2025届新高考数学冲刺精准复习 计数原理与排列、组合

2025届新高考数学冲刺精准复习计数原理与排列、组合01知识体系02考情回顾03课前自学目录04课堂导学【单元概述】本单元学习了随机事件的关系和运算、概率的基本性

质、事件的相互独立性、条件概率及全概率公式，还学习了随机变量的

分布列和数字特征，并重点研究了三种概率分布，解决了一些简单的实

际问题.

年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷高考预

测2023第13题排列组合第21题全概率公式与数学期望第3题排列组合第12题独立事件及互斥事件的概率第19题概率应用四

省第3题古典概型第13题正态分布第20题

超几何分布1.重点：计

数原理与随机事件的概率.2.热点：概

率分布列与数学期望.3.关注点：应用概率

解决实际问题.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷高考预

测2022第5题古典概型第13题二项式定理第20题条件概率第5题排列组合第13题正态分布第19题互斥事件的概率与条件概率1.重点：计

数原理与随机事件的概率.2.热点：概

率分布列与数学期望.3.关注点：应用概率解决实际问题.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷高考预

测年份2021第8题事件的独立性第18题离散型随机变量的数学期望与决策第6题正态分布第21题概率分布列与数学期望八

省第2题古典概型第6题二项式定理第16题正态分布第19题概率分布与数学期望1.重点：计

数原理与随机事件的概率.2.热点：概

率分布列与数学期望.3.关注点：应用概率解决实际问题.2020第3题排列组合第19题古典概型第6题排列组合第19题古典概型山

东第4题二项式定理第13题排列组合【课时目标】理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区

分“分类”和“分步”，并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问

题；理解排列、组合的概念，掌握排列数、组合数公式，并能利用公式

解决一些简单的实际问题.【考情概述】计数原理与排列、组合是新高考考查的内容之一，常以

选择题或填空题的形式进行考查，属于中频考点，难度中等偏下.

知识梳理1.两个计数原理（1）

分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案

中有

m

种不同的方法，在第2类方案中有

n

种不同的方法，那么完成这

件事共有

N

＝

种不同的方法.（2）

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有

m

种不

同的方法，做第2步有

n

种不同的方法，那么完成这件事共有

N

＝

⁠

种不同的方法.m

＋

n

m

×

n

2.两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都

能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件

事（每步中的一种方法不能

独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可3.排列与组合的概念名称定义排列从

n

个不同元素中取出

m

（

m

≤

n

）个元素按照

⁠排成一

列组合作为一组一定的顺序4.排列数与组合数（1）

排列数：从

n

个不同元素中取出

m

（

m

≤

n

）个元素的所有

⁠

的个数，用符号

表示.

（2）

组合数：从

n

个不同元素中取出

m

（

m

≤

n

）个元素的所有

⁠

的个数，用符号

表示.5.排列数、组合数的公式及性质公式性质不

同排列

不

同组合

n

（

n

－1）（

n

－2）…（

n

－

m

＋1）

1

n

！

常用结论1.解决排列、组合问题的十种技巧：（1）

特殊元素优先安排；（2）

合理分类与准确分步；（3）

排列、组合混合问题要先选后排；（4）

相邻问题捆绑处理；（5）

不相邻问题插空处理；（6）

定序问题倍缩法处理；（7）

分排问题直排处理；（8）

“小集团”排列问题先整体后局部；（9）

相同元素的问题用隔板法；（10）

正难则反，等价转化.

