电场能的性质应用典型问题学案-2023-2024学年高二下学期物理人教版（2019）必修第三册

第10章静电场中的能量第3讲第2课时电势差的综合应用典型问题第第页第10章静电场中的能量第3讲第2课时电势差的综合应用典型问题知识点总结电场中的物理量关系2、电场线中的关系(1)如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝eq\f(φA＋φB,2).(2)如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD.课堂讲解知识点1、电场线、等势面和带电粒子运动轨迹的综合应用利用等势面及电场线分析问题的思路涉及等势面和电场线的问题常与带电粒子的运动轨迹相结合，分析这类问题的思路如下：(1)根据带电粒子的运动轨迹判断所受合外力的方向(若带电粒子只受静电力，则静电力指向曲线轨迹的凹侧且垂直于等势面)。(2)由等势面的电势高低判断电场线的方向，再结合带电粒子所受静电力的方向判断粒子的电性(或由带电粒子所受静电力方向及电性判断电场线方向，继而判断等势面的电势高低)。(3)由动能定理判断带电粒子的动能变化，由静电力做功情况判断电势能的变化。(4)由等差等势面的疏密程度判断电场强度的大小，继而判断带电粒子加速度的变化。例1、某电场的电场线分布如图中实线所示，以下说法正确的是()A．c点电场强度小于b点电场强度B．b点电势低于c点电势C．若将一带电荷量为＋q的试探电荷由a点移动到d点，电荷的电势能将减小D．若某一点电荷只在静电力的作用下沿虚线由a点运动到d点，可判断该点电荷一定带负电变式1、(多选)如图所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点，不计重力。下列说法正确的是()A．粒子M带负电荷，粒子N带正电荷B．粒子M在b点的动能小于它在a点的动能C．粒子N在d点的电势能等于它在e点的电势能D．粒子N在从c点运动到d点的过程中克服静电力做功知识点2、φ­x图像、E­x图像及Ep­x图像问题分析1．φ­x图像从φ­x图像上可直接看出电势随位置的变化，可间接求出电场强度E随x的变化情况，φ­x图像切线斜率的绝对值k＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(Δφ,Δx)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(U,d)))，表示E的大小，电场强度E的方向为电势降低最快的方向。2．E­x图像(1)E­x图像中E的正负反映E的方向，E为正表示电场强度沿x轴正方向，E为负表示电场强度沿x轴负方向。(2)E的数值反映电场强度的大小，由此可以确定电场的强弱分布。(3)E­x图线与x轴所围的面积表示“两点之间的电势差U”，电势差的正负由沿电场线方向电势降低判断。3．Ep­x图像Ep­x图像表示带电粒子电势能随x的变化规律，根据图像可以分析出静电力做功的正负。Ep­x图像的斜率k＝eq\f(ΔEp,Δx)＝eq\f(|W|,Δx)＝F，因此Ep­x图像斜率的大小表示在x方向上带电粒子所受静电力的大小。两个等量点电荷位于x轴上，它们在静电场中的电势φ随位置x的变化规律如图所示(只画出了部分区域内的电势)，x轴上有B、C两点，且OB>OC，由图可知()A．C点的电势低于B点的电势B．B点的电场强度大小大于C点的电场强度大小，B、C两点处电场方向相同C．正电荷可以在x轴上B、C两点之间的某两点做往复运动D．负电荷沿x轴从B点移到C点的过程中静电力先做正功后做负功变式2、A、B为一电场中x轴上的两点，如图甲所示。一电子仅在静电力作用下从A点运动到B点，x轴上各点电势随其坐标变化的关系如图乙所示，下列说法正确的是()A．该电场是点电荷形成的电场B．A、B两点电场强度的大小关系为EA<EBC．电子从A点运动到B点过程中静电力做负功D．电子在A、B两点的电势能大小关系为EpA>EpB例3、(多选)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则该点电荷()A．在x2和x4处电势能相等B．由x1运动到x3的过程中电势能增大C．由x1运动到x4的过程中在x方向上受到的静电力先增大后减小D．由x1运动到x4的过程中在x方向上受到的静电力先减小后增大变式3、某空间存在一条沿x轴方向的电场线，电场强度E随x变化的规律如图所示，图线关于坐标原点中心对称，A、B是x轴上关于原点O对称的两点，C点是OB的中点．