高中数学构造函数（导数单调性）

一、选择题

1.已知函数Ax),p(x)在区间［a,上均有/(x)<4(M,则下列关系式中正确的是()

A.Xx)+/(d)>p(x)+［。)

B.KM-"怩戊刈-5(d)

C

D.Xa)-4。心"。)-g(a)

2.已知函数4x)定义在R上，f(x)是Kx)的导函数，且f(x)<i,/(1)=1,则不等式4MW+三的解集

222

为()

A.{也<・1}

B.{A|A>1}

C.{MA<-1或A>1}

D.{A|-1<A<1}

3.XM是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足“(M+痴女，对任意的正数a、b、若a<b,

则必有()

A.b1{b)<aKa)

B.bl［a)<aKb)

C.aKa)<bKb)

D.aM))<bKa)

4.若定义在R上的函数Ax)的导函数为f(x),且满足/(MX*,则X2015)与“2013)e2的大小关系

为()

A.42015)〃2013)e2

B./(2015)=X2013)e2

C.42015)X2013)e2

D.不能确定

5.已知y=Ax)是定义在R上的函数，且41)=1,心)>1,则4x)>x的解集是()

A.(0,1)

B.(-1,0)U(0,1)

C.(1,+s)

D.(-00,-1)U(1,+oo)

6.设函数/(川是奇函数Xx)(xeR)的导函数，八1)=0,当心。时，“(X)-4x)<0,则使得Ax)>0成

立的x的取值范围是()

A.(-co,-1)U(O,1)

B.(-1,O)U(1,+8)

C.(-<»,-1)U(-1,0)

D.(O.l)U(l,+oo)

7.已知函数4x)(xGR)满足%x)Xx),则()

A"2)<e2K0)

B.仁)氐2勒

C.@=e2施)

D.X2)>e2^0)

8.已知定义在实数集R上的函数4x)满足川)=2,且AM的导数f(x)在R上恒有f(x)<l(xeR),则

不等式”x)<x+1的解集为()

A.(1,+oo)

B.(-oo,-I)

C.(-1,1)

D.(-00,-1)U(1,+oo)

9.函数Ax)的定义域为R,X-1)=2,对任意xeRJ(M>2,则4x)>2x+4的解集为()

A.(-1,1)

B.(-1,+oo)

C.(-oo,-1)

D.(-oo,+oo)

10.设Ax)、p(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当内0时，，(x)p(x)+Ax)或x)>0，且«-3)

=0,则不等式Xx)p(M<0的解集是()

A.(-3,0)U(3,+8)

B.(-3,0)U(0,3)

C.(-oo,-3)U(3,+oo)

D.(-«),-3)U(0,3)

11.设函数耳*)=a是定义在R上的函数，其中Ax)的导函数/(X)满足f(x)<AM对于xGR恒成

立，则()

A"2)"2触"2016)*2。16仙

B.42)«2内)，42016)X20164。)

C.^2)<e2^0),^2016)<e20i6^Q)

D.A2)>e240),X2016)<e20i64。)

12.函数4x)的定义域为R,-2)=2017,对任意xCR,都有"x)<2x成立，则不等式KM>*+2

013的解集为()

A.(-2,2)

B.(-2,+oo)

C.(-oo,-2)

D.(-oo,+co)

13.设Ax),p(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且，(x)p(x)-4x)a(x)<0,则当a<x<b时有

()

A.4x)4x)>X0)a。)

B.4x)p(a)Xa)ax)

C.(x)4b)>4Z?)[x)

D./[x)g(x)>Ka)g(a)

14.定义域为R的可导函数y=Ax)的导函数，(x)满足Kx)>f(x)，且仙=2,则不等式AM<2e*的解

集为()

A.(-00,0)

B.(-8,2)

C.(0,+8)

D.(2,+oo)

15.已知函数y=Kx)是定义在实数集R上的奇函数，且当x5-8,0)时，x/(x)4-x)成立(其中

f(x)是Nx)的导函数)，若a=，b=M),c=(Iog2i)^log2i)，贝ija,b,c的大小关系是()

44

A.c>*b

B.c>b>a

C.a>b>c

D.^>c>b

16.已知"x)是定义在R上的奇函数，八1)二-1,且当A>0时，有M(x)>"x),则不等式Xx)>x的

解集是()

A.(-1,0)

B.(1,+功

C.(-1,O)U(1,+8)

D.(-oo1-1)U(1,+oo)