✕√✕✕2.（RA选三P5例3改编）某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少

购买其中的1本，则不同的购买方案共有（

C

）A.3种B.6种C.7种D.9种3.（多选）（RA选三P27习题6.2第13题改编）甲、乙、丙、丁、戊五人

并排站成一排，下列说法正确的是（

ABC

）A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B.若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲、乙不相邻的排法共有72种D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种CABC

5

考点一

分类加法计数原理与分步乘法计数原理考向1

分类加法计数原理例1（1）

个位数字大于十位数字的两位数共有

个.解：由题意知，十位上的数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，共8

类，在每一类中符合题意的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3

个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6

＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）.36

（2）

如图，一只蚂蚁从点

A

到点

O

有

⁠种不同的走法（不重复过任

何一点）.5

解：分3类：第一类，由点

A

直接到点

O

，有1种走法；第二类，中间经

过一个点，有

A

→

B

→

O

，

A

→

C

→

O

，共2种走法；第三类，中间经

过两个点，有

A

→

B

→

C

→

O

，

A

→

C

→

B

→

O

，共2种走法.由分类加

法计数原理可知，共有1＋2＋2＝5（种）不同的走法.1.个位数字为偶数且小于十位数字的两位数共有

个.解：由题意知，个位上的数字可以是0，2，4，6，8，共5类，在每一类

中符合题意的两位数分别有9个，7个，5个，3个，1个.由分类加法计数

原理可知，符合题意的两位数共有9＋7＋5＋3＋1＝25（个）.

25

[变式演练]总结提炼

分类标准的选择（1）

应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置，根据题目特点

恰当选择一个分类标准.（2）

分类时应注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并

且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，也不能遗

漏.1.某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，在不透明的卡箱中有

“福”“迎”“春”卡各2张，“龙”卡3张，这些卡片除卡片内容外都

相同.每位学生从卡箱中随机抽取4张卡，其中抽到“龙”卡获得2分，

抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡，则额

外获得2分.（1）

学生甲最终获得5分的不同的抽法种数是

⁠；

36

[对点训练]（2）

学生乙最终获得7分的不同的抽法种数是

⁠.

30

考向2

分步乘法计数原理例2（1）

某学校的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学

习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学

习，则不同的参观方案有

种.解：每个班级都可以从这4个工厂中选1个参观学习，各有4种情况，根

据分步乘法计数原理可知，共有43＝64（种）情况.若甲工厂没有班级参

观学习，此时每个班级都可以从其余3个工厂中选1个参观学习，各有3

种情况，根据分步乘法计数原理可知，共有33＝27（种）情况.因为甲工

厂必须有班级参观学习，所以不同的参观方案有64－27＝37（种）.37

（2）

人们习惯把最后一位是6的多位数叫做“吉祥数”，则无重复数

字的四位“吉祥数”（首位不能是零）共有

个.解：第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的情况；第二步，确定

百位，除去6和千位数字，有8种不同的情况；第三步，确定十位，除去

6和千位、百位上的数字，有7种不同的情况.根据分步乘法计数原理可

知，无重复数字的四位“吉祥数”（首位不能是零）共有8×8×7＝448

（个）.

