高中数学- 函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

《3.1.1导数与函数的单调性》教学设计

一、指导思想与理论依据

高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等

学习数学的方式。注重提高学生的数学思维能力，学生在学习数学和

运用数学解决问题时.，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、

抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。

高中数学课程强调本质，注意适度形式化，但又不只限于形式化的表

达，强调对数学本质的认识，要讲逻辑推理，更要讲道理，努力揭示

数学概念、法则、结论的发展过程和本质。本节课通过典型例子的分

析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，

体会蕴涵在其中的思想方法一一特殊到一般的思想、数形结合的思想、

函数与方程的思想、算法的思想，使学生认识到导数比单调性更加精

确地反映函数的变化趋势，自主探究过程过渡自然，拉近了学生与研

究问题的距离，有利于发挥学生思维的主动性，突破教学难点。

新课程改革注意突出算法的思想，本节课不仅复习了函数单调性

证明的解题步骤，而且抽象概括了利用导数判断函数单调性的步骤，

使学生领悟不同数学知识间的内在联系，认识数学是一个有机整体。

使学生经历模仿、探索、归纳等过程，从而体会算法思想的本质。

二、教学背景

1、学情分析

①学生的基础

学生在高一已经学习了简单基本初等函数的图像及其性质，之后在选

修2-2第二章变化率与导数第二节课学习了导函数的概念，引导学生

理解掌握底数对指数函数的影响，理解指数函数的图象性质，从中发

现底数对指数函数的影响，所以对于已经熟悉指数函数概念和图象性

质的学生来说，学习本节课的难度不大。

②学生的能力

学生通过学习必修一《函数》，学过了画图的基本作图方法是作图法，

首先求出几个点的坐标，然后将其逐个连接起来，就得到函数的图像。

虽然用这样得到的图像比较粗糙，某些弯曲情形往往得不到准确地反

映，但学生还是能够很好的借助函数图象利用数形结合思想解题。对

解决数学问题有一定的能力，并产生不同的学习状态，通过教师启发

式引导，学生自主探究完成本节课的学习。

③学生的心理认知

本节课要求学生的认知水平从形象向抽象、由特殊向一般过渡，思维

能力不断提高，高二学生的自主意识、主动学习的愿望与能力都比高

一增强了很多，重点班学生富有激情、思维活跃，好奇心、好胜心、

进取心都较强。

④学法分析

学生结合实例，借助几何直观主动探究并了解函数的单调性与导数的

关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数

的单调区间。在对比中进行积极思考，在发现中得到学习的乐趣，有

利于提高学生仔细观察问题，不断探究问题的能力，培养良好的习惯。

2、教材分析

教材首先给出了三个一次函数的例子，结合图像，回顾它们

的单调性，通过比较导函数的值与函数单调性的关系，让学生初步领

会导函数符号与函数单调性的关系。在此基础上又给出了两个指数函

数、两个对数函数的例子，使学生对函数的单调性和导函数的正负之

间的关系获得丰富的感性认识，在此基础上抽象概括出导函数的符号

与函数的单调性之间的关系。通过例题的教学，让学生领会领用导数

求函数的单调区间的方法和步骤，并指出：函数的单调性决定了函数

图像的大致形状，让学生思考如何利用导数来画函数的简图。

三、教学目标

1.知识与技能

能利用导数判断函数的单调性，求不超过三次的多项式函数的单调区

间；掌握求函数单调区间的方法和步骤；能由导数信息绘制函数的大

致图像。

2.过程与方法

通过利用导数研究函数的单调区间的探究过程，掌握利用导数研究函

数性质的方法。总结求函数单调区间的一般步骤，认识到导数在研究

函数性质中的作用。培养学生细心观察、认真分析、严密推导的良好

思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从一般到特殊，从感性到理性

的认知过程。

3.情感、态度与价值观

通过用导数方法研究函数性质的教学过程，让学生多动手、多观察、

勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯，认识不同数学

知识之间的内在联系，以及导数的应用价值。

四、重点与难点

重点：掌握导函数的正负与函数的增减性的关系，会求不超过三次的

多项式函数的单调区间。

难点：由基本初等函数的图像，抽象出导函数的符号与函数的单调性

的关系，理解导函数等于零对函数单调性的影响。

五、教学方法

发现式、启发式教学方法，多媒体课件等辅助手段。

六、教学过程导入：判断函数单调性有哪些方法?

函数单调性与导数正负的关系

例1求函麴=3/_3X的单调区间。

变1：求函数,=3*3—3无2的单调区间。

巩固提高：

变2：求函数,=3e"—的单调区间。

JL

变3：求函数>=二的单调区间。

例2、已知导函数的下列信息:

当当』4时,

当x>4,或XI时，

当A=4,或JF1时，

试画出函数f(x)图象的大致形状。

例3、判断下列函数的单调性，并求出单调区间:

(1)f(x)=V+3x

(2)f(x)"-2入-3

(3)f(x)=sirurx;xR(0,IT)

(4)f(jd=2x+3x-24^-1

课堂练习

归纳

课堂小结

作业

学情分析

教师是教学的主导，学生是教学的主体。因此，在教学中要不

断指导学生学会学习。学生经过学习，对基本初等函数掌握较扎实，

前面学习了函数的单调性的基本概念，判断方法、导数的概念，以及

导数的计算，为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。但学生

学习基础还存在较大的分化，应抓住基本概念，强化基础知识、基本

技能、基本方法的训练，循序渐进的提高，因此在引入和例题上注重

梯度、注重类比、注重数学思想。增加学生主动参与的机会，增强参

与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成

为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”

