2024年高中数学专题5-6重难点题型培优检测导数在研究函数中的应用教师版新人教A版选择性必修第二册

专题5.6导数在探讨函数中的应用一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2024·全国·高三专题练习）函数fx=x-3A．-∞,2 B．2,+∞ C．【解题思路】求出给定函数的导数，解导数大于0的不等式作答.【解答过程】函数fx的定义域为R，求导得：f'x=x所以fx的单调增区间是2,+故选：B.2．（3分）（2024·山东高三阶段练习）已知f(x)=x2-2xA．12 B．43 C．【解题思路】对fx求导得f【解答过程】f(x)=f'x=1-x-2∵x∈12,1，f所以f(x)在12,1上单调递减，在[1,3]到上单调递增，又f12故选：B.3．（3分）（2024·吉林·高三阶段练习（理））若函数fx=lnx+axA．0,12 B．12,+【解题思路】求出函数的导数f'x=2ax2-2【解答过程】由题意fx=ln令g(x)=2当a=0时，g(x)=-2x当x>12时，f'x<0，当a>0时，g(x此时要使函数fx=lnx+即2a-1<0,此时x=12a>1，g(x则当0<x<x0时，f'x>0，fx递增，当x0当a<0时，g(x此时要使函数fx=lnx+即2a-1<0,综合上述，可知a的取值范围为-∞故选：D.4．（3分）（2024·河南·模拟预料（文））已知a=e-12sin1A．c>b>a B．a【解题思路】构造函数f(x)=exsin-【解答过程】令f(x)=当-π4<x<0时，sinx+π4>0，因为0<12<所以f-即e-12sin1所以c>故选：A.5．（3分）（2024·吉林·模拟预料）设f'x是函数fx的导函数，且f'x>3fA．0,13 B．13,+【解题思路】构造函数gx=fxe3x，由已知可得函数g【解答过程】令gx=f因为f'所以g'所以函数gx在R不等式flnx<又glnx=所以不等式flnx<即lnx<1所以不等式flnx<故选：C.6．（3分）（2024·安徽·高三阶段练习）函数f(x)=x2-axA．(2,+∞) B．2,103【解题思路】将题意转化成a=x+1x在区间1【解答过程】解：由题意得x2-ax+1=0在区间12设gx=令g'x=0所以当x∈12,1，g'x<0，g所以gxmin所以gx所以实数a的取值范围是2,10故选：B.7．（3分）（2024·辽宁高三阶段练习）若关于x的不等式x2+xlna-aA．-∞,1e B．0,【解题思路】由题设有lnaexaex>lnx【解答过程】由x2+x即lnaexaex>所以f'(x)=1-lnxx所以f(x)在0,e上递增，在在0,1上f(x)<0，(1,+∞)所以，必需且只需aex>x在令g(x)=xex，则故a≥故a的取值范围为1e故选：D.8．（3分）（2024·全国·高二课时练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元销售额y（单位：万元）与莲藕种植量x（单位：万千克）满足y=-16x3+A．6万千克 B．8万千克 C．7万千克 D．9万千克【解题思路】由已知求参数a，再利用导数探讨函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.【解答过程】设当莲藕种植量为x万千克时，销售利润为g(x)万元，则g∵g(3)=∴a=2，即g(x当x∈(0,8)时，g'(x∴g(x)在(0,8)上单调递增，在(8,10)上单调递减，故当x故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．故选：B.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2024·北京市高二期中）函数fx=1A．（e，+∞） B．1e,+∞ C．（0，【解题思路】利用导数求得fx【解答过程】fx的定义域为0,1f'所以fx在区间1e,1,1,+所以AD选项符合题意.故选：AD.10．（4分）（2024·云南·高三阶段练习）已知函数fx=xA．x=1是fx的微小值点 B．C．fx的微小值为1 D．fx在0,2【解题思路】利用导数分析函数fx【解答过程】因为fx=x当x∈-∞,-43故fx的单调递增区间为-∞,-4则fx且当x=1时，f且微小值为f1又f0=0，f2=2，所以fx故选：ABD.11．（4分）已知f(x)=2x3-9A．a=2 B．C．f(x)的微小值为【解题思路】依据极大值点可求解a=12，可推断A,进而可得fx的单调性，可推断C,依据三个零点得【解答过程】因为f'(x)=6x因为f(当1<x<2时，f'x<0，当x所以f(x)在x微小值为f(2)=4+b，极大值为若f(x)有三个零点，所以4+因为-5<b<-4，所以4<-b故选：BCD.12．（4分）（2024·全国·高三阶段练习）已知函数fx=eA．gex在B．∀x>1，不等式fax≥C．若fx=t有两个零点D．若fx1=gx2【解题思路】A选项中，令t=ex>1，利用导数可求得gt单调性，依据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得fx在0,+∞上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为a≥2lnxx，令hx=2lnxxx>1，利用导数可求得hxmax，由a≥hxmax可知B正确；C选项中，利用导数可求得fx的单调性，由此确定x1【解答过程】对于A，当x>0时，ex>1，令t=e∵g't=1-1t=t-1∵t=e∴依据复合函数单调性可知：gex在对于B，当x>1时，lnx2>ln∵f'x=ex-1，∴当则由fax≥flnx令hx=2∴当x∈1,e时，h'x∴hx在1,e上单调递增，在e∴a≥2e，则正实数对于C，∵f'x=ex-1，∴当∴fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞不妨设x1<x若x1+x2>0又fx2=令Fx=f∵x<0，∴0<ex<1，∴Fx在-∞,0上单调递增，∴fx1对于D，由fx1=gx2=由C知：fx在-∞,0f1=e-1<2，∴∴x1=lnx令φt=ln∴当t∈2,e时，φ't∴φt在2,e上单调递增，在e即lntx2故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2024·广东·高三期中）己知函数fx=x2+5【解题思路】利用导数法求单调区间即可【解答过程】函数fx=x则f'x=2所以函数fx的单调递增区间是0,+故答案为：0,+∞14．