448

总结提炼

利用分步乘法计数原理解题的策略（1）

明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几

个步骤，且每步都是独立的.（2）

将这件事划分成几个步骤来完成，每个步骤之间有一定的连续

性，只有当所有步骤都完成了，整件事才算完成.2.正整数240的正约数有

个.解：因为240＝24×3×5，所以240的正约数为2

i

3

j

5

k

，

i

＝0，1，2，3，

4；

j

＝0，1；

k

＝0，1.根据分步乘法计数原理可知，240的正约数有

5×2×2＝20（个）.3.回文是一种修辞手法，数学中的回文数是指从左到右读和从右到左读

都一样的正整数，例如132231，则五位数中的回文数共有

个.解：万位有9种选择，千位和百位各有10种选择.根据分步乘法计数原理

可知，五位数中的回文数共有9×10×10＝900（个）.20

900

[对点训练]考向3

两个计数原理的综合应用例3

（1）

现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的A，B，C，D四个不同

区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的

涂法的种数是（

D

）A.120B.140C.240D.260D解：由题意，先涂A区域，共有5种涂法，再涂B区域，有4种涂法，然

后涂C区域.若C区域与A区域所涂颜色相同，则C区域共有1种涂法，D

区域有4种涂法；若C区域与A区域所涂颜色不同，则C区域有3种涂

法，D区域有3种涂法.所以不同的涂法种数是5×4×（1×4＋3×3）＝

260.（2）

如果一条直线与一个平面平行，那么称这条直线与这个平面构成

一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与由四

个顶点确定的平面构成的“平行线面组”的个数是（

B

）A.60B.48C.36D.24B（3）

用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成

⁠个无重复数

字的四位偶数（用数字作答）.420

总结提炼

利用两个计数原理解决问题的一般思路（1）

弄清完成一件事需要做什么.（2）

确定是先分类后分步，还是先分步后分类.（3）

弄清分类、分步的标准是什么.（4）

利用两个计数原理求解.[对点训练]4.如图，准备用4种不同的颜色给A，B，C，D，E五个区域进行涂色，要求每个区域用一种颜色涂色，且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同的涂色方法共有（

C

）CA.96种B.114种C.168种D.240种解：先涂E区域，有4种涂色方法，再涂C区域，有3种涂色方法，然后

涂D区域，有2种涂色方法.若A区域与D区域所涂颜色相同，则A区域有

1种涂色方法，B区域有3种涂色方法；若A区域与D区域所涂颜色不相

同，则A区域有2种涂色方法，B区域有2种涂色方法.所以不同的涂色方

法共有4×3×2×（1×3＋2×2）＝168（种）.5.某校安排高三年级5个班[包括高三（1）班]去A，B，C，D四个劳动

教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个

班，则高三（1）班被安排到A基地的排法共有

种.

60

考点二

排列与组合问题考向1

排列问题例4（1）

（多选）17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同

站法的种数为（

BD

）BD

（2）

用1，2，3，4，5这五个数字，共可以组成

个比20000大，

且百位数字不是3的没有重复数字的五位数.

78

总结提炼

对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分

析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有

限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用

间接法.[对点训练]6.杭州第19届亚运会火炬于9月14日在浙江台州传递，此次火炬传递以

“和合台州，活力城市”为主题，路线全程约8公里.从和合公园出发，

途经台州市图书馆、台州市文化馆、台州市体育中心等地标建筑.某段

线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不

从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（

C

）A.288种B.360种C.480种D.504种

C7.用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足以下条件的没有

重复数字的五位数？（1）

比21034大的偶数；

（2）

千位、十位上的数是奇数的偶数.

考向2

组合问题例5（1）

某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙

二人不能全部裁去，则不同的裁员方案共有

种.

182

（2）

从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入

选，则共有

种不同的选法.

16

2.从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.（1）

共有多少种不同的选择方法？

（2）

如果至少有1位女生入选，且选出的这3位学生，分别去3个不同

地方进行宣传，共有多少种不同的安排方法？

[变式演练]总结提炼

求解含有附加条件的组合问题的方法（1）

“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含有”，则

先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些

元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）

“最少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必

须十分重视“最少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复或漏

解.用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法

求解.8.（2023·新课标Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修

课，学生需从这8门课中选修2门或3门，并且每类选修课至少选修1门，

则不同的选课方案共有

种（用数字作答）.

64

[对点训练]考向3

分组、分配问题例6（1）

现有6名师范生要平均分到3所学校去实习，共有

⁠种

不同的分派方法.

90

（2）

有4名本科生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所大学读

研，若每所大学至少去一名本科生，则不同的保送方案共有

种.

36

（3）

将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3个项

目上进行培训.若每名志愿者只分配到1个项目上，且每个项目上至少分

配1名志愿者，则不同的分配方案共有

种.150

3.某学校的甲、乙、丙、丁四名优秀的同学获得了保送到A，B，C这3

所大学的机会.若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去A大学，则

不同的保送方案共有（

A

）A.24种B.36种C.48种D.64种

A[变式演练]9.将6名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个

项目上进行培训，每名志愿者只分配到1个项目上，每个项目上至少分

配1名志愿者，且志愿者甲不分配到冰球项目上，则不同的分配方案共

有（

C

）A.360种B.810种C.1170种