝55°，∵BC＝6，∴BD＝CD＝6，∴的长度＝的长度＝＝；∴、的长度之和为+＝．23．（10分）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜，此时，比赛所有可能的对阵为：（A1C2，B1A2，C1B2），（A1C2，C1B2，B1A2），（A1C2，B1B2，C1A2），（A1C2，C1A2，B1B2），共四种，其中获胜的有两场，故此田忌获胜的概率为P＝．（2）不是．当齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，B1A2，C1B2），当齐王的出马顺序为A1，C1，B1时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，C1B2，B1A2），当齐王的出马顺序为B1，A1，C1时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，A1C2，C1B2），当齐王的出马顺序为B1，C1，A1时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，C1B2，A1C2），当齐王的出马顺序为C1，A1，B1时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，A1C2，B1A2），当齐王的出马顺序为C1，B1，A1时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，B1A2，A1C2），综上所述，田忌获胜的对阵有6种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的6种可能对阵，所以田忌获胜的概率为P＝．24．（10分）阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：第一步，用x表示y，得y＝；第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．利用以上材料，解决下列问题：（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．【解答】解：（1）∵（15，20）＝5，（4，8）＝4，∴原方程变形为：5x+4y＝99，∴x＝，∴99﹣4y是5的倍数，∴当y＝1时，x＝19，∴是原方程的解；（2）∵5x+4y＝99有整数解，∴，，，，，∴原方程有5组正整数解．25．（15分）如图1，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是AB延长线上一点，且∠PEB＝∠A．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接CB交DE于点G，CB的延长线交PE于点H，求证：HE＝HG；（3）在（2）的条件下，若tan∠P＝，求的值．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EBA+∠A＝90°，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠BEO，∴∠A+∠BEO＝90°，∵∠PEB＝∠A，∴∠PEB+∠BEO＝90°，∴∠PEO＝90°，又∵OE为半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OD，∵D为的中点，∴OD⊥BC，设垂足为M，∴∠BMO＝90°，∵DE⊥AB，∴∠BFD＝90°，∴∠BOD+∠OBM＝∠OBM+∠BGF＝90°，∴∠BOD＝∠BGF，在△AEB和△EFB中∵∠AEB＝∠EFA＝90°，∠ABE＝∠FBE，∴∠A＝∠BEF，∵∠P