则下列说法正确的是()A．电势差UOC＝UCBB．电势差UOC>UCBC．取无穷远处电势为零，则O点处电势也为零D．电子从A点由静止释放后的运动轨迹在一条直线上例4、(多选)一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是()A．x1处电场强度最小，但不为零B．粒子在0～x2段做变速运动，在x2～x3段做匀变速运动C．x2～x3段的电场强度大小、方向均不变，为一定值D．0、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2＝φ0>φ3变式4、空间某区域存在一电场，一带负电的粒子仅在静电力作用下从x1处沿x轴负方向运动。粒子质量为m，初速度大小为v0，其电势能Ep随坐标轴x变化的关系如图所示，图线关于纵轴左右对称，以无限远处为零势能点，粒子在原点O处电势能为E0，在x1处电势能为E1，则下列说法中正确的是()A．坐标原点O处两侧电场方向相同B．由x1运动到O的过程静电力做正功C．粒子经过x1、－x1两处时速度不相同D．若粒子能够沿x轴负方向运动越过O点，一定有v0>eq\r(\f(2E0－E1,m))知识点3、电场中功能关系与力学知识的综合应用1．只有静电力做功只发生电势能和动能之间的相互转化，电势能与动能之和保持不变，功和能之间的关系为W电＝－ΔE电＝ΔEk。2．只有静电力和重力做功只发生电势能、重力势能和动能之间的相互转化，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变，功和能之间的关系为W电＋W重＝－(ΔE电＋ΔE重)＝ΔEk。3．多个力做功多种形式的能参与转化，要根据不同力做功和不同形式的能之间转化的对应关系分析，总功等于动能的变化，即W总＝W电＋W其他＝ΔEk。例5、如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为＋Q和－Q，A、B相距2d。MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球P，质量为m，带电荷量为＋q(可视为点电荷，不影响电场的分布)。现将小球P从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球P向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v。已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g。求：(1)C、O间的电势差UCO；(2)O点处的电场强度大小E。变式5、如图所示，在O点放置一个正电荷。在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q。小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O点为圆心、R为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点，O、C两点在同一水平线上，∠BOC＝30°，A点距离OC的竖直高度为h。若小球通过B点的速度为v，试求：(1)小球通过C点的速度大小；(2)小球由A点到C点的过程中电势能的增加量。课后巩固1、(多选)如图所示，实线为某孤立点电荷产生的电场的几条电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受静电力的作用，下列说法中正确的是()A．该电场是由负点电荷所激发的电场B．电场中a点的电势比b点的电势高C．带电粒子在a点的加速度比在b点的加速度大D．带电粒子在a点的动能比在b点的动能大2、如图所示，三条平行且等间距的虚线表示电场中的三个等势面，其电势分别为10V、20V、30V。实线是一带电的粒子(不计重力)在该区域内运动的轨迹，a、b、c为轨迹上的三点，已知带电粒子带电荷量为0.01C，在a点处的动能为0.5J，则该带电粒子)A．带正电B．在b点的电势能为0.5JC．在b点的动能为零D．在c点的动能为0.4J3．(多选)两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是()A．