（4分）（2024·江苏省高三阶段练习）已知函数f(x)=axex-【解题思路】先利用同构得到2aex+2lnx-2lnx+x【解答过程】由题意得axe即ax变形为2ax2令2lnx+其中令hx=2lnh'x=2x得到2ln故2a令gt=tet当t>1时，g't<0，当故gt=tet且当t>0时，gt>0，当t画出gt故2a∈0,解得：a∈故答案为：(0,115．（4分）（2024·湖南·模拟预料）f(x)=aex+lnx【解题思路】由已知函数求导，令f'(x)=0,则可得ax=ex【解答过程】由函数f(x)=aex+lnx+bex1=ax1①，ex2=ax2②，得ex设g(x)=设h(h'(x)=1-3x+2x2=(x-1)(x-2)x2<0，故答案为：4ln16．（4分）（2024·辽宁省高三阶段练习）已知函数f(x)=12x+1+x【解题思路】由条件可得f(x)图像关于点(0,52)对称且f(x)【解答过程】因为f(所以f(x)又f'所以f(x)f(m⋅即f(所以m⋅4x令2x-1=t而tt2+2所以m≥2-12，即实数故答案为：2-1四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2024·山东·高二阶段练习）已知函数fx(1)若m=0，求函数f(2)若函数fx在0,+∞上是减函数，求实数【解题思路】(1)先对函数f((2)已知函数fx在0,+∞上是减函数，可知知f'【解答过程】（1）当m=0时，fff'x所以fx的单调递减区间是0,1，单调递增区间是（2）由函数fx在0,+∞上是减函数，知fx由f'x≤0恒成立可知设φx=ln由φ'x>0⇒函数φx在0,e上递增，在∴φxmax=φ18．（6分）（2024·上海市高二期末）求函数f((1)求函数f((2)求f(x)【解题思路】（1）求导，计算导数大于0的解为原函数的单调递增区间，导数小于0为单调递减区间，递增递减的转折点为极大值点，递减递增的转折点为微小值点；（2）由第一小问的单调性，写出[-2,2]上的极值点和端点函数值，比较其大小可得最值.【解答过程】（1）f(令f'(x)>0，得x<-1或x所以f(x)在(-∞,-1]和[1,+∞)（2）由（1）得f(x)在[-2,-1]和[1,2]又f(-2)=43所以最大值为83，最小值为419．（8分）（2024·福建省高二阶段练习）茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生气勃勃．2024年3月22日下午，习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．总书记强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的踪迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，特别的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2024年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为G(x)（1）写出该企业今年利润F(x)（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？【解题思路】（1）由题意得可得F(（2）由（1）得，F(x)=-2x【解答过程】解：（1）依题意得：F=-2（2）由（1）得，F(则F'令F'(x)=0，得当x∈(0,1)时，F'(当x∈(1,+∞)时，F'(所以当x=1时，有答：当年产量为1百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为25万元．20．（8分）（2024·四川·一模（文））设函数u(x)=(1)求u((2)若f(x)=u(x【解题思路】（1）由题知u'(x)=1（2）由题知lnx1=ax1-1lnx2=ax2-1，a【解答过程】（1）解：由已知u'当a≤0时，u'(x)≥0在(0,+当a>0时，由u'(若0<x<1a时，u'若x>1a时，u'(综上，当a≤0时，u(x当a>0时，u(x)的单调递增区间为（2）解：由题：f(x)=因为x1,x所以，lnx1-ax1要证2ln只需证明a2x1只需证2x1+3令x1x2=t，而x令函数g(t)=(2t+3)令函数h(t)=-5求导得h'则函数h(t)在0,因此g'(t)<0，函数所以g(t)>所以原不等式得证．21．（8分）（2024·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数fx(1)探讨函数fx(2)当a=-1,b<0时，hx=【解题思路】（1）由题意可得f'x=aeax-a=（2）由题意不等式可化为e-x-lne-x⩾xb-lnxb在x【解答过程】（1）由题意f'x=ae当a>0若x>0，则ax>0,e若x<0，则ax<0，eax当a<0若x>0，则ax<0,e若x<0，则ax>0，eax综上fx在-∞,0（2）当a=-1时，hx=e-x构造函数Fx=x-lnF'x=1-1x，令F'x=0，得又x∈1,+∞时，e所以只须要e-x≤x两边取对数，有-x≤b又x>1时，lnx>0，所以b令GG'x=1-lnx(ln则Gx在1,e单调递增，在Gx最大值为G所以b的最小值为-e22．（8分）（2024·北京市高三阶段练习）已知函数fx=x+aex(1)求函数fx(2)当x∈0,4时，求函数(3)当a<1时，试确定函数g【解题思路】（1）先对函数求导，令导函数大于0得到递增区间，令导函数小于0得到递减区间；（2）依据（1）确定的函数单调性，探讨-a-1与[0，4]的关系，得到函数f(x)在（3）由g(x)=f(x-a)-x2，得方程x【解答过程】（1）因为f(x)=(令f'(当x变更时，f(x)x(--(-f-0+f↘↗故f(x)的单调减区间为(-（2）由（