高中数学 数列极限素材 新人教版

函数、数列以及极限的综合题

例已知函数y=/(x)的图象是自原点出发的一条折线.当〃WyW〃+l(〃=0,l,2,3)

时，该图象是斜率为bn的线段(其中正常数6/1),设数列｛x“｝由/(X,,)="(〃=1,2,…)定

义.求：

(1)求X]、x2和xn的表达式；

(2)求/(x)的表达式，并写出其定义域；

(3)证明：y=/(x)的图像与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.

分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推

理和综合的能力.

(1)由斜率分式求出石、x2,同样由斜率公式求出关于X,的递推式，然后求出相，(2)

由点斜式求出-J段的/(x)的表达式，用极限的方法求出定义域.(3)y=/(x)与

y=x没有交点，只要b>l时/(x)>x,或0</?<1时/(x)<x恒成立，当6>1,由于

/(x)—x>/(x„)-xn,只要证/(%„)-%„>0.

解：(1)依题意/(0)=0,又由/(%)=1,当OKyKl时，函数y=/(x)的图象是

斜率为=1的线段，故由//)二八。)=i得％=1.

玉-0

又由/(々)=2,当IKy<2时，函数y=/(x)的图象是斜率为b的线段，故由

&上&»=即X2-X1=4得％=1+，.

x2-%1bh

记方=。•由函数y=fM的图象中第n段线段的斜率为bn+],故得

X"-X"T

又/(X")-〃J(X“T)=〃T；

•4•X„~Xn-\=(：)"T

,n=1,2,--•

由此知数列｛%-乙j为等比数列，其首项为1,公比为L

b

〃1［匕一(

因〃H1,得相=》('尢-X,z)=1+-+•••+—r=——

k=\bbb

(2)当0<y〈l时，从(1)可知y=x,即当OWxWl时，f(x)=x.

当〃几+1时，即当天〃Wx«时，由(1)可知

n

/(%)=〃+b(x-Xn)(xn<x<xn+},n=1,2,3,­•­).

b-(:)"一

为求函数/(x)的定义域，须对X”=——也—(〃=1,2,3,…)进行讨论.

b-\

1yb

当b>1时，limx=lim--------=-----;

〃T8nM—>00b—1b—1

O<Z?<1时，〃foo,也趋向于无穷大.

b

综上，当。〉1时，y=/(x)的定义域为［0,——);

b-1

当0<人<1时，y=/(x)的定义域为［0,+8).

(3)证法1首先证明当6<1,1<x<上-时，恒有/(x)>x成立.

b-\

对任意的XG(1,—2—),存在X“使X“<X<X“+］,此时有

b-\

/(x)-/(%„)=b'\x-xH)>x-x„(n>1),

：.f(x)-x>f(xn)-xn.

又/(x.)=〃〉l+g+…+产=%，

：.f(xn)-xn>0,

：.f(x)-x>f(xn)-xn>0,

即有/(x)>X成立.

其次，当力<1,仿上述证明，可知当X>1时，恒有/(x)<x成立.

故函数/(x)的图象与y=x的图象没有横会标大于1的交点.

证法2首先证明当/?>1,1<》<—2_时，恒有/(x)>x成立.

6—1

用数学归纳法证明：

(i)由(1)知当〃=1时，在(L/]上，y=/(x)=1+8(工一1),所以

f(x)-x=(x-1)(/?-1)>0成立.

(ii)假设〃=攵时在(8,4+J上恒有/(x)>x成立.

可得/(Xp)=k+l〉k1,

在®+i，々+2]上，f(x)=k+1+bk+'(x=4+1),

k+

所以f(x)-x=k+\+b'(x-xk+[)-x

—S*3—l)(x—X*+])+(A+1—X*+l)>0也成立..

由(i)与(证)知，对所有自然数〃在(当/“+』上都即1<尤<2时，恒有/(x)>X.

b-1

其次，当。<1,仿上述证明，可知当X<1时，恒有/(x)<x成立.

说明：本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学

知识、思想方法解决问题的能力.解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能

力，本题的(2)用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不

过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为0.02,三人平均不足1

分，创了近年高考得分低的记录.

命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置.本题得分低一

方面是试题“超前”，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的

模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法.以后坚持考不等式证

明题的方向不会改变，试题难度会适度降低.