两点电荷可能是异种点电荷B．A点的电场强度比B点的大C．A点的电势高于B点的电势D．电子运动到P点时动能最小4.(多选)如图所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等。实线为一带正电的粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则下列说法中正确的是()A．三个等势面中，a的电势最高B．对于M、N两点，带电粒子通过M点时电势能较大C．对于M、N两点，带电粒子通过M点时动能较大D．带电粒子由M运动到N时，加速度增大5、某空间存在一条沿x轴方向的电场线，电场强度E随x变化的规律如图所示，图线关于坐标原点对称，A、B是x轴上关于原点O对称的两点，C点是OB的中点。则下列说法正确的是()A．电势差UOC＝UCBB．电势差UOC>UCBC．取无限远处电势为零，则O点处电势也为零D．电子从A点由静止释放后的运动轨迹为一条直线6、.一带电粒子仅在静电力作用下从A点开始以初速度－v0做直线运动，其v­t图像如图所示。粒子在t0时刻运动到B点，3t0时刻运动到C点，以下判断正确的是()A．A、B、C三点的电势关系为φB>φA>φCB．A、B、C三点的电场强度大小关系为EC>EB>EAC．粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少D．粒子从A点经B点运动到C点，静电力先做正功后做负功7、.(多选)(若无穷远处电势为零，在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示。下列说法正确的有()A．q1和q2带有异种电荷B．x1处的电场强度为零C．负电荷从x1移到x2，电势能不断减小D．负电荷从x1移到x2，受到的电场力不断减小8、一长为L的细线，上端固定，下端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图所示的水平向右的匀强电场中，开始时，将线与小球拉至水平，然后释放，小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点速度恰好为零。试求：(1)A、B两点的电势差UAB；(2)匀强电场的电场强度大小；(3)小球到达B点时，细线对小球的拉力大小。9、如图所示，在绝缘粗糙的水平面上，相距为L的A、B两点处分别固定着两个等电荷量的正电荷，a、b是A、B连线上的两点，其中Aa＝Bb＝eq\f(L,4)，O为A、B连线的中点。一质量为m、电荷量为＋q的小滑块(可以看成质点)以初动能Ek0从a点出发，沿AB直线向b运动，其中小滑块第一次经过O点时的动能为初动能的3倍，到达b点时动能恰好为零，小滑块最终停在O点，求：(1)小滑块与水平面间的动摩擦因数；(2)O、b两点间的电势差；(3)小滑块运动的总路程。10、如图所示，真空中两个带电荷量均为＋Q的点电荷固定在A、B两点，它们之间的距离为8d，O点是它们连线的中点。C、D是连线中垂线MN上关于O点对称的两点。AC与MN的夹角是53°，空间中还有一匀强电场。将一试探负电荷放置在C点时恰能保持静止。已知静电力常量为k，试探电荷的比荷为μ。(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不考虑电荷的重力)(1)求匀强电场的电场强度E的大小及方向。(2)给该试探电荷某一初速度，使其从C点沿MN恰能运动到D点，求初速度的大小。本节课反馈（学生填写建议并反馈本节课掌握情况）：

参考答案课堂讲解答案C解析电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，则c点的电场强度大于b点的电场强度，故A错误；沿着电场线方向电势降低，故b点的电势高于c点的电势，故B错误；沿着电场线方向电势降低，故a点的电势高于d点的电势，故将一带电荷量为＋q的试探电荷由a点移动到d点，电荷的电势能将减小，故C正确；由点电荷的运动轨迹弯曲方向可知，点电荷所受静电力大致向上方，故点电荷带正电，故D错误。变式1、答案ABC解析由题图可知，粒子M的轨迹向左弯曲，则粒子M所受的静电力方向向左，可知粒子M受到了引力作用，故M带负电荷，而粒子N的轨迹向下弯曲，则粒子N所受的静电力方向向下，说明粒子N受到斥力作用，故粒子N带正电荷，选项A正确；由于虚线是等势面，故粒子M从a到b的过程中静电力对其做负功，动能减小，选项B正确；对于粒子N，由于d和e在同一等势面上，故粒子N从e到d的过程中静电力不做功，电势能不变，选项C正确；由于粒子N带正电，故从c点运动到d点的过程中，静电力做正功，选项D错误。