17.已知定义域为R的奇函数y="x)的导函数为y=f(x)，当用0时，f(x)+®>0，若H二解)，6

X

=・2八2),c=(lni)Xlni)，则a,6,c的大小关系正确的是()

A.a<c<b

B.b<c<a

C.a<b<c

D.c<a<b

18.已知定义在(0,5)上的函数Ax),f(x)为其导函数，且IxKaxAianx恒成立，则()

A.03<大0

63

B

43

C.&夭©>如)

64

D./(l)<2/(n)-sin1

6

19.设Ax)是定义在R上的奇函数，且解)=0,当心0时，有必匕®<0恒成立，则不等式Xx)>0

X2

的解集是()

A.(-l,0)U(l,+8)

B.(-1,0)U(0,1)

C.(-oo,-1)U(1,+oo)

D.(-o),-1)U(O,1)

20.已知定义在R上的可导函数Ax)的导函数为，(x),满足，(x)〃x),且Ax+2)为偶函数，44)二

1,则不等式Ax)<ex的解集为()

A.(-2,+oo)

B.(0,+oo)

C.(1,+8)

D.(4,+oo)

21.函数的的定义域为R,-2)=2013,对任意x£R,都有f(Mv2x成立，则不等式心)>声+2

009的解集为()

A.(-2,2)

B.(-2,+oo)

C.(-oo,-2)

D.(-8,+8)

22.已知AM,p(x)都是定义在R上的函数，(沁,AM=axg(x),r⑴+r(_i)=

g(i)g(F

12,则〃2)等于()

3g⑵

A.a2

B.2.

a2

C.9

D.i

9

23.定义在(0,+8)上的单调递减函数Kx),若AM的导函数存在且满足3>-x,则下列不等式成

p(x)

立的是()

A.3"2)<2尺3)

B.3X3)>4X4)

C.3:4)v4@

D./(2)<2。)

24.已知定义域为R的奇函数Ax)的导函数为f(x)，当"0时，“M+⑻>0,若a=i/(i),b=-

x22

2;(-2),c=ln241n2),则下列关于a,/7,c的大小关系正确的是()

A.a>b>c

B.a>c^>b

C.c>b>a

D.b>Oa

25.已知Kx),p(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：

=g(x)(a>0,且存1);

②/x)对；

③4x)•或.

若f(i)+f(-i)=e,则a等于()

gM9(-，)2

A.i

B.5

4

C.2

D.2或三

2

26.已知Ax)是定义在R上的函数，且满足。)=5,对任意实数x都有f(x)<3,则不等式4x)<3x+

2的解集为()

A.(-oo,0)

B.(0,+00)

C.(-8,1)

D.(1,+◎

二、填空题

27.已知函数Kx)是定义在R上的奇函数，其中")=0,且当A>0时，有蜡行)-"0,则不等式

4x)>0的解集是.

28.已知函数Ax)满足Ax)=K-X),且当xe(-8,0)时，/(川+*/(*)<0,a=2。［"2。"),6=(In

2)/ln2),c=(log2i)u(log2i)，则a,Z?,c的大小关系是.

3S

29./U)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足xf(x)-XA)>0,对任意正数m,n,若佗n,

则mRn)与6/n)的大小关系是mKn)〃X/n)(请用W,N或=)

30.函数Ax)的定义域为R,八1)=1,对任意xGR,/(%)>3,则Ax)>3x+4的解集为.

31.定义在R上的函数Ax)满足Al)=1,且对任意xCR都有/(x)<i,则不等式Klgx)>igx+2的解集

33

为.

32.设函数Kx)是定义在(-8,0)上的可导函数，其导函数为f(x),且有3/U)+x/(x)>0,则不等式

(x+2015)3仃+2015)+27八3)>0的解集是.

33.已知可导函数Ax)(xGR)的导函数/(x)满足/(x)Xx),则不等式AMX0)ex的解集是.

34.设AM是定义在(-兀,0)U(0,兀)上的奇函数，其导函数为f(x),当0<A<n时J(x)cosx-

sinx4M>0,则不等式HMcosxcO的解集为.

35.已知函数y=i[x),对于任意的xG[0,2)满足，(川cosx+AMsiiuX),则下列不等式中成立的有

①碑如“工)；②、国E)W©；③仙<\磔0；④人工)、弓如•

3464463

三、解答题

答案解析

1.【答案】B

【解析】据题意，由f(x)〈或x)得f(x)-。(川<0，故Hx)=AM-以x)在la，加上为单调递减函数，

由单调性知识知，必有F｛亚Rb)，即4x)-^x)>Kb)-p(Z?),移项整理得：Xx)-Kb)>^x)-/加.

