泰勒公式-文献翻译

重庆理工大学文献翻译二级学院数学与统计学院班级111010101学生姓名学号复杂矩阵用泰勒公式的解决方法一个复杂的R×R矩阵A中的解决方法Rλ〔A〕是与A的频谱ΣA空交集的任何域名的解析函数。在任何给定的λ0∉ΣA的附近著名的泰勒展开Rλ〔A〕的修改考虑到Rλ0只有第一大国〔A〕是线性无关。在这个框架的主要工具给出了多变量多项式查看MATHML源取决于不变V1，V2，...，VRRλ〔A〕的〔m为最小多项式的程度〕。这些功能被用于以代表的Rλ0〔A〕的随后的权力的系数作为它们的第一米的线性组合。一简介如在[1]中，预解Rλ〔A〕的≔〔λI-A〕一种非奇异正方形矩阵A〔Ⅰ表示单位矩阵〕-1所示的希尔伯特同一性的后果是参数λ的一个解析函数在与A的频谱ΣA因此，空交集的任何域D使用泰勒展开任何固定λ0∈D的附近，我们可以在[1]Rλ〔A〕的表示公式发现使用Rλ0的一切权力〔A〕。在这篇文章中，通过使用一些前面的结果回忆说，例如，在[2]中，我们写下使用Rλ0〔A〕的权力，只有有限数量的表示公式。这似乎是因为Rλ0的〔A〕是线性无关的只有第一个权力是自然的。在此框架的主要工具是由多变量多项式给出查看MATHML来源〔参见[2]，[3]，[4]，[5]和[6]〕，根据不同的不变量V1，V2，...，vr中的Rλ〔A〕;这里m表示极小多项式的程度。二权力矩阵和Fk,n功能我们还记得在本节一定的成效上表示公式矩阵的权力〔见[2][3][4][5][6]和其参考文献〕。为简单起见，我们指的是情况下，当基质是非贬损使得M=R。命题2.1。设A是一个矩阵，由U1表示，U2，...，URA的不变量，并通过其特征多项式〔按照惯例u0≔1〕;那么对于A的非负整数指数的权力下表示公式也是如此：功能Fk,n(u1...ur)该显示为系数〔2.1〕由递推关系定义和初始条件：此外，如果A是非奇异〔ur≠0〕，那么式〔2.1〕仍然保持对于n的负值，只要我们定义FK，n功能对于n的负值如下：三泰勒展开式的解决对策我们认为解决方法矩阵Rλ〔A〕定义如下：注意，有时有标志的公式的变化。Eq.〔3.1〕，但这个当然不是必须的。这是众所周知的，该预解是一个解析〔理性〕λ的在复平面不含A的频谱的每个域D功能，此外它消失在无穷远，以便Rλ的仅奇点〔极点〕〔A〕的是A的特征值[6]事实证明，不变量V1，V2，...，Rλ〔A〕的VR都与A的方程联作为命题2.1，Eq〔3.2〕的结果，Rλ〔A〕的整数幂可以如下表示。定理3.1对于每个且，其中是由Eq〔3.2〕给出。由ρ〔A〕A的谱半径表示，对于每一个λ，μ，使得ρ〔A〕<分钟〔|λ|，|μ|〕，希尔伯特的身份也是如此〔见[1]〕：因此，对于每λ∉ΣA，我们有总的来说所以，对于每一个λ0∈D，Rλ〔A〕可以在泰勒级数扩大这是D.绝对和一致收敛定义其中vℓ〔λ〕由等式限定。〔3.2〕，我们可以证明下面的定理。定理3.2该解决方法Rλ〔A〕在任何正规点λ0邻里的泰勒展开式〔3.7〕可以写成的形式因此，我们可以得出一个结果：Tuilun3.1对于每λ0∉ΣA和ℓ=1,2，...，R的级数展开是收敛的。证明：回忆〔3.3〕，我们可以写因此，考虑到的初始条件〔2.3〕我们可以写所以〔3.10〕成立。级数展开收敛〔3.11〕是初始扩张〔3.7〕的收敛琐碎的后果。四结束语泰勒公式的用途很广泛，它是数学分析中的重要组成局部，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可缺少的工具，它即是微积分中值定理的推广应用，又是运用高阶导数研究函数性态的重要工具之一。特别在计算机的计算能力和解决复杂算式的能力快速开展的今天，因为计算机无法解决太过复杂的函数，数学问题的解决习惯是把未知问题转换成问题，把复杂问题转化成多个简单问题，泰勒公式的开展泰勒级数就是这样的计算机可以很好解决的简单函数，一旦把一个函数展开成泰勒级数的形式，就可以交给计算机来解决了，所以泰勒公式在当代早已不可或缺。不单在计算机的各个领域都有着重要的应用，而且泰勒公式解决复杂问题的能力在数学领域的研究方面也有了很大的作用。值得一提的是，解决方法Rλ〔A〕是用于表示矩阵A其实解析函数，用f表示〔Z〕的复变函数z的函数，分析含A的谱域作主题元素，并用表示A的特征值显着与多重μK，拉格朗日-西尔维斯特公式〔见[4]〕由下式给出其中是与特征值λK相关的投影仪，并通过γk乔丹曲线，域的Dk的边界，别离与所有其他特征值固定λK，回忆里斯表示的公式，可以得出当λK仅大约，本投影不能被利用剩余定理导出。在这种情况下，有必要整合Rλ〔A〕中沿γk〔即可能是Gershgorin圆〕，利用预解的的表示〔参见[3]〕或者通过取代Rλ〔A〕与它的泰勒展开，并假设为初始点任何λ0≠λK内的Dk。这是最好的公式依赖于相关的稳定性和计算本钱。从理论角度，公式〔3.7〕，〔3.10〕及〔4.1〕似乎是从稳定性来看等效，因为所有所需要的给定的矩阵A的不变量的知识然而，在我们看来，在情况考虑，式〔3.10〕似乎是相对于〔3.7〕比拟廉价，因为它需要一个近似r系列的根本功能，而不是无穷级数矩阵。参考文献[1]I。Glazman，YH.Liubitch达马迪安〔主编〕，分析linéaire丹斯莱ESPACES德维finies：曼努埃尔等problèmes，Traduit杜齐名俄语，和平号空间站，莫斯科〔1972〕[2]M。Bruschi，体育利玛窦Sullepotenze二UNA矩阵的计算quadrata德拉qualeSIA诺托ILpolinomioMINIMOPubbl。IST。垫。申请。FAC。ING。大学。梭哈。罗马，四路，13〔1979〕，页9-18[3]V.N。线性代数多佛酒吧Faddeeva计算方法。Inc。，纽约〔1959〕[4]F.R。Gantmacher矩阵，二卷的理论。