答案B解析由题图可知，C点的电势高于B点的电势，故A错误。由φ­x图像的斜率的绝对值等于电场强度的大小，可以看出B点的电场强度大小大于C点的电场强度大小，B、C两点处对应图像上的点的切线斜率均为正值，说明B、C两点处电场方向相同，故B正确。沿着电场线方向电势降低，可知电场线的方向从C点指向B点，正电荷在x轴上B、C两点之间所受的静电力始终由C点指向B点，正电荷不能在B、C两点之间做往复运动，故C错误。负电荷沿x轴从B点移到C点的过程中，静电力方向由B点指向C点，静电力方向与位移方向相同，静电力一直做正功，故D错误。变式2、答案D解析各点电势随其坐标变化的关系图像中，斜率的绝对值表示电场强度大小，由题图乙可知该电场为匀强电场，则A、B两点电场强度的大小关系为EA＝EB，故A、B错误。由题图乙可知，A→B，电势升高，故电场强度的方向由B指向A；一电子仅在静电力作用下从A点运动到B点，电子从A点运动到B点过程中所受静电力方向与运动方向相同，静电力做正功，电势能减小，故电子在A、B两点的电势能关系为EpA>EpB，故C错误，D正确。答案BC解析由题图可知，x1到x4电场强度先变大，再变小，则该点电荷受到的静电力先增大后减小，C项正确，D项错误；该点电荷由x1到x3及由x2到x4过程中，静电力做负功，电势能增大，A项错误，B项正确。变式3、答案D解析：由题图可知，OC与图线围成的面积小于CB与图线围成的面积，故电势差UCB>UOC，A、B错误；若把一个正点电荷从O点沿x轴正方向移到无穷远处，电场力一直在做功，所以O点电势与无穷远处电势不相等，C错误；电子从A点由静止释放后一直受到沿x轴方向的力作用，即力与运动方向一直在同一条直线上，故电子的轨迹在一条直线上，D正确．答案BCD解析Ep­x图像斜率的大小表示在x方向上带电粒子所受静电力的大小，由题图可知x1处切线斜率为零，则x1处电场强度为零，故A错误；由题图可知，0～x1、x1～x2、x2～x3三段图线斜率大小变化情况为变小、变大、不变，则可知三段图线反映的粒子所受静电力大小变化情况为变小、变大、不变，故B、C正确；根据电势能与电势的关系Ep＝qφ，且粒子带负电，q<0，可知电势能越大，粒子所在处的电势越低，所以φ1>φ2＝φ0>φ3，故D正确。变式4、答案D解析Ep­x图像中，图像的斜率大小表示所受的静电力大小，可以根据斜率的正负判断静电力的方向，由题图可知，坐标原点O处切线斜率为零，粒子在坐标原点处受到的静电力为零，坐标原点处的电场强度为零，坐标原点O两侧的电场强度关于坐标原点O对称，大小相等、方向相反，故A错误；根据功能关系可知，由x1运动到O的过程，电势能增大，静电力做负功，故B错误；由题图看出，x1、－x1两处的电势能相等，根据能量守恒定律得知，粒子经过x1、－x1两处时速度相同，故C错误；该粒子带负电，根据公式Ep＝qφ可知，从x1处到－x1处，电势先降低后升高，电场强度的方向先沿x轴负方向后沿x轴正方向，粒子所受静电力先沿x轴正方向后沿x轴负方向，设粒子恰好能到达原点O时的初速度为v，则根据能量守恒定律得eq\f(1,2)mv2＝E0－E1，解得v＝eq\r(\f(2E0－E1,m))，若粒子能够沿x轴负方向运动越过O点，则v0>v，即v0>eq\r(\f(2E0－E1,m))，故D正确。例5、答案(1)eq\f(mv2－2mgd,2q)(2)eq\f(\r(2)kQ,2d2)解析(1)小球P由C点运动到O点时，由动能定理得mgd＋qUCO＝eq\f(1,2)mv2－0解得UCO＝eq\f(mv2－2mgd,2q)。(2)小球P在O点时受力如图所示，由库仑定律得F1＝F2＝eq\f(kQq,\r(2)d2)小球P在O点所受的静电力大小F＝eq\r(2)F1＝eq\f(\r(2)kQq,2d2)所以O点处的电场强度大小E＝eq\f(F,q)＝eq\f(\r(2)kQ,2d2)。变式5、答案(1)eq\r(v2＋gR)(2)mgh－eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mgR解析(1)由题意知，B、C两点电势相等，小球由B点到C点只有重力做功，由动能定理得mgR·sin30°＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mv2，解得vC＝eq\r(v2＋gR)。