2.【答案】B

【解析】AX)<«+1,

22

••XM・£*口，

22

令p(x)=Xx)-x,g(l)=i,

22

Ap(x)<p(l),,・R(M=f(x)-1<0,

2

・••/X)为减函数,：.X>1.

3.【答案】A

【解析】设£x)=xXx),%e(0,+oo),

则c/(x)=x"x)+Hx)<0,

・••]x)在区间xe(0,+8)单调递减或[x)为常函数，

a<b,/.p(a)>p(d),艮|1a^a)>b/[t>).

4.【答案】C

【解析】令Hx)=e-xNx),

产(x)=e-Xf(x)-e-Vx)=e-4/(x)-Ax)),

••"(x)Xx),.•.尸(x)>0,

・••Hx)在R上为增函数，

/.F(2015)>^2013),

；.e-2015A2015)>e-201342013),

，氏2015)X2013)e2.

5.【答案】C

【解析】设p(x)=AM-x,

因为<1)=1,f(x)>l,

所以/)=。)-1=0,Gf(x)=f[x)-1>0,

所以/X)在R上是增函数，且/1)=0.

所以Xx)>x的解集,即/x)>0的解集(1,+8).

6.【答案】A

【解析】记函数g(x)=f(x2,则d(x)=,因为当A>0时，xf{x)-XA)<0,故当A>0时，

Jrx2

或M<0,所以p(x)在(0,+8)上单调递减；又因为函数AM(xGR)是奇函数，故函数p(x)是偶函

数，所以口¥)在(-00,0)上单调递增，且a-1)=。1)=0.当0<A<l时，3»>0,则Ax)>0；当A<

-1时，[川<0,则Xx)>0,综上所述，使得4M>0成立的x的取值范围是(-8,-l)U(0,l).

7.【答案】D

【解析】设Hx)=r(x),则F(X)=r'a)-r(x)>o,

，Hx)在R上为增函数，故&2)>只0),

•,力2户八0),

e2eD

即@>e2X0).

8.【答案】A

【解析】不等式1可化为大x)-K1,设g(x)=Kx)-x,

由题意J(x)=f(x)-KO,]1)=41)-1=1,

故原不等式％x)<p(l),故A>1.

9.【答案】B

【解析】令5(x)=Ax)-(2x+4),

则0(x)=/(x)-2>o,

故在R上单调递增.

又3-I)=H-1)-2=0,故当A>-1时，5(x)>0,即4x)>2x+4.

10.【答案】D

【解析】设Hx)=Xx)p(x),

■:当烈0时，户(x)=/(x)[x)+心以(护0,

.♦•Hx)在A<0时为增函数.

'/H-A)=X-x)4-x)

=-,

故Hx)为奇函数，，Hx)在(0,+8)上亦为增函数.

已知3-3)=0,必有K-3)

=-H3)=0.

构造如图的Hx)的图象，可知的解集为

xe(-8,-3)U(0,3).

11.【答案】C

【解析】•••函数Hx)=g的导数

尸(x)=fams?=尸3-八<1<0,

(«x)2肝

•••函数Hx)=g是定义在R上的减函数，

那

.,.H2)<H0),即®<段,故有X2)<e2^0).

同理可得(2016)«2。16«)).

12.【答案】C

【解析】令HM=Ax)-*-2OI3,

则尸(M="X)-2A<0,

，Hx)在R上为减函数，

又只_2)=八2)-4-2013=2017-2017=0,

...当烈-2时,-2)=0,

•••不等式Xx)>*+2013的解集为(-8,-2).

13.【答案】C

【解析】因为[f⑸]'=r'Cr)g(x)-f(x)g'(x),

9(*)g2(*)

又因为"x)p(x)-AM0(x)<O,

所以3在R上为减函数.

gW

又因为a<x<b,所以f(a)>f(*)>fs),

g(a)g(x)9(b)

又因为4川>0,]x)>0,所以Ax)a0)>Xb)p(x).

14.【答案】C

【解析】设.<XX)=f(x),

产

则4(x)=r，(x)-f(x),

■:Ax)>f(x),

A^(x)<o,即函数单调递减.