1，2〔KA赫希，跨。〕切尔西出版公司，纽约〔1959〕[5]M。Bruschi，体育利玛窦SullefunzioniFK，正荣polinomi迪卢卡斯迪seconda物种generalizzatiPubbl。IST。垫。申请。FAC。ING。大学。梭哈。罗马，四路，14〔1979年〕，第49-58[6]M。Bruschi，体育利玛窦的显式F〔A〕SIAMJ.数学。肛门。，13〔1982〕，第162-165OnTaylor’sformulafortheresolventofacomplexmatrixTheresolventRλ(A)ofacomplexr×rmatrixAisananalyticfunctioninanydomainwithemptyintersectionwiththespectrumΣAofA.ThewellknownTaylorexpansionofRλ(A)inaneighborhoodofanygivenλ0∉ΣAismodifiedtakingintoaccountthatonlythefirstpowersofRλ0(A)arelinearlyindependent.ThemaintoolinthisframeworkisgivenbythemultivariablepolynomialsViewtheMathMLsourcedependingontheinvariantsv1,v2,…,vrofRλ(A)(mdenotesthedegreeoftheminimalpolynomial).ThesefunctionsareusedinordertorepresentthecoefficientsofthesubsequentpowersofRλ0(A)asalinearcombinationofthefirstmofthem.1.IntroductionAsaconsequenceoftheHilbertidentityin[1],theresolventRλ(A)≔(λI−A)−1ofanonsingularsquarematrixA(Idenotingtheidentitymatrix)isshowntobeananalyticfunctionoftheparameterλinanydomainDwithemptyintersectionwiththespectrumΣAofA.Therefore,byusingTaylorexpansioninaneighborhoodofanyfixedλ0∈D,wecanfindin[1]arepresentationformulaforRλ(A)usingallpowersofRλ0(A).Inthisarticle,byusingsomeprecedingresultsrecalled,e.g.,in[2],wewritedownarepresentationformulausingonlyafinitenumberofpowersofRλ0(A).ThisseemstobenaturalsinceonlythefirstpowersofRλ0(A)arelinearlyindependent.ThemaintoolinthisframeworkisgivenbythemultivariablepolynomialsViewtheMathMLsource(see[2],[3],[4],[5]and[6]),dependingontheinvariantsv1,v2,…,vrofRλ(A);heremdenotesthedegreeoftheminimalpolynomial.PowersofmatricesandFk,nfunctionsWerecallinthissectionsomeresultsonrepresentationformulasforpowersofmatrices(seee.g.[2],[3],[4],[5]and[6]andthereferencestherein).Forsimplicitywerefertothecasewhenthematrixisnonderogatorysothatm=r.Proposition2.1.LetAbeancomplexmatrix,anddenotebyu1,u2,…,urtheinvariantsofA,andbyitscharacteristicpolynomial(byconventionu0≔1);thenforthepowersofAwithnonnegativeintegralexponentsthefollowingrepresentationformulaholdstrue:ThefunctionsFk,n(u1......ur)thatappearascoefficientsin(2.1)aredefinedbytherecurrencerelationandinitialconditions:Furthermore,ifAisnonsingular(ur≠0),thenformula(2.1)stillholdsfornegativevaluesofn,providedthatwedefinetheFk,nfunctionfornegativevaluesofnasfollows:TaylorexpansionoftheresolventWeconsidertheresolventmatrixRλ(A)definedasfollows:NotethatsometimesthereisachangeofsigninEq.(3.1),butthisofcourseisnotessential.Itiswellknownthattheresolventisananalytic(rational)functionof