(2)小球由A点到C点，应用动能定理得WAC＋mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－0，解得静电力做功WAC＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－mgh＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)mgR－mgh。由电势能变化与静电力做功的关系得ΔEp＝－WAC＝mgh－eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mgR。课后巩固答案CD解析根据题图以及题干条件，无法判断场源电荷的正负，也不能判断出电场线的方向以及a点、b点电势的高低，A、B错误；根据电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小的特点，得出Ea>Eb，利用牛顿第二定律可知a＝eq\f(F,m)＝eq\f(Eq,m)，则带电粒子在a点的加速度比在b点的加速度大，C正确；若粒子从a点运动到b点，静电力做负功，带电粒子的动能减小，若粒子从b点运动到a点，静电力做正功，带电粒子的动能增大，D正确。答案AD解析由等势面与电场强度方向垂直可知电场强度方向向上，粒子所受静电力指向轨迹的内侧，故静电力方向向上，所以粒子带正电，选项A正确；粒子在b点的电势能Epb＝qφb＝0.01×30J＝0.3J，选项B错误；粒子在a点的总能量E＝0.01×10J＋0.5J＝0.6J，由能量守恒定律得粒子在b点处的动能Ekb＝0.6J－0.3J＝0.3J，选项C错误；由能量守恒定律得粒子在c点的动能Ekc＝0.6J－0.01×20J＝0.4J，选项D正确。答案CD解析根据电荷间等势面的分布情况可知两点电荷为同种电荷，又根据电子在该电场中的运动轨迹可判断电子一直受到排斥力，可知两点电荷同为负电荷，故A错误；根据等势面的疏密程度可以判断A点的电场强度比B点的小，故B错误；因为两点电荷是同种负电荷，电场线指向负电荷，故可知A点的电势高于B点的电势，故C正确；根据电子的运动轨迹和电场线的方向可知，由M到P电场力做负功，由P到N电场力做正功，由M到P动能减小，由P到N动能增大，故电子运动到P点时动能最小，故D正确。答案CD解析由于带电粒子做曲线运动，所受静电力的方向必定指向轨迹的凹侧，且和等势面垂直，所以电场线方向是由c指向b再指向a。根据沿电场线的方向电势降低，可知φc>φb>φa，A错误。正电荷在电势高处电势能大，M点的电势比N点电势低，故在M点时电势能较小，B错误。根据能量守恒定律知，粒子的动能和电势能之和保持不变，故粒子在M点的动能较大，C正确。由于相邻等势面之间电势差相等，因N点等势面较密，故EM<EN，qEM<qEN，由牛顿第二定律知，带电粒子从M点运动到N点时，加速度增大，D正确。答案D解析由题图可知，OC与图像围成的面积小于CB与图像围成的面积，故电势差UCB>UOC，A、B两项错误；若把一个正点电荷从O点沿x轴正方向移到无限远处，静电力一直在做正功，所以O点电势与无限远处电势不相等，C项错误；电子从A点由静止释放后一直受到沿x轴方向的力的作用，即力与运动方向一直在同一条直线上，故电子的轨迹为一条直线，D项正确。答案C解析由于不知粒子的电性，无法确定电场强度的方向，因此无法比较电势的高低，A错误；由v­t图像的斜率表示加速度可知，粒子的加速度在B点最大，根据牛顿第二定律有qE＝ma，可得B点的电场强度EB最大，B错误；由题图可知，粒子从A点经B点运动到C点的过程中速度先减小后增大，所以动能先减小后增大，粒子只在静电力作用下运动，由动能定理可知静电力先做负功后做正功，电势能先增加后减少，C正确，D错误。答案ACD解析根据题图可知，电势有正值也有负值，所以q1和q2带异种电荷，A正确；φ­x图像的斜率表示电场强度，x1处的斜率不为零，则电场强度不为零，B错误；从x1到x2，电势不断升高，由公式Ep＝qφ可知，电势越高的地方，负电荷的电势能越小，所以负电荷从x1移到x2，其电势能不断减小，C正确；从x1到x2，图像的斜率不断减小，则电场强度不断减小，所以负电荷受到的电场力不断减小，D正确。8、答案(1