判断数列极限命题的真假

例判断下列命题的真假：

(1)数列0,1,0,1,…，1+(7),…的极限是0和1.

2

(2)数歹！H,--------------r,,,,,(—l)，，+l-----T，…的极限是0-

22-22

(3)数列sinl,sinL,sin,,…，sin',•一的极限不存在.

23n

（4）数列…,/府的极限是0.

33/315八

分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化

趋势.

解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命

题.

（2）随着〃无限增大，数列1）"M•击｝的项无限趋近于0,因此它的极限是0,

是真命题.

（3）随着n无限增大，数列｛，｝的项无限趋近于0,因此数列卜n，,无限趋近于0,

是假命题.

（4）有穷数列无极限，是假命题.

说明：（3）中容易认为极限不存在.

（4）容易错误认为是真命题，尽管数列1—j■随着n的增大而逐渐趋近于0,但由于

数列只有10001项，是有穷数列，不存在极限.

根据数列的极限确定参数的范围

例若lim［匕=0,则。的取值范围是（）

2a）

A.a-1B.ac-l或〃C.-l<a<—D.a<一工或a>l

333

分析：由lima"=0（a为常数），知同<1,所以由已知可得上@<1,解这个不等

is2a

式就可求得〃的取值范围.

左力u1-（1-八/日1-〃1

解：由hm----=0,得----<1,

2a）2a

所以<|2tz|,

两边平方，得：（1一。）2<4/,

2+2a-1〉0,（3a-l）（a+1）>0,

所以a<一1或

3

答案B

\—Cl

说明：解题过程容易误认为只有——=0,得。=1,错选A.解决含有涉及到求字母

2a

取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题.

分析数列求极限

例已知数列1.9,1.99,1.999,…，1.99--99,

(1)写出它的通项％;

(2)计算1%-21；

(3)第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.01?

(4)第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.001?

(5)指出这个数列的极限.

分析：观察数列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，简化数列通项的一般形式，再

求极限.

解：(1)可将数列改写为

”个

(2-0.1),(2-0.01),(2-0.001),--(2-0.00--01),-

于是此数列的通项勺=2—--

"10"

(2)1%—21=1(2---)-21=­.

"10"10"

(3)令1见,—21<0.01即」一<0.01,解得n>2

"10"

故这个数列的第2项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.01.

(4)令1%-21<0.001即一^-<0.001,解得〃>3

"10"

故这个数列的第3项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.001.

(5)lim(2-----)=2

-10〃

说明：可以通过特殊数帮助理解无限接近的意义，从而帮助求解极限.

求数列奇数项和的极限

例数列｛%｝的前n项和记为S“，已知a„=55„-3(/JGN+),求

lim(q+%+…+生〃-1)的值•

分析：为求4]+%+…+。2”-1当〃-8的极限，应先求出凡的表达式.从已知条件中

给出4与S〃的关系式，可以利用S.-S,I=>2)，设法求出％的表达式.

3

解：由q=S]及〃[=5S]—3=5q—3,可得〃]=].

又〃22时，％=S“—S’-，则a“=5S,—3=;a,i—5S,i—3

两式相减，得an=a,”=5an,an=一：*

31

于是，数列｛%｝是以W为首项，公比为一I的无穷等比数列.

进而可得，数列为,%,%，…，。2,1，…，是以卬=』为首项，公比为4=(-4]=-!-的

4I4)16

无穷等比数列，于是可求出极限.

3

[./4124

lim(«,+a+---+a_,)=~~~

"T832n1_•155

16

说明：这同1999年全国高考文史类试题.对于这类求极限的题目，必须先用数列的性

质求出%的通项公式，或确定数列的特征再求极限.由于所求数列是一个公式时<1的无

穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式

s=『4<i).

i-q

等比数列和的极限

已知数列｛%｝满足条件：q=l,a2^r(r>0),且｛%%+J是公比为g(q>0)

的等比数列.设a=a,+a(n=1,72,7…)，求a与lim—,期S=b.+b+---+b.

n2zn-iz2nHcni/2H

,18Sn

解：因为4113.=31=g,

aaa

„n+\„

所以也L="2"+l+°2"+2=。2"一冈+"2,4=q=0.

b""2"-l+a2na2n-\+42”

仇=1+rN0,所以｛bn｝是首项为1+r,公比为q的等比数列，从