高中数学新教材同步必修第一册 第2章2. 2 基本不等式

2.2基本不等式

第1课时基本不等式

【学习目标】1.掌握基本不等式及推导过程2能熟练运用基本不等式比较两实数的大小3能

初步运用基本不等式进行证明和求最值.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点基本不等式

1.如果a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立.

其中等叫做正数“，b的算术平均数，板叫做正数m%的几何平均数.

2.变形：而V（等）,a,b^R,当且仅当时，等号成立.

a+b^2y[ab9a,。都是正数，当且仅当〃=/?时，等号成立.

■思考辨析判断正误

1.对于任意b£R,a2+b2^2ab.（V）

2

2."UN*时，”+/2啦.（V）

3.xWO时，x+：N2.（X）

4.若”>0,则苏+2的最小值为入「.（x）

题型探究探究重点素养提升

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一、利用基本不等式比较大小

例1某工厂生产某种产品，第一年产量为A,第二年的增长率为。，第三年的增长率为6,

这两年的平均增长率为x（a,6x均大于零），贝M）

a+ba+b

A.x=2B.xW-2-

a+ba-\-b

C.A->2D.x^~~-

考点基本不等式比较大小

题点利用基本不等式比较大小

答案B

解析第二年产量为A+4a=4(l+。)，

第三年产量为41+。)+A(1+〃)乃=A(1+a)(1+b).

若平均增长率为x,则第三年产量为A(l+x)2.

依题意有A(l+x)2=A(l+a)(l+b),

V6f>0,b>0,x>0,

(1+q)(1+j?)

A(l+^=(l+a)(l+/»<[+},

.2+a+ba+b.a+b

••1।JCW2=1+2，•.xW2~•

反思感悟基本不等式等茄一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利

用这个桥梁化和为积或者化积为和.

跟踪训练1若且“Wb,试找出a+6,a2+b2,2/石，2ab中的最大者.

解•:0<a<1,0</?<1,且。羊/?,

a+h>2\[ah,a2+h2>2ah,

.二四个数中最大的应从Q+力，层+按中选择.

而a2+b2—(a+b)=a(a—\)+b(b—\),

V0<6r<l,0</?<l,

a(a—1)<0,b(b—1)<0,

d2+b2—[a+b)<0,

22

即a-}-b<a-\-b9C,a+b最大.

二、利用基本不等式直接求最值

12

例2(1)当x>0时，求；+4x的最小值；

12

⑵当x<0时、求的最大值；

Q

(3)当时，求2x+―^的最小值；

X—1

(4)已知4x+，(x>0,”>0)在x=3时取得最小值，求a的值.

解(1)VJV>0,.'._^:>0,4^>0.

••・？+4x22.12

12

当且仅当；=4x,即x=小时取最小值8本,

当x>0时，~+4x的最小值为8小.

(2)Vx<0,-x>0.

12

19

当且仅当苫=一以时，即工=一小时取等号.

.,・¥+4xW-8小.

12

，当尢<0时，："+4x的最大值为一8小.

(3)2%+圈=2[。-1)+含+2,

Vx>l,Ax—1>0,

8

；2十二7［》2X25+2=10,

4

当且仅当Li=ur即尸3时，取等号.

(4)4x+f22

当且仅当4x=*即〃=4/=36时取等号,

••。=36.

反思感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：

一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为

定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否

具备.

跟踪训练2已知x>0,y>0,且x+y=8,则(l+x>(l+y)的最大值为()

A.16B.25C.9D.36

答案B

解析因为x>0,y>0,且x+y=8,

所以(1+x)(l+y)=1+x+y+盯=9+xyW9+(^^)=9+42=25,

因此当且仅当x=y=4时，

(l+x>(l+y)取最大值25.

三、用基本不等式证明不等式

例3已知a,b,c都是正数，求证：a+b+c—y[ab-y[bc—\[ac^O.

证明".'a,b,c都是正数，

.a+b^2-\[ab,b-\-c^2y[bc,a+c^2y[ac,

.,.a-\-b+h+c+a-\-c^2(y[ab+y[bc-\-y[ac),

.,.a+b+c^ylab+y[bc-\-\[ac,

即a+b+c—ylab-yfbc—y/ac^O.

反思感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的

逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.

(2)注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，

证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式

模型，再使用.

跟踪训练3若实数兴0,求证：〃+十2,并指出等号成立的条件.

证明根据题意，”<0,则一〃>0,

左式="+:=—[(­)+(-3

又由(_a)+(_022q(_a)X(_£)=2,

则有2,

当且仅当a=~]时，等号成立.

故a+[w-2,当且仅当。=一1时，等号成立.

随堂演练基础巩固学以致用

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1.若0<。<6,则下列不等式一定成立的是()

4+―/—,

A.a>—^—>\lab>bB.b>ylab>~~^~>a

a+hi-a+hi-

C.b>~^—>\lab>aD.b>a>~^—>\lab

考点基本不等式的理解

题点基本不等式的理解

答案C

_,-a+Z?/—

解A析•'0<a<b,・・2b>a+b,

又V/?>tz>0,ab>a2,

2.下列不等式正确的是（）

B-（一幻+（一0W一2

A.a

C.4十二2D.(-4)2+(一》W-2

ar

答案C

解析•/f/2>0,故居+力22成立.

3.下列等式中最小值为4的是（)

14

A.y=x+~B.y=2r+y

C.y=4r+y(r>0)D.y=r+]

答案C

解析A中x=-1时，j=—5<4,B中t=—\时，y=—3<4,C中〉=4/+：22\^^=4,

当且仅当/=寺时等号成立，D中f=-1时，y=—2<4.故选C.