・"0)=2,••./())=仙=2,

则不等式等价于ax)</0),

••・函数/x)单调递减.

."-A>0，，不等式的解集为(0,+8).

15.【答案】A

【解析】：函数y=Ax)是定义在实数集R上的奇函数，

.,.当xd(-8,0)时，xf(x)<K-X)等价为xf⑻+Ax)<0,

构造函数或=,

则O(M=xf(x)+Xx)<0,

，当xd-00,0)时，函数p(x)单调递减，

且函数/X)是偶函数，

当xe(0,+8)时，函数#x)单调递增，

则a=回@=人0,b=<1)=P(1),

c=(log2i)Xlog2i)=P(log2i)=J-2)=5(2),

444

,•,1<V3<2>

­,•P(1)<P(73)<P(2),

即txa<c.

16.【答案】C

【解析】：Kx)是定义在R上的奇函数，

令p(x)=3,...ax)为偶函数，

X

又当A>0时，M(x)>]x),

c/(x)=,

x2

.,./X)在(0,+8)上是增函数，在(-8,0)上是减函数，

又K-l)=-1,.'.^1)=1，5(1)=1,

当心0时，•.•不等式Ax)>x,

X

二有X>1;

当K0时，二不等式/W>X,

，ra)<i,即-1)，

X

有-1<A<0；

当x=。时，"0)=0,不等式Ax)>x不成立，

综上，不等式4x)>x的解集是(-l,0)U(l,+00).

17.【答案】D

【解析】设"X)=xKx),a(x)=Nx)+xf(x)

=Af<(X)+r(x)],

X

时，f(M+®>0,

X

A>0时，0(M>O,

・・・ax)在(0,+8)上单调递增，

・・・/u)为奇函数，

:.b=-2/(-2)=2/(2),

c-(Ini)Xlni)=(-In2)八In2)=(In2)「n2),a-/(I)=1/(1),

Vin2<1<2,p(x)在(0,+8)上单调递增，

Ap(ln2)<p(l)<p(2),

即(In2)^In2)<Ul)<2^2),

c<a<b.

18.【答案】A

【解析】因为(0,n),所以sin*>0,cos%>0,

由KM</(Mtanx，得AMcos胫qMsinx,

即f(Msinx・XA)COSA>0.

令lx)=fg,(0,更)，

sinx2

则gf(x)=r'Cx)Sinx-f(*)cogx>0,

sin2x

所以函数[8在xe(o,©上为增函数，

则欠)<把)<[1)<兔),

643

即既<设<9</令

所以2a)<拒4冗)</1)<2人更),

64sinls/a3

所以0K)〃工)，、侬亦在3，

6343

在/⑵〈足)，Xl)>2^n)-sin1,

646

故A正确，B、C、D错误.

19.【答案】D

【解析】因为当出。时，有“3-3)<0恒成立,

即［皂立］'<0恒成立，

X

所以3在(0,+8)内单调递减.

X

因为。)=0,

所以在(0,1)内恒有Xx)>o;在(1,+8)内恒有Ax)<0.

又因为Xx)是定义在R上的奇函数，

所以在(-8,-1)内恒有4M>0；在(-1,0)内恒有Xx)<0.

不等式XM>0的解集为(-8,-l)U(O,l).

20.【答案】B

【解析】•；y=Xx+2)为偶函数，；”=心+2)的图象关于x=0对称，

•'•/=X*的图象关于x=2对称，

."4)="0),

又••F4)=1,•••40)=1,

设p(x)=f(x)(%eR),

铲

贝|J。(川=r'a)K-f(x)7=r'a)-f(x),

(02/

又•."(x)<Ax),f(x)-4x)<0,

，，y=p(M在定义域上单调递减，

/[x)<ex,.,.p(x)<1,

又,.,5(0)=®=1,

屋

p(x)<p(O),.,.A>0.

21.【答案】C

【解析】令Jx)=KM-*-2009,贝ijsf(x)=f(x)-2/0,

二函数«x)在R上单调递减，而4-2)=2013,

.•.3-2)=八2)-(-2)2-2009=0.

•••不等式4x)>#+2009,可化为-2),

.'.A<-2,

即不等式XX)>A2+2009的解集为(-8,-2).