λ

ineverydomainDofthecomplexplaneexcludingthespectrumofA,andfurthermoreitisvanishingatinfinitysotheonlysingularpoints(poles)ofRλ(A)aretheeigenvaluesofA.In[6]itisprovedthattheinvariantsv1,v2,…,vrofRλ(A)arelinkedwiththoseofAbytheequationsAsaconsequenceofProposition2.1,andEq.(3.2),theintegralpowersofRλ(A)canberepresentedasfollows.Theorem3.1.Forevery

λ∉ΣAand,wherethearegivenbyEq.(3.2).Denotingbyρ(A)thespectralradiusofA,foreveryλ,μsuchthatρ(A)<min(|λ|,|μ|),theHilbertidentityholdstrue(see[1]):Thereforeforevery

λ∉ΣA,wehaveandingeneralso,forevery

λ0∈D,Rλ(A)canbeexpandedintheTaylorserieswhichisabsolutelyanduniformlyconvergentinD.Definingwherethevℓ(λ)aredefinedbyEq.(3.2),wecanprovethefollowingtheorem.Theorem3.2.TheTaylorexpansion(3.7)oftheresolventRλ(A)inaneighborhoodofanyregularpoint

λ0canbewrittenintheformThereforewecanderiveasaconsequence:Corollary3.1.Forevery

λ0∉ΣAand

ℓ=1,2,…,rtheseriesexpansionsareconvergent.Proof.Recalling(3.3),wecanwriteTherefore,takingintoaccounttheinitialconditions(2.3)wecanwriteso(3.10)holdstrue.Theconvergenceofseriesexpansions(3.11)isatrivialconsequenceoftheconvergenceoftheinitialexpansion(3.7).ConcludingremarksTaylorformulausesverywide,itisthemathematicalanalysisofanimportantpartofitstheoreticalapproachhasbecomeanindispensabletoolforstudyingthefunctionandtheestimationerrorlimitsandotheraspects,itistheapplicationthatisvaluetheoremofcalculus,andItisanimportanttooltostudytheuseofhigherderivativefunctionofthestate.Particularlyincomputingpowerandtheabilitytosolvecomplexcomputerformulaofrapiddevelopmentoftoday,becausethecomputercannotbesolvedtoocomplexfunction,mathematicalproblemsolvinghabitistoconverttheissueintotheunknownknownissues,thecomplexproblemintomultiplesimpleissue,TaylorseriesdevelopmentofTaylorformulaissimplefunctionssuchcomputerscanbesolved,onceafunctionoftheTaylorseriesexpansionoftheform,youcangivecomputerstosolve,soTaylorformulaincontemporaryorhadnotmissing.Notonlyinallareasofthecomputertheyhaveimportantapplications,andTaylorFormulaabilitytosolvecomplexproblemsinmathematicsresearchhasalsobeenagreatrole.ItisworthnotingthattheresolventRλ(A)isakeynoteelementforrepresentinganalyticfunctionsofamatrixA.Infact,denotingbyf(z)afunctionofthecomplexvariablez,analyticinadomaincontainingthespectrumofA,anddenotingbythedistincteigenvaluesofAwithmultiplicities

μk,theLagrange–Sylvesterformula(see[4])isgivenbywhereistheprojectorassociatedwiththeeigenvalue

λk,andDenotingby

γkaJordancurve,theboundaryofthedomainDk,separatingafixed

λkfromallothereigenvalues,recallingtheRieszformula,itfollowsthatWhen

λkisonlyknownapproximately,thisprojectorcannotbederivedbyusingtheresiduetheorem.InthiscaseitisnecessarytointegrateRλ(A)along

γk(beingpossiblyaGershgorincircle),byusingtheknownrepresentationoftheresolvent(see[3])orbysubstitutingRλ(A)withitsTaylorexpansion,andassumingasinitialpointany

λ0≠λkinsideDk.Whichisthebestformuladependsontherelevantstabilityandcomputationalcost.Fromthetheoreticalpointofview,formulas(3.7),(3.10)and(4.1)seemtobeequivalentfromthestabilitypointofview,sinceallrequireknowledgeofinvariantsofthegivenmatrixA.However,inouropinion,inthesituationconsidered,Eq.(3.10)seemstobelessexpensivewithrespectto(3.7),sinceitrequireso