4.下列不等式中，正确的是（）

4

。+-〃尻〃

A.a24B.2+246

（（।b3

C.y[ab^^~^~D.f+,22小

答案D

4

解析cz<0,则。+,24不成立，故A错；

a=\yb=l,则〃2+从<4曲故B错;

〃=4,b=16,则，元故C错；

由基本不等式可知D项正确.

5.__己,知Q-l,.则(x+10H)(x+2i),,的_最小,z值.为.

答案16

。+10)。+2)。+1+9)(%+1+1)

解析

x+1x+1

Q+1)2+10。+1)+9

x+1

9

=(x+l)+百y+10,

*.*x>—1,/.x+1>0,

9l

・・,（x+1）+-^-+10229+10=16.

9

当且仅当x+l=F7，

x+1

即x=2时，等号成立.

■课堂小结

1.知识清单：

两个不等式：a*2+h2^2ab（a,b£R）,小牌（a,Z?都是正数）.

2.方法归纳：通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式.

3.常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误.

课时对点练注重双基强化落实

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京基础巩固

1.给出下列条件：

①H>0；②。*0；③。>0,fr>0；®a<o,*0.

其中可使3+孑22成立的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析根据基本不等式的条件，“，力同号，

则3>0,故选C.

2.a,OR,则出+从与2同的大小关系是（）

A.a2-\-b2^2\ab\B.a2-\-b2=2\ab\

C.a2+b2^2\ab\D.a2+b2>2\ah\

答案A

解析,：a2+b2-2\ab\=（.\a\~\b\）2^0,

按22|曲（当且仅当|a|=|b|时,等号成立）.

3.若a,6GR且。6>0,则下列不等式中恒成立的是（）

A.a2-\-b2>2abB.a-\-b^2-\[ah

112匕4

C+一+>2

-8->痂-\

。D.ab

答案D

解析,.,。2+。2-2。6=(。一b)220,.'.A错误;

对于B,C,当〃<0,从0时，显然错误；

对于D,，•,岫>0,/+注2、/怨=2,

abab

当且仅当〃=6=1时，等号成立.

4.若0<4<力且则下列四个数中最大的是()

A.gB.a2+b2

C.2abD.a

答案B

解析〃2+按=(〃+与2—2"N(a+b)2—

=2'

砂+〃—2ab=(。一b)220,・••屋+〃22ab.

*.*0<a<b且a+b=l,a<2.Ac^+b1最大.

5.已知〃>0,b>0,且ab=2,那么()

A.a+h^4B.a+h^4

C.屋十按24D.屏+6W4

答案C

解析Vn>0,Z?>0,

：.a+b^2y[ab=2yl2,故A,B均错误.

岸+万白2b=4,故选C.

6.已知a>b>c,则:(a—b)(b—c)与气’的大小关系是.

答案yl(a—b)(b—c)

解析因为c,所以。一比>0,b—c>09

所咛*-空—c)xe」),

当且仅当〃-6=人一C时，等号成立.

7.设a,6为非零实数，给出下列不等式：

①“y》ab；@a5s；③^宇毓+£》2.其中恒成立的是.(填

序号)

答案①②

解析由重要不等式可知①正确；

方-=-T-=-------5------->-4—=，-=U，可知②正

当a=6=—1时，不等式的左边为中=—1,右边为陪=一；，可知③不正确;

2a+b2

当a=l,6=—1时，可知④不正确.

8.设a>0,b>0,给出下列不等式：

@a2+l>a；②(a+£)(b+/24；

③(a+6)@+£)>4；@a2+9>6a.

其中恒成立的是.(填序号)

答案①②®

解析由于a2+l-a=(a-；)2+(>0,故①恒成立；

=1时，“=”成立，故②恒成立；

由于(a+Z?)g+/=2+(+注2+2\^|=4.当且仅当£=*即a=b时，"=”成立，故③

恒成立；

当a=3时，a2+9=6a,故④不恒成立.

综上，恒成立的是①②③.

9.设a>0,b>0,且“+/>=、+%证明：a+b^2.

证明由于a>0,b>0,则a+6=}+(=^^，

由于q+比>0,则“6=1,即有a+622g^=2,

当且仅当a=b=l时取得等号，.,•a+622.

3

10.(1)设0<r<],求4x(3-2x)的最大值；

(2)已知a>b>c,求(a—c)(1、+看0的最小值.

解(l)V0<r<|,...3—2r>0,

4x(3—2x)=2[2x(3—2x)]

3

当且仅当2x=3—2x,即尸;时，等号成立.

V0<|<|,

4x（3—2幻（04<9的最大值为叁.

⑵3-c）（土+士）

=（4—b+b-c）

=i+i+铝+合.

a-bb-c

Va>b>c,.\a-b>09b—c>0,

,,h-c,a—b、b-ca-b

•••2+力+=》2+2a-bh-c=^

当且仅当〃一b—b—c,即2b=a+c时取等号,

/.（61—C）3+£）的最小值为4.

X综合运用

11.若何是正数，则口+/下+6+=〉的最小值是（）

79

A.3B.5C.4D.y

答案C

解析G+野+(>+分

=/+/*+产+/2

21+1+2=4,

当且仅当x=y=乎或x=y=—半时取等号.

12.已知a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是（）

A."叶志2巾B.(a+呢+岳4

a2+b2D

C而^2y[ab-^+b^

答案D

解析2啦，

当且仅当a=b=乎时,等号成立，A成立;

3+庶+霹2M2*=4,

当且仅当。=6时，等号成立，B成立；

•.•。2+〃》2劭>0,

〃2+〃2

...三羸，2砺，当且仅当。=6时，等号成立，C成立;

a+b^2-\fab,a>0,b>0,

当<丽，

a-rba-rb丫

当且仅当。=