有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学美，体会成

功的喜悦，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应

素质教育下培养“创新型”人才的需要。

针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，

应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明

确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，

采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数

学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，提

高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，形成良好的思维品质。

启发诱导、研究探讨、类比联想、总结反思、学会应用、发展潜能、

形成能力、提高素质。同时给予存在着数学学科基础知识较为薄弱，

对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性，“面向

全体学生”等教学思想，贯穿于课堂教学之中。

效果分析

本节课讲的是数学选修2-2第一章第三单元《函数的单调性与

导数》，课堂上先明确了本节课在高中教材中的地位和作用，出示教

学目标，让学生知道这节课需要完成哪些任务。

授课环节，通过四个函数的图像分析单调性与导数的关系，从

而得出本节课的新授内容。充分发挥了教师是教学主导，学生是学习

主体的教学模式。采用启发式教学，学生学习积极性高，学习兴趣浓

厚，强调数形结合思想、转化思想，培养学生的探究精神，提高语言

表达和概括能力，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，

形成良好的思维品质。

学生的学习基础还存在较大的分化，本节课抓住基本概念，强

化基础知识、基本技能、基本方法的训练，循序渐进，因此在引入和

例题上注重梯度、注重类比、注重数学思想。增加学生主动参与的机

会，增强参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法。使

学生真正成为学习的主体。

针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，

应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明

确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，要求学生能独立求解函

数的单调区间。

本节课还存在很多不足，整节课老师讲解得多，学生自主学习

时间少，还没有真正的把课堂还给学生，学生基础存在很大差别，但

是，教师没有实现真正的因材施教和分层次教学，不能让所有学生吃

好吃饱。

对新的教学模式缺乏尝试，是一节比较传统的一节课。

教材分析

1教材的地位和作用

“函数的单调性和导数”这节新知在教材是选修2—2,本节计划两

个课时完成。首先明确考纲的要求了解函数的单调性和导数的关系；

能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函

数一般不超过三次）。在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求

单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中

利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养

学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。激发学生独立思考和创

新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生

的自我潜能。

2教学内容

本节课的主要教学内容是导数在研究函数中的应用（1）一函数的单

调性与导数。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结

合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函

数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化

为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单

调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类

讨论的数学思想。

3教学目标

（一）知识与技能目标:

1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；

2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。

（二）过程与方法目标：

1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。

2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转

化思想、分类讨论的数学思想。

（三）情感、态度与价值观目标：

1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，

2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。

4教学重点，难点

教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。

教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。

§1.3.1函数的单调性与导数评测练习

一、讲授新课

1.通过观察图像，我们可以发现:

(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度〃随时间r的增加而

增加，即姐)是增函

数.相应地，

=//(/)>0.

(2)从最高点到入水，运动

员离水面的高度〃随

时间r的增加而减少，

即〃⑺是减函数.相应

地,v(0=/i(?)<0.

2.函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图3.3-3,导数八%)表示函数/(x)在点(%,%)处的切线的斜率.

在x=x。处，/'(xo)>0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(x)在

X。附近单调递增；

在X=X处，f(x0)<0,切线是“左上右下”式的，这时，函数了⑴

在王附近单调递减.

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(。,与内，如果f(x)>0,那么函数

y=/(x)在这个区间内单调递增；如果八x)<0,那么

函数y=/(x)在这个区间内单调递减.

3.求解函数y=/(x)单调区间的步骤:

(1)(2)(3)

(4)

三.典例分析

例1.求函器3--3”的单调区间。

变1：求函数了=3/一3/的单调区间。

变2：求函数卫=3/-3”的单调区间。

变3：求函数y==的单调区间

例2已知导函数f(x)的下列信息：

当1〈尤<4时，f'(x)>0；当尤>4,或x<l时，f'(x)<0；

当x=4,或x=l时，f(x)=O试画出函数y=/(x)图像的大致形状.

解:

例3.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.

(1)f(x)=x3+3x；(2)f(x)=x2-2x-3

(3)/(x)=sinx-xxe(O,〃)；(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1

解：

(A)

例4.如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面

四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度人与

时间r的函数关系图像.

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还

可以看出其变化的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢

的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数

在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，

函数的图像就“平缓”一些.

如图3.3-7所示，函数y=/(x)在(0,。)或(a,o)内的图像“陡峭”，

在。,+8)或(-00,0)内的图像"平缓

四、课堂检测：

1.确定下列函数的单调区间

2

(1)尸f—9/+24X(2)y^3x—x(3)y=x-x(4)

y=x-x3

2、设y=f，(x)是函数y=f(x)的导数,y=f，(x)的

图象如图所示，贝IJy=f(x)的图象最有可能是()

《导数与函数的单调性》课后反思

经过认真研究课程标准，考试大纲，解读教材，了解学生，上

了本节课，收获颇多。

一、本节课的成功之处：

1.注重教学设计

本节课由于提前写了教学设计，并且经过了精心的修改，通过课堂教

学的实施，能够把新课标理念渗透到教学中去，体现了以学生为主体,

以教师为主导的教学模式，学生能积极思考，思维敏捷，合作学习氛

围浓厚，是一堂成功的教学设计课。

2.注重探究方法和数学思想的渗透

教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的一次，二次函

数为研究的起点，从图像上发现函数的导数的正负与函数单调性的关

系，再从理论上探究验证，这个过程中既让学生获得了关于新知的内

容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体

验与感知。同时也渗透了归纳推理的数学思想方法。培养了学生的探

索精神，积累了探究经验。

3.突出学生主体地位，教师做好组织者和引导者

教师在整个教学过程一直保持着组织者与引导者的身份，通过抛

出的若干问题，促使学生主动探索、积极思维。充分发挥学生的主动

性，让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法，提炼规律。

并体验发现规律的喜