人教A版（2019）高中数学必修第一册5.3诱导公式

5.3诱导公式

教学目标：

1.理解诱导公式二一四的推导过程，识记诱导公式.

2.理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行

简单三角函数式的化简，促进学生直观想象、逻辑推理与数学运算素养的发展，达到水平一

的要求.

教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的思想方

法.

教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意性中发现问题，提出研究方法.

教学过程：

(-)复习导入

教师：回顾利用单位圆定义三角函数.

三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，显然的一个结论就是终边相同的角

的三角函数值相等，由于圆是对称图形，利用这一点能得到什么结论呢？

(-)探究一：诱导公式二的推导

如图，在直角坐标系内，设任意角a的终边与单位圆交于点凡

(1)作关于原点的对称点以桃为终边的角£与角a有什么关系？

角,，。的三角函数值之间有什么关系？

(2)如果作几关于瞽由(或碎由)的对称点儿(或),那么又可以得到什么结论?

教师提问：以利为终边的角力可以表示成什么形式？

学生：0=兀+a+2k冗、kGZ.

教师：点H与幺在位置上有什么关系？

学生：关于原点对称.

教师：点尸与12两点的坐标间有什么关系？

学生：横坐标，纵坐标分别互为相反数.

教师：知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角。与角»的三

角函数值之间的关系吗？

学生：思考，交流，讨论.

教师：设6（羽y）,则g（-羽-y）,根据三角函数的定义可知：sina=y,cosa=x,tana=—,

sin(7i+cr)=-y,cos(^+a)=-x,tan(^+a)=—，从而得到公式二.

x

sm(7i+a)=-sina,cos(乃+a)=-cosa,tan(万+a)=tana,

公式二:

sin(1+a)=-sina

cos(乃+a)=-cosa

tan(1+a)=tana

探究二：诱导公式三的推导

教师：除了由对称得到外，角〃+a还可以看作是角a的终边按逆时针方向旋转角兀得到的.

你能类比公式二，证明公式三和公式四吗？

学生：独立思考，并自主探究给出证明.

教师：通过多媒体展示证明过程.

公式三:

sin(-a)=-sma

COS(-Q)=cosa

tan(-cr)=-tana

证明：如图，作A关于刷的对称点儿则以。鸟为终边的角为f,设［（x,y）,则与（羽-丫），

VAI

根据三角函数的定义可知:

sin(-cr)=-sina

sina=y,cosa=x,tanQ=—，COS(-Q)=cosa

x/、

tan(-a)=—tana

从而得到公式三.

探究三：诱导公式四的推导

sin(4—a)=sina

教师：公式四：cos(7T-a)=-cosa

tan(a-a)=-tana

证明：如图，作A关于谕的对称点儿则以为终边的角为设耳(%»),则月(-%,y).

根据三角函数的定义可知：sina=ycosa=x,tan〃=)，

x

sinQr-a)=sina,cos(^-a)=-cosa,tan(»-a)=-tana.从而得到公式四.

教师：你能概括一下他们就公式二，三，四的思想方法吗？

学生：思考回答

师生：归纳得出结论.

圆的对称性—►角的终边的对称性

对称点的角之间的

数量关系数量关系

、4一

诱导公式

教师：公式一，二，三，四的共同特征，4+左・2万(左€2),-%%±(/的三角函数值，等于a的

同名函数值，前面加上一个把。看成锐角时原函数值的符号.

(三)课堂练习

1.计算下列小题：

(1)sin(-1200°)

(2)tan945°

(1)答案：1

sin(-l200°)=-sinl200°=-sin(3x360°+120°)=—sin120。=—sin(l80°-60°)

•々co6

--sin60=------

2

(2)tan945°=tan(2x360°+225°)=tan225°=tan(l800+45。)=tan45°=1

2.化简:(a—2")•cos(2乃一a)

sina..

------smacosa=sin-2a

cosa

3万

sin(df-3")cos(2〃-a)sin(-aH----)

3.计算：-------------------------------2-

cos(一乃-a)sin(一〃-a)cos(3〃+a)

套案.原式：(-sine)cosa(—cosa)_]

(-cosa)sina(-cosa)

（四）课堂小结

本节课我们主要学习了哪些内容?

1.知识：诱导公式二，三，四.

2.思想方法：引导学生从单位圆的对称性与任意性中发现问题，提出研究方法.

板书设计：

公式二：

sinQr+a)=—sina

cos(»+c