22.【答案】D

【解析】*.*M,

:.fw=ax,

gW

•."(x)[x)yx)a(M,

，[/⑶了=r'o)ga)-f(x)9，w<o,

g(x)a2(x)

即函数痣="单调递减，即0<小1.

g(x)

又fa)+f(F=M,

9(1)g(-i)3

则2+a=io,解得a=三或a=3(舍去).

a33

即f(x)=(l)x,

ffW3

•'♦f⑵=(仁2=3.

9(.2}39

23.【答案】B

【解析】设/x)=xKM,贝(J或川=Xx)+xf{x),

因为4x)为定义在(0,+8)上的单调递减函数，

所以xe(0,+8)时，/(M<0,

由f(*)>-X得f(x)+A>0,则xf'a)+f(x)>0,

f'Wf'WfG)

则当e(o,+8)时,Kx)+x/(M<0,即W,

所以函数p(x)在(0,+8)上递减，

则p(3)>p(4),即3K3)>4>4).

24.【答案】D

【解析】令Jx)=x4x),贝U1(X)=Xx)+xf(x).

•.,当"0时，/(x)+9>0,

X

：.当A>0时，xf(x)+AM>0,

即当心0时，a(x)>0,

因此当A>0时，函数或X)单调递增.

•..函数Ax)为奇函数,：.b=-2八2)=242),

又c=In241n2),

V2>ln2>i,

2

•••p(2)>S(ln2)>p(i),

即b>c>a.

25.【答案】C

【解析】由①得f(x)=2_,

gMaX

flWg2w

由②ax)翔，③Nx)•以其"(M-p(x),

得/(xA/x)-Ax)©(MO,

可知[，(*)]'=r'(x)ga)-f(x)g，(xF。,

gWg2g

即函数型在R上单调递减，

gW

即a>T.

若fa)+f(T)=W,

g(1)5(-1)2

贝!|±+_j_==+a=s,

aa-1a2

即2#-5a+2=0,解得a=2或a=',

Va>l,A^=2.

26.【答案】D

【解析】记5(X)=4A)-3X,

•.•对任意实数x都有f(x)<3,

：.Sf^=f(x)-3<Q,

••.[X)是定义在R上的单调递减函数.

・"1)=5,

‘贝)二”1)■3=5-3=2.

*•*XM<3x+2,

Xx)-3A<2,

Ap(x)<p(l).

・・・/x）是定义在R上的单调递减函数，

AA>1.

27.【答案】(-1,O)U(1,+8)

[解析】=,

XX2

即冷。时，⑻是增函数，

X

当A>1时®>q)=0,Xx)>0；

X

0<A<1时,/t(*)<[1)=0,XA)<0.

x

又(X)是奇函数，

所以-1<A<O时，=-X-川>0；

A<-1时，"X)=-X-A)<0.

则不等式Ax)>0的解集是(-1,O)U(1,+00).

28.【答案】c<a<b

【解析】设函数/x)=Mx),由函数y=4x)是R上的偶函数，v=x是奇函数，

得/Xx)=MM是R上的奇函数，

由x@(-8,0)时，//(M=4x)+X/(A)<0成立，

.♦./Xx)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递减，

V3>2°i>l,0<ln2<1,

|log2i|=3>201>ln2,

s

即/j(3)</j(20.i)</j(ln2).

又a=20LW),6=ln(2)•仙12),

c=(log2i)-Xlog21),

88

c<a<b,

29.【答案】＜

【解析】令Hx)=f(X),

尸(x)=2_W(x)・Ax)],

X2

,**xf(角-<A)>0,

•e•F(A)>0,即Hx)是(0,+8)上的增函数,

即当咫/7>0时，Rrri^Rri),

,从而m1[n)<nKnD.

nm

30.【答案】(-1,+8)

【解析】设&x)=4x)-(3x+4),

贝(1H-1)=A-1)-(-3+4)=1-1=0,

又对任意xGR,f(x)>3，二尸(川=f(x)-3>0,

，Hx)在R上是增函数，

.♦•Hx)>0的解集是(-1,+oo),

即Xx)>3x+4的解集为(-1,+oo).

31.【答案】(0,10)

【解析】\"(xR,

3

Af(x)-i<0,

3

・・・Xx)-庄在R上为减函数.

3

设Hx)=Xx)•庄，则Hx)在R上为减函数，

3

・.・。)=1,・・・H1)=XD-1=1-1=0,

由/QgM-*+2>0，得,

3

・・・Hx)在R上单调递减，

/.lgA<l,/.0<A<10,

.••原不等式的解集为（0,10）.